Tenho uma viga contínua em uma coluna central (não tenho certeza se desenhei corretamente ou não)
O diagrama de deslocamento e força é como mostrado:
O primeiro diagrama é o momento fletor, o segundo a força axial, o terceiro é o deslocamento.
Agora, qual é a condição de contorno em $ R_A $, $ R_B $ e $ R_C $?
Pelo que posso inferir, parece ser
$ w (0) = w (L) = w ( 2L) = 0 $ (corresponde à deflexão nos três apoios)
$ M (0) = M (2L) = 0 $, ou $ \ frac {d ^ 2w (0)} {dx ^ 2} = \ frac {d ^ 2w (2L)} {dx ^ 2} = 0 $ (corresponde ao momento).
Mas eu suspeito que ainda estou faltando algumas condições de limite para derivar o diagrama completo de deslocamento / força para o continu feixe ous. Há alguma condição de limite que eu perdi?
Resposta
Bem, você está perdendo a compatibilidade de inclinações no suporte intermediário :
$$ \ frac {dw (L ^ -)} {dx} = \ frac {dw (L ^ +)} {dx} $$
No caso de geometria simétrica & carregamento, a inclinação da viga no suporte do meio será zero.
Como o momento fletor não tem derivada em x = L, precisa derivar as deflexões das duas metades separadamente e “uni-las” com compatibilidade.
Atualização: derivação da fórmula de deflexão do feixe:
Partindo da equação do feixe de Euler-Bernoulli (assumindo a constante EI) e tomando x do lado externo apoia para o centro: $$ q = EI \ frac {dw ^ 4} {dx ^ 4} $$
Integrando quatro vezes:
$$ EI \ frac {d ^ 3 w} {dx ^ 3} = qx + A $$ $$ EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = q \ frac {x ^ 2} {2} + Ax + B $$ $$ EI \ frac {dw} {dx} = q \ frac {x ^ 3} {6} + A \ frac {x ^ 2} {2} + Bx + C $$ $$ EI w = q \ frac {x ^ 4} {24} + A \ frac {x ^ 3} {6} + B \ frac {x ^ 2} {2} + Cx + D $$
Percebendo que o problema é simétrico, as condições de contorno são: $$ w (0) = w (L) = 0 $$ $$ \ frac {dw (L)} {dx} = 0 $$ $$ \ frac {d ^ 2 w (0)} {dx ^ 2} = 0 $$
Portanto, podemos ver imediatamente que: $ B = D = 0 $
Agora temos duas equações com duas incógnitas (A, C). Resolvendo, encontramos: $$ A = – \ frac {3 L q} {8} $$ $$ C = \ frac {L ^ 3 q} {48} $$
Agora podemos substituir todos as constantes de volta na equação para w. Simplificando os resultados em:
$$ w = \ frac {qx} {48EI} (Lx) ^ 2 (L + 2 x) $$
Que é idêntico ao resultado referenciado aqui (observe que seu sistema de coordenadas tem x = 0 no centro). Observe também como este é exatamente o mesmo resultado que um consola apoiada . Isso se deve à simetria, o que significa que a inclinação da viga no centro é zero (que é a mesma condição de contorno de um suporte cantilever).
Você também pode substituir na equação do momento fletor:
$$ M = EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = \ frac {1} {8} qx (4 x-3 L) $$
Comentários
- a) a compatibilidade da condição de inclinação só é útil se for possível modelar a viga contínua como duas vigas de vão. Como isso é útil neste caso? b) Por que você diz que o momento fletor é descontínuo em $ L $? o diagrama de momento na minha pergunta mostra claramente que ele é contínuo.
- Agradeceria se você pudesse elaborar um pouco e se você pudesse mostrar como suas condições de contorno podem levar ao diagrama de deslocamento / momento fletor para viga contínua .
- @Graviton, a) Vou atualizar a questão com a derivação. b) você tem razão, eu estava sendo um pouco solto com minha terminologia matemática. O que quero dizer é que o momento fletor não tem derivada em x = L.