Cinco ângulos em uma estrela

$ \ hskip 1.5in $

Coloque o lápis na linha 1.

Gire seu lápis para que fique alinhado com a linha 2. Você acabou de girá-lo no sentido anti-horário pelo ângulo no topo do pentagrama.

Agora gire-o no sentido anti-horário novamente na linha 3. Em seguida, novamente na linha 4, depois 5 e, finalmente, de volta à 1. Você acabou de girar seu lápis por todos os cinco ângulos do pentagrama em sequência.

E o que aconteceu? O lápis agora está na mesma linha em que começou, apontando na direção oposta.Se você rastrear a direção que o lápis aponta em cada etapa, poderá ver que, no total, você girou meia volta no sentido anti-horário. Donde, $ 180 ^ \ circ $.

Comentários

• Esta será uma bela prova se você ajustá-la para excluir a possibilidade de ter girado o lápis através de algum outro múltiplo ímpar de $ 180 ^ \ circ $. Com este heptagrama , o lápis também acaba apontando para o lado oposto, mas girou $ 540 ^ \ circ $
• Há uma deformação contínua de o pentagrama de referência para qualquer pentagrama deformado. Assim, a rotação não pode saltar de um múltiplo de 180∘ para outro.
• Basicamente, qualquer $ \ {m: n \} $ – grama onde $ n < \ frac m 2 $ gira $ 360 \ times (\ frac m 2 – n) $ graus.
• Bela explicação Lopsy … simples, limpo 🙂 Eu ia dizer, pegue 4 ângulos e visualmente comece reduzindo-os a 0 .. pense em como a estrela se parece enquanto isso acontece … o 5º ângulo continua crescendo para acomodar … até que 4 ângulos sejam 0, e o 5º seja 180 (ou seja, uma linha reta) ..: ) Mas eu gosto mais da explicação de Lopsy ‘ s ..;)
• A beleza dessa resposta é que ela não ‘ t pode ser lido como uma prova matemática. Qualquer pessoa pode entender.

Aqui está outra prova.

Etiqueta os pontos conforme mostrado e desenhe o segmento de linha CD. Use A, B, etc. para denotar os ângulos que devemos encontrar a soma.

Agora

$ \ angle ADC + \ angle DCA + A = 180 ^ \ circ $ (ângulos em um triângulo)

Portanto, é suficiente provar que

$ \ angle ADC + \ angle DCA = B + C + D + E $

Agora

$ \ angle ADC = D + \ angle BDC $ e $ \ angle DCA = C + \ angle ECD $

Portanto, é suficiente provar que

$ \ angle BDC + \ angle E CD = B + E $

o que é obviamente verdadeiro porque

o LHS é o suplemento de $ \ angle DFC $ e o RHS é o suplemento de $ \ angle EFB $ , onde $ \ angle DFC $ e $ \ angle EFB $ são iguais porque verticalmente opostos .

Comentários

• Esta é a resposta que eu procurava.
• Então, basicamente, você pode destilar essa solução em 2 regras: ângulos em triângulos = 180 e ângulos opostos de 2 linhas que se cruzam são iguais.
• @randal ‘ thor Esta solução também envolve adição, então não obedeceria às suas restrições ou você deveria alterá-las.
• Sim, eu ia dizer que isso não é -the-, mas um dos mais matemáticos -ish respostas aqui. A ausência de aritmética não significa que não seja ‘ t matemática …

A soma dos ângulos internos de um pentágono é sempre 540 °.

O ângulo de cada ponto externo é sempre a soma dos dois ângulos internos adjacentes – 180 °. Podemos dizer isso porque, dados os ângulos internos A e B, os ângulos do triângulo são 180 – A, 180 – B, X. Por definição dos ângulos de um triângulo, X é igual a $ 180 – (180 – A) – ( 180 – B) = A + B – 180 $.

Cada ângulo interno do pentágono é usado duas vezes, e há 5 pontos, então $ (2 \ vezes 540) – (5 \ vezes 180) = 180 ° $

Comentários

• Eu acredito que esta é a geometria do 9º ano em alta …
• Isso é mais complicado do que a prova que eu estava pensando. Posso editar a questão para restringir um pouco mais as provas possíveis, mas ‘ ainda lhe darei +1. Você poderia justificar sua segunda frase? Além disso, eu não ‘ não entendo o que a terceira frase está dizendo.
• Se deixarmos A e B serem dois ângulos internos adjacentes do pentágono, então o ângulo de o ponto no triângulo é 180 – (180-A + 180-B) = A + B – 180
• +1 Boa prova, mas seria legal se você pudesse usar uma foto ou 2, ou até mesmo um gif!
• Acho que ‘ é possível generalizar essa prova para mostrar que os ângulos nas pontas de qualquer n -grama soma a $ 180 ^ \ circ $ desde que a forma conecte cada ponto a dois pontos adjacentes no n -gon.(Observe que o hexagrama unicursal não ‘ t atende ao critério de conexão; nem o hexagrama formado de dois triângulos; e apenas um dos dois heptagramas unicursais o faz.)

Aqui está outra prova legal, desta vez por indução. Podemos fazer o pentagrama começando com o normal e mover sucessivamente quatro dos pontos. Portanto, é suficiente provar que

mover um ponto em um pentagrama não altera a soma dos ângulos no pontos

Vamos “s

mover o ponto A para A” e chamar tanto o ângulo em A quanto o ângulo em A “o ângulo superior

Temos isto:

É suficiente provar que

a mudança no ângulo superior e as mudanças no ângulo es em C e D somam zero.

Neste novo diagrama

mostramos

a mudança no ângulo superior como $ xw $ e as mudanças em D e C como $ -y $ e $ z $,

e precisamos provar que

$ xw-y + z = 0 $, ou em outras palavras, que $ x + z = w + y $,

o que é óbvio, como antes, porque

LHS e RHS são os complementos de ângulos verticalmente opostos em G.

Outra abordagem:

Começando com a estrela regular, sabemos que $ A + B + C + D + E = 180 ^ {\ circ} $. Agora vamos desenhar um segmento de linha como mostrado no diagrama.

Observe que $ B, D, E $ permanecem inalterados! A partir de nossas observações, vemos que $ Y = C – X $ e $ Z = A + X $.

Assim, a soma dos pontos de nossa nova estrela $ ZBYDE = Z + B + Y + D + E = (A + X) + B + (CX) + D + E = 180 ^ {\ circ} $.

Assim, podemos continuar a desenhar segmentos e criar novas estrelas (e redimensionar eles) até atingirmos a forma desejada.

Comentários

• Legal, mas você pode adicionar algo para torná-lo mais intuitivo que você pode fazer um pentagrama irregular geral por uma sequência de movimentos de um ponto ao longo de uma das linhas através desse ponto e reescalonamentos.
• Eu poderia tentar se apenas a geometria não ‘ doesse tanto meu cérebro D:

É inevitável que alguns aritmética deve ser feita – a conclusão pretendida é quantitativa, afinal – então o desafio não deve ser o ocultar a aritmética, nem chamá-la por outro nome, mas torná-la óbvia e extremamente simples. O seguinte argumento reduz a aritmética para observar que cinco é um mais do que quatro (e que um todo é duas vezes a metade, um fato usado de passagem).

A estrela gira duas vezes em torno de seu centro e, portanto, qualquer pessoa que a atravesse terá que girar dois círculos completos (quatro semicírculos). Todas as curvas ocorrem apenas nos vértices, onde o valor máximo é uma volta completa da metade de um círculo. Para cinco vértices, seriam cinco semicírculos, ou um semicírculo a mais do que realmente girado: 180 graus. A deficiência entre este máximo e a quantidade de giro que realmente é realizado é precisamente a soma dos ângulos internos, QED.

Esta abordagem é aquela adotada na matemática moderna (isto é, pós-século 18). Ele generaliza para figuras arbitrárias de dimensões arbitrárias desenhadas dentro de outras figuras que podem ser curvas. É conhecido como Teorema de Gauss-Bonnet .

Existe um teorema baseado em círculo que afirma “A medida de um ângulo inscrito é a metade da medida do arco que ele intercepta.” Isso significa que para o ângulo x , o arco que ele intercepta será 2x .

Agora, se você inscrever a estrela em um círculo, obterá o seguinte:

Rotulando o desenho anterior, você obtém isto;

Com este teorema, sabemos que o ângulo ∠1 = c / 2, ∠2 = d / 2, ∠3 = e / 2, ∠4 = a / 2, e ∠ 5 = b / 2. Se distribuirmos isso, obtemos ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = (a + b + c + d + e) / 2 . Além disso, como as medidas de todos os arcos em um círculo somam 360, sabemos que a + b + c + d + e = 360 . Finalmente, usando a propriedade de substituição, obtemos ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360/2 ou ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 180 . Assim, a soma de todos os ângulos é 180.

Comentários

• Há ‘ s uma falha em seu argumento: nem todo pentagrama pode ser inscrito em um círculo.
• @ThomasKwa Você pode me dar um exemplo?
• @ user1812 apenas mova qualquer ponto em seu exemplo para dentro ou para fora do círculo. Leva apenas três pontos para definir um círculo, e um pentagrama tem cinco.

Esta prova em um sentido nada mais é do que contar o grau dos ângulos.

Lembre-se de que um pentágono, regular ou irregular, tem seus ângulos internos somados a 540. Além disso, os ângulos de uma intersecção de 2 linhas retas somam 360, onde também os ângulos opostos são congruentes.

Considere os 5 pontos do pentágono central, os pontos onde ocorre a intersecção de 2 linhas. Em torno desses 5 pontos estão 360 x 5 = 1.800 graus no total e 5 x 4 = 20 ângulos para contar.

Dos 20 ângulos, 5 são do pentágono, mais 5 são congruentes a esses. Portanto, isso representa 540 + 540 = 1080 graus. Os restos de 1800 – 1080 = 720 graus vêm de dentro dos 5 triângulos.

5 triângulos contêm 5 x 180 = 900 graus de ângulos internos. 720 desses graus estão nos cantos do pentágono / triângulo / interseção.

Isso deixa nas pontas da estrela 900 – 720 = 180 graus.

Editar: A aritmética aqui é simplesmente uma forma abreviada de ângulo adição e subtração, o mesmo que é feito em outras respostas.

O Pentágono central como A, B, C, D , E contém 540 GRAUS

Some os 5 PARES de ângulos suplementares, ou seja. 2 (180-A) +2 (180-B) +2 (180-C) +2 (180-D) +2 (180-E) = 1800 2 (540) = 720 Estes 720 graus representam a “base” ângulos dos 5 triângulos, que totalizam 5 * 180 = 900 900-720 = 180 (os 5 ângulos sendo procurados.

Os cinco triângulos nos pontos somam 5 * 180 = 900

Comentários

• A pergunta pede especificamente para provar isso sem usar operações aritméticas.