Se uma bola de boliche está se movendo com alguma velocidade inicial enquanto escorrega, quão longe ela se moverá antes de começar a rolar após ficar estática fricção?
$ \ ddot {x} = \ mu_ {kf} g $
E também há um torque do atrito cinético na bola (R = raio da bola )
$$ mg \ mu_ {kf} R = \ frac {2mR ^ 2} {5} \ ddot {\ theta} \ implica \ ddot {\ theta} = \ frac {5g \ mu_ { kf}} {2R} $$
A condição para rolar sem escorregar é $ v = R \ omega $ e a partir do momento em que a bola faz contato com o solo, a velocidade transversal diminui enquanto a velocidade angular aumenta para um ponto onde eles são iguais. Não tenho certeza do que devo fazer neste momento, porque tudo que tento não parece funcionar.
$$ \ ddot {x} = v \ frac {dv} {dx} = \ mu_ {kf} g \ implica v ^ 2 = (2 \ mu_ {kf} g) x + v_o ^ 2 $$
Não sei bem o que fazer com esta equação diferencial que não vai “t envolvem $ \ theta $ para que eu possa usá-lo na equação linear do movimento. Eu tentei usar o tempo, mas não sei como isso ajudaria, E o ângulo real em si é inútil.
$$ \ ddot {\ theta} = \ frac {5g \ mu_ {kf}} {2R} $$ Eu não posso dizer $ x = R \ theta $ por causa do escorregão
Comentários
- (Interessante à parte): Uma vez que começa a rolar sem escorregar, nunca para! (a menos que incluamos a resistência do ar e / ou deformação do material )
Resposta
Digamos que, quando sua bola toca o solo pela primeira vez, ela tem velocidade inicial $ v_0 $ e velocidade angular inicial $ \ omega_0 = 0 $.
Você tem um torque constante sendo aplicado à bola, então seu diff a equação erencial é muito fácil de integrar para obter:
$$ \ dot {\ theta} = \ omega = \ frac {5g \ mu} {2R} t + \ omega_0 $$
Para o deslocamento, vá diretamente com a lei de Newton, $ \ ddot {x} = – \ mu g $, que também tem uma força constante e pode ser facilmente integrada uma vez para obter
$$ \ dot {x} = v = v_0 – \ mu gt $$
A partir daqui você deve ser capaz de usar sua condição $ v = \ omega R $ para descobrir quanto tempo a bola levará para comece a rolar sem escorregar e, assim que tiver tempo, integre o deslocamento mais uma vez para obter
$$ x = v_0 t – \ frac {1} {2} \ mu gt ^ 2, $$
que lhe dará a distância percorrida inserindo o tempo que você calculou antes.
Comentários
- Muito obrigado. Faz muito sentido quando você diz isso