Bekenstein com destino ao elétron?

Você encontrou uma maneira elaborada de calcular $ 2 \ pi \ alpha / \ ln 2 \ approx 0,0661658 $. Aqui, $ \ alpha \ approx 1/137 $ representa a constante de estrutura fina .

Os pontos a serem observados são:

A) O limite de Bekenstein “define o número máximo de nats de informações que podem estar contidas em uma região esférica como a circunferência dessa região dividida pelo comprimento de onda Compton reduzido associado à energia total contida nessa região,

e

B) o raio do elétron clássico é igual à constante de estrutura fina vezes o comprimento de onda Compton reduzido do elétron.

Se você refizesse seu cálculo usando a massa do elétron e o comprimento de onda Compton reduzido do elétron, obteria um valor de $ 9,0647 bits. No entanto, você obteria exatamente o mesmo valor para um próton ou qualquer outra partícula elementar ou composta que você escolher. Eu não atribuiria nenhum significado físico a esses resultados.

Adicionado: Atualmente, não temos uma teoria da gravidade quântica consistente e nem mesmo temos uma ideia de quais seriam os graus de liberdade fundamentais em tal teoria. Portanto, qualquer declaração em resposta a perguntas como “quantos bits / nats de informação podem ser associados a uma massa de elétron” corre o risco de levar a um absurdo. Dito isso, o limite holográfico (Bekenstein-Hawking / buraco negro) parece mais capaz de fornecer pistas razoáveis. Usando $ 4 \ pi $ vezes o quadrado do comprimento de onda Compton reduzido do elétron como área no limite BH leva a um conteúdo de informação de $ S / k = \ pi \ hbar c / G m ^ 2 $ nats. Aqui $ m $ denota a massa do elétron. Este resultado para “o conteúdo de informação de um volume grande o suficiente para conter um elétron” é, em essência, o quadrado da razão da massa de Planck sobre a massa do elétron. Isso “é um monte de nats.

Comentários

• Eu estava usando a terceira equação no artigo WP en.wikipedia.org/wiki/Bekenstein_bound . Eu entendo que o ln 2 vem da conversão nat / bit, mas que ' já está lá no WP, e pode ' t levar em conta as duas ordens de magnitude entre os 9,06 bits que você calculou e os 0,066 bits que a fórmula WP produz. Quando você diz " não ' atribua qualquer significado físico " você está dizendo, talvez em uma linguagem mais educada, a mesma coisa que @Jerry Schirmer disse, a saber, que o limite não é válido nesta escala?
• @StudentT – as duas ordens de magnitude vêm da constante de estrutura fina (a diferença entre usar o raio clássico do elétron e o raio Compton de o elétron). Resumindo, o cálculo leva a um raciocínio circular voi d de física.
• Caro @Johannes, deixe-me fazer a pergunta de uma forma não circular: dado um sistema físico que se encaixa em um elétron e não tem mais massa / energia do que um elétron, qual é o número máximo de estados distinguíveis que ele pode ter? Talvez a física não possa (ainda) fornecer um limite. Eu estava originalmente interessado em uma questão mais simples: dado um sistema que leva exatamente 1 bit para ser caracterizado, quão pequeno ele pode ser?Mas então pensei que seria uma boa verificação de sanidade olhar para a fórmula Bekenstein para algum sistema existente e encontrei o resultado bastante surpreendente que postei acima.
• @StudentT – parece que você está procurando por um estimativa com base no limite de BH. Anexei algum texto à minha resposta acima. Espero que ajude.
• Caro @Johannes, obrigado! É claro que ajuda, mas também aumenta um pouco a minha confusão, pois a resposta sai como $ 2,587 \ cdot 10 ^ {45} $ bits, maior do que o que a wikipedia tem para uma esfera de raio de 6,7 cm (consulte a seção " O cérebro humano " em en.wikipedia.org/wiki/Bekenstein_bound). Isso não quer dizer que o WP é sempre 100% preciso, mas na seção de matemática que eu ' estou mais familiarizado com, geralmente, muitas pessoas com conhecimento examinam os artigos e não ' Não deixe que coisas ultrajantes escapem. De qualquer forma, agradecemos seu esforço em esclarecer isso!

Não se pode obter resultados como esse muito a sério na escala em que um elétron se aplicaria. Em particular, o modelo relativístico geral clássico, aplicado ingenuamente a um elétron de massa pontual, diria que o elétron tem uma carga e um momento angular muito grandes para ter um horizonte de buraco negro, e seria, em vez disso, o tipo exótico de objeto denominado singularidade nua.

Comentários

• Antes de fazer a pergunta, verifiquei pela primeira vez Bekenstein ' s explicação na Scholarpedia. Seu método de derivar o limite é deixando cair o objeto (neste caso, o elétron) em um buraco negro. Não é claro para um estranho como eu qual parte desta derivação não levar a sério.
• @StudentT: ele ' está deixando-o cair em um buraco negro ' no horizonte. Se você tomar rel geral atividade a ser verdadeira até a escala de ' s do elétron, não há horizonte, então nenhuma das equações de Bekenstein ' s faz qualquer sentido, já que todos eles são baseados em cruzar o horizonte.
• Ótimo, obrigado! A mesma lógica se aplica à radiação Hawking? Parece ser o mesmo problema de escala: você olha para a criação do par (presumivelmente os membros do par não estão distantes um do outro em uma escala quântica) quando um membro está dentro e o outro fora do horizonte de eventos, uma esfera cujo raio é medido em uma escala cósmica? De qualquer forma, a pergunta original foi encerrada e obrigado novamente.