A pergunta que me foi dada é:
Os átomos de prata em uma estrutura metálica preenchem apenas $ 88 \, \% $ do espaço ($ 12 \, \% $ está vazio). A densidade da prata é $ 10,5 \ \ mathrm {g \ cdot cm ^ {- 3}} $. Supondo que os átomos de prata sejam esferas duras ($ V = \ tfrac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 $, quando $ r $ é o raio atômico), qual é o raio de um átomo de prata? Dê a resposta em unidades de $ 10 ^ {- 12} $ metros.
A massa atômica de $ \ ce {Ag} $ é 107,8682.
Minha solução:
$$ V = 0,88 \ times V $$
$$ V = \ frac {0,88 \ times10,5 \ times6,022 \ times10 ^ {23}} {107,8682} = 5,158 \ times10 ^ {22} \ \ mathrm {cm ^ 3} $$
$$ V = \ frac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 \ Rightarrow r = \ left (\ frac34 \ cdot \ frac V \ pi \ right) ^ {1/3} $$
Então mudei para $ 10 ^ {12} $ metros, o resultado foi $ 4,953 \ times10 ^ {17 } $ e não está correto. O que estou fazendo de errado?
Comentários
- Eu ' adicionei informações sobre a massa atômica de $ \ ce {Ag} $ em um esforço para esclarecer para você e outras pessoas quais informações você ' precisará para resolver o problema.
- realmente Ag cristaliza em FCC e as esferas preenchem $$ \ dfrac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} \ approx 0.74048 $$
Resposta
Se você tivesse incluído as unidades em seu cálculo, notaria por que sua equação não está correta.
Massa molar $ M $ é definido como $$ M = \ frac mn \ tag1 $$ onde $ m $ é a massa e $ n $ é a quantidade de substância.
Como a constante de Avogadro $ N_ \ mathrm A $ é $$ N_ \ mathrm A = \ frac Nn \ tag2 $$ onde $ N $ é o número de partículas, a massa $ m $ de um átomo $ (N = 1) $ é $$ m = \ frac M {N_ \ mathrm A} \ tag3 $$
Densidade $ \ rho $ é definido como $$ \ rho = \ frac mV \ tag4 $$ onde $ V $ é o volume.
Portanto, o volume de uma amostra é $$ V = \ frac m \ rho \ tag5 $$ Usando a Equação $ \ text {(3)} $ , o volume $ V $ pode ser calculado para um único átomo: $$ V = \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag6 $$
Supondo que uma fração de $ 88 \, \% $ do volume $ V $ é preenchido com uma esfera dura, o volume $ V_ \ text {sphere} $ da esfera é $$ \ begin {align} V_ \ text {sphere} & = 0,88 \ vezes V \ tag7 \\ [6pt] & = 0,88 \ times \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag8 \ end {align} $$
Visto que o volume de uma esfera é $$ V_ \ text {sphere} = \ frac43 \ pi r ^ 3 \ tag9 $$ onde $ r $ é o raio da esfera, o raio $ r $ é $$ \ begin {align} r & = \ sqrt [3] {\ frac {3V_ \ text {sphere}} {4 \ pi}} \ tag {10} \\ [6pt] & = \ sqrt [3 ] {\ frac {3 \ times0,88 \ times M} {4 \ pi \ cdot N_ \ mathrm A \ cdot \ rho}} \ tag {11} \\ [6pt] & = \ sqrt [3] {\ frac {3 \ times0,88 \ times 107,86820 \ \ mathrm {g \ mol ^ {- 1}}} {4 \ pi \ times 6,02214076 \ times10 ^ {23} \ \ mathrm {mol ^ {- 1}} \ times 10,5 \ \ mathrm {g \ cm ^ {- 3}}}} \\ [6pt] & = 1,53 \ times10 ^ {- 8} \ \ mathrm {cm} \\ [6pt] & = 1,53 \ times10 ^ {- 10} \ \ mathrm m \\ [6pt] = 153 \ times10 ^ {- 12} \ \ mathrm m \\ \ end {align} $$