Eu tenho uma pergunta sobre o modelo preto de 1976 e o modelo de Bachelier.
Eu sei que um movimento browniano geométrico na medida P $ dS_ {t} = \ mu S_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t} ^ {P} $ para um preço de ação $ S_ {t} $ leva (após uma mudança de medida) para o Preto- Fórmula de Scholes para uma chamada:
$$ C = S_ {0} N (d_ {1}) – Ke ^ {- rT} N (d_ {2}) $$.
Onde $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {S_ {0}} {K}) + (r + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2}) T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ e $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Na verdade, não sei como é possível colocar a famosa fórmula preta um contrato a termo:
$$ C = e ^ {- rT} (FN (d_ {1}) – KN (d_ {2})) $$.
onde agora $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {F} {K}) + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2} T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ e $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Devo simplesmente inserir $ F (0, T) = S_ {0} e ^ {rT} $ no primeiro BS fórmula para obter o segundo?
Estou perguntando isso porque tentei derivar a fórmula BS usando um movimento browniano aritmético como $ dS_ {t} = \ mu dt + \ sigma dW_ {t} ^ {P} $, a e obtenho:
$$ C = S_ {0} N (d) + e ^ {- rT} [v n (d) -K N (d)] $$.
onde $ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rT} -K} {v} $ e $ v = e ^ {rT} \ sigma \ sqrt {\ frac {1-e ^ {- 2rT}} {2r}} $ e lembrando que $ N (d) $ e $ n (d) $ são o CDF e o PDF.
mas a substituição anterior $ F (0, T ) = S_ {0} e ^ {rT} $ não parece levar ao resultado conhecido $ C = e ^ {- rT} [(FK) N (d) – \ sigma \ sqrt {T} n (d )] $
onde agora $ d = \ frac {FK} {\ sigma \ sqrt {T}} $
Acho que poderia chegar às equações adiante tanto na geometria movimento browniano e movimento browniano aritmético usando as equações
$ dF = F \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ e $ dF = \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ mas eu não ” não sei como justificar o uso deles.
Comentários
- @Macro Bem-vindo ao Quant. S.E.! Você quer precificar apenas o contrato a termo ou a opção de contrato a termo?
- Olá Neeraj, obrigado pela sua resposta. Eu ‘ d gostaria de precificar uma opção no contrato a termo!
- Basta substituir $ S_0 $ por $ F e ^ {- rT} $ em sua fórmula BS original ou você pode usar uma abordagem neutra ao risco. Ambos levarão à mesma fórmula de avaliação.
- Ok, obrigado. Mas posso fazer o mesmo para o ABM? Porque eu não posso ‘ obter o resultado quando faço esta substituição.
Resposta
Opção europeia no futuro
Para definir o preço da opção europeia no futuro, você só precisa substituir $ S_0 $ por $ Fe ^ {- rT} $ em sua fórmula BS original ou você pode usar uma abordagem neutra ao risco. Ambos levarão à mesma fórmula de avaliação.
Opção americana no futuro
O procedimento acima não pode ser usado para precificar a opção americana no futuro. Em um artigo, A avaliação de opções em contratos futuros por Ramaswamy , afirmou que
Não há solução analítica conhecida para a avaliação da opção americana no contrato futuro.
Os autores usaram o método das diferenças finitas implícitas para precificar a opção americana no contrato futuro.
Edit: Derivação do preço da opção europeia no contrato futuro
Sob medida neutra ao risco, preço futuro, $ F_t $ satisfaça o seguinte SDE: $$ dF_t = \ sigma F_t dW_t $$ onde, $ W_t $ é um processo Wiener. Pode ser facilmente mostrado que: $$ F_T | F_t = F_t e ^ {- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt) + \ sigma (W_T- W_t )} $$ $$ F_T | F_t \ sim logN \ left (ln (F_t) – \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt), \ sigma ^ 2 (Tt) \ right) $$
O preço da opção no contrato futuro $ (C_t) $ abaixo medida neutra ao risco é: $$ C_t = e ^ {- r (Tt)} E_ \ mathbb {Q} [(F_T – K) ^ +] $$
Você pode resolver facilmente a expressão acima para obter o preço da opção escrita no futuro. A distribuição de $ F_T $ é muito semelhante a $ S_T $ (veja esta resposta) . Se você substituir $$ ln (F_t) = ln (S_t) + r (Tt) $$ , você obterá a mesma distribuição de $ S_T $ como sob medida neutra de risco. Este é o motivo pelo qual, para obter o preço da opção no futuro, substituímos $ S_t $ por $ F_t e ^ {- r (Tt)} $ no modelo BS de preço de opção de compra europeia.
Comentários
- Olá Neeraj, na verdade eu ‘ d gostaria de precificar uma opção europeia a partir de um ABM.
- @Marco verifique a resposta de edição.
Resposta
Esta é uma maneira simples de obter o preço da opção de compra no preço a termo usando preços neutros ao risco.
Suponha que temos uma chamada europeia que paga em $ t = T $ , $ (For ( T, T ^ *) – K) ^ + $ , onde $ T ^ * \ geq T $ . Além disso, assuma que as taxas de juros são constantes e são representadas por “ $ r $ “. Seja $ c ^ {For} (t, s) $ o preço da chamada, onde $ S (t) = s $ .
Então, se a ação não pagar dividendos:
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb { E}} [e ^ {- r (Tt)} (For (T, T ^ *) – K) ^ + | S (t) = s] $ , Por replicação pode ser mostrado, $ For (T, T ^ *) = S (T) e ^ {r (T * – T)} $ , e
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) e ^ {r (T * – T)} – K) ^ + | S (t) = s] $
Você deve notar imediatamente, uma vez que as taxas de juros são constantes e, portanto, determinísticas, podemos fazer a matemática “ $ e ^ {r (T ^ * – T)} $ ” termo fora da expectativa:
$ c ^ { Para} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) – e ^ {- r ( T * – T)} K) ^ + | S (t) = s] $
Portanto, agora é proporcional ao preço de chamada de Black Scholes com strike $ X = e ^ {- r (T * – T)} K $
$ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} c ^ {BS} (t, s | X = e ^ {r (T * – T) K} $ ) $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T)} [SN (d_ +) – e ^ {- r (Tt)} e ^ {- r (T * – T)} KN (d _-)] $ $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T )} [SN (d_ +) – e ^ {- r (T * – t)} KN (d _-)] $
$ c ^ {Para } (t, s) = e ^ {- r (T – t)} (FN (d_ +) – KN (d _-)) $ , onde $ F = Se ^ {r (T ^ * – t)} $
também:
$ d _ {\ pm} = \ frac { 1} {\ sigma \ sqrt {Tt}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r \ pm \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2) (Tt)] $
Esta é a “famosa fórmula preta em um contrato a termo”. Espero que isso ajude!
Observe que o preço a termo e o preço do contrato a termo não são iguais. O preço do contrato a termo no momento 0 é 0, mas pode mudar, o preço a termo é o preço que você concorda em pagar na entrega.
Se você estiver curioso para saber o que seria se fosse uma chamada o preço futuro em vez de uma opção de compra sobre o preço futuro, afirmo que se o preço do ativo não está correlacionado com a taxa de juros, então eles são os mesmos, caso contrário, haveria arbitragem (sob premissas de nenhum risco de contraparte etc.). Eu o encorajo a tentar mostrar isso.
(PS Para a resposta dos comentaristas anteriores sobre não haver fórmula para uma opção americana no preço futuro, isso não nos impede de usar monte carlo!)