Sabe-se que uma ponte browniana multivariada padrão $ y (\ mathbf u) $ é um processo Gaussiano centralizado com função de covariância $$ \ mathbb E ( y (\ mathbf u) y (\ mathbf v)) = \ prod_ {j = 1} ^ d (u_j \ cunha v_j) – \ prod_ {j = 1} ^ d u_j v_j $$
Não tenho certeza sobre como construir essa ponte browniana multivariada.
Meu primeiro pensamento foi começar de alguma forma com uma ponte browniana univariada. Encontrei informações sobre isso e até mesmo um pacote em R que pode fazer isso, mas apenas para a ponte browniana univariada.
Eu encontrei isso , mas pelo que entendi, o que foi feito não é uma ponte browniana multivariada padrão conforme definido acima ou, por exemplo, em neste artigo .
Agradeço todas as dicas e suporte.
Comentários
- Como descobri no artigo de Deheuvels link há o seguinte relação entre uma ponte browniana $ B_t $ e uma folha browniana (ou folha de Wiener) $ W_t $: $$ B_t: = W_t – \ frac t T W_T $$ Então eu acho que o problema se reduz à simulação de uma folha browniana. Farei minhas perguntas sobre isso em uma pergunta separada.
- correção, a relação para mais dimensões é $$ B _ {\ mathbf t}: = W _ {\ mathbf t} – \ prod_ {j = 1 } ^ d t_j W _ {(1, …, 1)} $$
- Relacionado: stats.stackexchange.com/questions/34354/ …
Resposta
Como você já apontou nos comentários, a questão se reduz a simular uma folha browniana. Isso pode ser feito generalizando a simulação do movimento browniano de uma forma direta.
Para simular o movimento browniano, pode-se usar um i.i.d. mean-0 variance-1 série temporal $ W_i $ , $ i = 1, 2, \ cdots $ , e construir o processo de soma parcial normalizado $$ X_n (t) = \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ sum_ {i = 1} ^ {[nt]} W_i. $$ Como $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ convergência fraca (em o sentido das medidas de probabilidade Borel em um espaço métrico) para o $ B $ padrão Browniano no espaço Skorohod $ D [0 , 1] $ .
O iid com o caso de segundo momento finito é a maneira mais simples de simular. O resultado matemático (Teorema do Limite Central Funcional / Teorema de Donsker / Princípio da Invariância) é muito mais generalizado.
Agora, para simular a folha browniana (digamos, bidimensional), leva iid média-0 variância -1 matriz $ W_ {ij} $ , $ i, j = 1, 2, \ cdots $ , e construir o processo de soma parcial normalizado $$ X_n (t_1, t_2) = \ frac {1} {n} \ sum_ {1 \ leq i \ leq [nt_1], 1 \ leq j \ leq [nt_2]} W_ {ij}. $$ Como $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ convergência fraca para a folha browniana padrão no espaço Skorohod $ D ([0,1] ^ 2) $ no quadrado da unidade .
(A prova é um argumento de convergência fraca padrão:
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A convergência da distribuição dimensional finita segue a CLT de Levy-Lindeberg.
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Aperto em $ D ([0,1] ^ 2) $ segue de uma condição de momento suficiente que se aplica trivialmente no i.i.d. caso de segundo momento finito — ver, por exemplo Bickel e Wichura (1971). )
Então, pelo teorema de mapeamento contínuo $$ X_n (t_1, t_2) – \ prod_ {j = 1} ^ 2 t_j X_n (t_1, t_2) $$ converge fracamente para a ponte browniana bidimensional.