Uma amostra de um processo aleatório é dada como:
$$ x (t) = A \ cos (2 \ pi f_0t) + Bw (t) $$
onde $ w (t) $ é um processo de ruído branco com $ 0 $ médio e uma densidade espectral de potência de $ \ frac {N_0} {2 } $, e $ f_0 $, $ A $ e $ B $ são constantes. Encontre a função de autocorrelação.
Aqui está minha tentativa de uma solução:
Deixe $ a = 2 \ pi f_0t $, e $ b = 2 \ pi f_0 (t + \ tau) $
\ begin {align} \ text {Autocorrelação de} x (t) & = E \ left \ {x (t) x ( t + \ tau) \ direita \} \\ & = E \ esquerda \ {\ esquerda (A \ cos (a) + Bw (t) \ direita) \ esquerda (A \ cos (b) + Bw (t + \ tau) \ right) \ right \} \\ & = E \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) + AB \ cos (a) w (t + \ tau) + AB \ cos (b) (wt) \\ & \ quad + B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + E \ left \ {AB \ cos (a) w (t + \ tau) \ direita \} + E \ esquerda \ {AB \ cos (b) (wt) \ direita \} \\ & \ quad + E \ left \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ direita \} + E \ esquerda \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ direita \} \\ & = E \ esquerda \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ direita \} + B ^ 2 \ esquerda (R_w (\ tau) \ direita) \\ & = E \ esquerda \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) ( \ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Os termos de expectativa com o ruído em todos eles são iguais a $ 0 $ (o último é apenas a autocorrelação do ruído branco … daí a simplificação acima. Usando identidades trigonométricas: $$ \ cos (a) \ cos (b) = \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (a – b) \ right] $$
temos:
\ begin {align} \ text {Autocorrelação de} x (t) & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a ) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = E \ esquerda \ {\ esquerda (A ^ 2 \ direita) \ frac 12 \ esquerda [\ cos (a + b) + \ cos (ab) \ direita] \ direita \} + B ^ 2 \ esquerda (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = \ left (\ frac {A ^ 2} {2} \ right) \ left [E \ {\ cos (a + b) \} + E \ {\ cos (ab) \} \ direita] + B ^ 2 \ esquerda (\ frac {N_0} {2} \ direita) (\ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Estamos lidando com termos constantes, então o termo de expectativa vai embora e subbing em nossas condições iniciais obtemos: $$ \ frac {A ^ 2} 2 \ esquerda [\ cos (2 \ pi f_o (2t + \ tau) + \ cos (2 \ pi f_o \ tau) \ direita] + B ^ 2 \ esquerda (\ frac {N_0} {2} \ direita) (\ delta (\ tau)) $$
Por alguma razão, não posso deixar de sentir que fiz algo incorretamente calculando essa autocorrelação … é suposto ser uma função de $ \ tau $, mas tem um $ t $ está lá … Eu apreciaria muito se alguém pudesse me indicar a direção certa ou explicar o que eu errei. Não sei se isso importa, mas nesta aula estamos lidando apenas com processos estacionários de sentido amplo.
Comentários
- A menos que você seja tendo certeza de que o processo aleatório $ x (t) $ é WSS, você não deve esperar que seu ACF seja uma função de $ \ tau $ apenas. Portanto, parece correto incluir aqui os termos de tempo $ t $. Mas eu acho que o termo cosseno dentro de $ x (t) $ pode incluir uma amplitude aleatória ou uma fase aleatória que você se esquece de digitar, então você pode ter uma chance de se livrar do elemento de tempo $ t $ se desejar tanto então …
- O processo $ \ {A \ cos (2 \ pi f_0t) \} $ é um processo cicloestacionário (satisfaz os requisitos de estacionariedade para os deslocamentos de tempo que são múltiplos de $ (2 \ pi f_0) ^ {- 1} $) e não são um processo WSS. Observe, por exemplo, que mesmo a função média $ E [x (t)] $ não é uma constante como deveria ser para um processo WSS. Como @ Fat32 diz (+1), você pode ter esquecido de incluir uma fase aleatória $ \ Theta $ em sua definição $ x (t) $ (a propriedade necessária para a estacionariedade WS é $ E [\ cos (2 \ Theta) ] = E [\ sin (2 \ Theta)] = 0 $ que vale para $ \ Theta \ sim U (0,2 \ pi) $ ou $ P \ {\ Theta = n \ pi / 2 \} = \ frac 14 $ por $ n = 0,1,2,3 $).
Resposta
Acho que você “Fiz quase tudo certo, mas tenho um problema no cálculo do valor esperado em relação a $ t $. Você deve calcular o valor esperado da função cosseno. Infelizmente, isso não simplesmente” vai embora “como você escreveu.
Dê uma olhada na página da Wikipedia . Lá você pode encontrar outra fórmula mais explícita para a função de autocorrelação de uma função $ f (t) $:
$ R _ {\ textrm {ff}} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (t + \ tau) \ bar {f} ( t) \, \ textrm {d} t $.
(Observe que, em comparação com a página da Wikipedia, tomei a liberdade de usar a variável $ t $ na integração em vez de $ u $, enquanto ch seria a versão matematicamente mais precisa.)
Como você pode ver a partir desta equação, você “integra” a dependência de t e, de fato, você deve ficar com uma função que é independente de $ t $.
Observe que também há uma versão que não vai para infinitas vezes, mas é restrita a um período $ T $. Talvez esta versão seja mais apropriada para o seu caso.No entanto, o mesmo vale para esta versão: $ t $ é totalmente integrado e não deve ser uma variável na fórmula resultante.
Comentários
- Você estão misturando duas noções diferentes ao escrever ” Como você pode ver nesta equação, você ” integra ” a dependência de $ t $ e, de fato, você deve ficar com uma função que é independente de $ t $ ”
- Você pode também pegue a fórmula da página da Wikipedia sem $ t $ e escreva $ R_ \ textrm {ff} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (u + \ tau) \ bar {f} ( u) \, \ textrm {d} u $. O importante aqui é em ambos os casos que o argumento da função $ f $ é t e está integrado – portanto, você não tem mais $ t $ no resultado final, mas apenas $ \ tau $.
- @Dilip Você também pode dar uma olhada aqui ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/… – este é basicamente o primeiro resultado após uma simples pesquisa no Google. Lá, na página 22-2 (página 3 do PDF) está um exemplo de uma função de autocorrelação, que foi calculada por esta fórmula e é independente de $ t $. Além disso, você pode encontrar a notação integral matematicamente não muito sólida na página anterior.
- Longe de mim questionar a validade de uma fórmula que você afirma poder ser encontrada na Wikipedia ou é ensinado em um curso online do MIT, mas me parece que em \ begin {align} 2 \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0t) \ cos (2 \ pi f_0 (t + \ tau)) dt & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) + \ cos (2 \ pi f_0 \ tau ) dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) dt + \ int _ {- \ infty} \ infty \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) dt \ end {alinhar} aquela segunda integral naquela segunda linha (cujo integrando é uma constante wrt $ t $) diverge a menos que $ \ tau $ tenha um valor tal que $ \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) = 0 $.
- @Dilip Você está correto, esta integral diverge. Nem mesmo a primeira integral é significativa, uma vez que não converge. Por esse motivo, existe o último parágrafo em minha resposta.