Como a área pode ser um vetor?

Esta pode ser mais uma questão matemática . Isso é uma coisa peculiar sobre o espaço tridimensional. Observe que, em três dimensões, uma área como um plano é um subespaço bidimensional. Em uma folha de papel, você só precisa de dois números para denotar de forma inequívoca um ponto.

Agora imagine ficar em uma folha de papel, a direção para a qual sua cabeça aponta será sempre uma forma de saber como este plano está orientado no espaço. Isso é chamado de vetor “normal” para este plano, ele está em um ângulo reto com o plano.

Se você escolher a convenção para ter o comprimento deste vetor normal igual à área desta superfície , você obtém uma descrição completa do plano bidimensional, sua orientação no espaço tridimensional (a parte do vetor) e o tamanho desse plano (o comprimento do vetor).

Matematicamente, você pode expressar isso pelo “produto vetorial” $$ \ vec c = \ vec a \ times \ vec b $$, cuja magnitude é definida como $ | c | = | a || b | sin \ theta $ que é igual à área do paralelogramo para os vetores (que realmente definem um plano) span. Para roubar esta imagem do artigo da Wikipedia sobre o produto cruzado:

Como eu disse no início isso é uma coisa muito especial para três dimensões; em dimensões superiores, não funciona tão bem por vários motivos. Se você quiser saber mais sobre este tópico, uma palavra-chave seria “álgebra exterior”

Atualização:

Quanto ao significado físico deste conceito, exemplos proeminentes são campos de vetores fluindo através de superfícies. Pegue um fio circular. Este círculo pode ser orientado de várias maneiras em 3D. Se você tiver um campo magnético externo, deve saber que isso pode induzir uma corrente elétrica, proporcional à taxa de variação da quantidade que flui através do círculo (pense nisso como o quanto as setas perfuram a área). Se os vetores do campo magnético forem paralelos ao círculo (e, portanto, ortogonais ao seu vetor normal), eles não “perfuram” a área de forma alguma, de modo que o fluxo através dessa área é zero.Por outro lado, se os vetores de campo são ortogonais ao plano (ou seja, paralelos ao normal), o máximo “perfura” esta área e o fluxo é máximo.

se você alterar a orientação entre eles dois estados você pode obter corrente elétrica.

Comentários

• +1 para menção de campos magnéticos. Nem todos os vetores de superfície usados em física são diferenciais.
• Obrigado. Apenas alguns esclarecimentos. Você me pediu para imaginar uma pessoa em pé sobre um papel & considerar a direção de sua cabeça como representando o vetor normal. Mas suponha que essa pessoa estivesse exatamente na face oposta e não ‘ a orientação do papel continuasse a mesma? Mas agora a direção do vetor está na direção oposta. Esclareça.
• Em segundo lugar, você disse que esse conceito não ‘ funciona tão bem em dimensões superiores. Então, isso significa que minha pergunta sobre a direção da área ‘ de uma esfera é inválida? Se sim, então a área é um escalar neste caso particular, visto que considerá-la como um vetor não pode especificar sua orientação no espaço?
• o que ‘ está impedindo você de ficar satisfeito ?
• ‘ não é satisfatório porque embora axb seja um vetor, | axb |, ou seja, a área, é um escalar, portanto, não é convincente que a área seja um vetor.

O principal regime de uso é quando uma área é infinitesimalmente pequena, como se fosse uso em uma integral. Nesse caso, podemos ver facilmente que é plano e que a forma não importa realmente. Nesse caso, podemos codificar a informação como um vetor, com a magnitude representando a área (escalar); a escolha (como você notado) de apontar para fora de qualquer lado é exatamente isso – uma escolha – mas que pode ser feita de forma consistente. Podemos estender isso para planos não infinitesimais, mas não funciona bem para superfícies curvas.

Para ser preciso, o que você realmente quer é um co-vetor . Este é um gadget abstrato que pega um vetor e cospe um escalar. Para um plano, você quer que isso represente a “quantidade” do vetor que atravessa o plano — então deve ser linear no vetor (dobrar o vetor dobra a saída) e deve levar em consideração o ângulo no qual o vetor o atinge (dá um fator de $ \ cos $). Agora, podemos fazer a pergunta de como representar este co-vetor abstrato, e acontece que um vetor é uma boa ideia! Especificamente, podemos representar a ação tomando o produto escalar, que codifica naturalmente a linearidade e o cosseno. Agora, em geral, isso acontece ter o mesmo número de dimensões que um vetor adequado, mas isso codifica apenas uma área (uma superfície 2D) em 3D — em 2D você obteria uma linha, em 4D um volume (sim! Um vetor 4 cruza um volume em um ponto!).

Se você quer aprender mais sobre esse tipo de coisa, você quer investigar a geometria diferencial, onde tudo é necessário ter clareza sobre esse tipo de coisa e não misturar vetores e co-vetores (chamados formulários nesse campo). Uma boa referência legível é Gauge Fields, Knots and Gravity , que começa com uma visão geral básica da matemática e a desenvolve para uso físico.

Comentários

• No contexto das teorias de campo, como no eletromagnetismo, o conceito de ” a quantidade de um vetor (campo ) que atravessa um segmento plano ” recebe o nome de fluxo . Então você pode pensar em área como sendo caracterizada por uma função que mapeia vetores (ou um campo vetorial) para o fluxo daquele vetor (campo) através da área.
• @luksen o livro que ele mencionou é bom para qual nível de conhecimento matemático e físico? Para reformular, quais são os pré-requisitos para começar a seguir o livro com eficiência? E é um livro de graduação ou graduação?

Pense em Força é a área de tempos de pressão ($ F = P \ cdot A $). Você sabe que a pressão é um escalar (não há direção associada a ela), e uma força é um vetor (ela atua ao longo de um eixo). Então, o que isso significa para a pressão.

Pegue uma pequena área e veja sua contribuição para a força total devido à pressão

$$ {\ rm d} F = P ( x, y, z) \, {\ rm d} A $$

A direção da força é normal à área e sua magnitude é proporcional ao tamanho da área. É por isso que um área infinitesimal $ {\ rm d} A $ pode ser um vetor. É conveniente pensar em (vetor) = (escalar) * (vetor).

Há um exemplo especialmente pitoresco da Lei de Pitágoras em três dimensões aplicada às áreas de um simplex. (Onde por “simplex” acredito que me refiro a uma seção do espaço delimitada por três ortogonais planos e um plano arbitrário.) A soma dos quadrados (das áreas) das três faces pequenas é igual ao quadrado da área da face oblíqua. Isso é facilmente explicado pelos argumentos do tipo pressão / fluxo apresentados nas outras respostas postadas aqui, além da condição física óbvia de que um fluido não perturbado está em equilíbrio consigo mesmo.