Dado um satélite em uma órbita equatorial, um prógrado específico ou queima retrógrada é executado em um ponto arbitrário dentro da órbita e eu preciso calcular a orbital resultante elipse.
A técnica que estou usando é usar primeiro os vetores de posição e velocidade do satélite para encontrar o ângulo da trajetória de vôo, como segue:
$ \ varphi = cos ^ {- 1} (\ frac {r_pv_p} {r_bv_b}) $
Onde $ r_p $ e $ v_p $ são os vetores de posição e velocidade no periapsia da órbita original e $ r_b $ e $ v_b $ são os vetores de posição e velocidade no ponto de queima, e $ v_b = v_ {orig } + \ Delta v $ .
Então calculo a excentricidade da elipse resultante da seguinte maneira:
$ e = \ sqrt {(\ frac {r_bv ^ 2 _b} {GM} -1) ^ 2 \ cos ^ 2 (\ varphi) + sin ^ 2 (\ varphi)} $
De a excentricidade, posso calcular trivialmente o semi-eixo maior.
O que eu não sei como calcular é o argumento do periapsia, $ \ omega $ , da órbita elíptica resultante. Eu reconheço que é uma função da órbita original “s $ \ omega $ e da posição angular da queima, mas estou ficando preso para chegar à posição correta Cálculo. Alguém conhece uma fórmula para encontrá-lo?
Comentários
- Uma opção que deve funcionar, mas eu não ' tentei, é converter para coordenadas cartesianas e vice-versa.
Resposta
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O argumento do periapsis é uma função do vetor de excentricidade e do vetor de movimento médio de uma órbita e é calculado com base na fórmula:
$$ \ cos (\ omega) = \ frac {\ boldsymbol {n} \ cdot \ boldsymbol {e}} {| \ boldsymbol {n} || \ boldsymbol {e} |} $$ assunto para if $$ e_ {Z} < 1, \ implica \ omega = 360 ^ {o} – \ omega $$
onde os vetores de movimento médio e excentricidade são definidos como: $$ n = \ sqrt \ frac {\ mu} {a ^ 3}, \ boldsymbol { e} = \ frac {(v ^ 2- \ frac {\ mu} {r}) \ boldsymbol {r} – (\ boldsymbol {r} \ cdot \ boldsymbol {v}) \ boldsymbol {v}} {\ mu } $$
Uma vez que nosso determinante é o cosseno do argumento do periapsia, o sinal do vetor Z ou terceiro vetor do quadro ECI determina onde ele está.
Então, você pega esses vetores na estrutura inercial do corpo central, usa seu produto escalar e, em seguida, normaliza pelo produto de suas magnitudes.
Existem três espécies casos ciais, dependendo da inclinação e excentricidade da órbita. Se a órbita for equatorial, mas elíptica, então, $$ \ cos (\ omega_ {true}) = \ frac {e_X} {| \ boldsymbol {e} |} $$
Se for circular, mas inclinado, então $$ \ cos (\ omega) = \ frac {\ boldsymbol {n} \ cdot \ boldsymbol {r} } {| \ boldsymbol {n} || \ boldsymbol {r} |} $$
E se for circular e equatorial, então $$ \ cos (\ omega_ {true}) = \ frac {r_X} {| \ boldsymbol {r} |} $$
Estas são conversões padrão quando você transforma os estados de raio e velocidade a elementos orbitais clássicos e podem ser encontrados na maioria dos livros / referências de astrodinâmica.