Teorema da superposição
“ O teorema da superposição para circuitos elétricos afirma que, para um sistema linear, resposta (tensão ou corrente) em qualquer ramo de um circuito linear bilateral tendo mais de uma fonte independente é igual à soma algébrica das respostas causadas por cada fonte independente agindo sozinha, onde todas as outras fontes independentes são substituídas por suas impedâncias internas . “

Que tipos de circuitos pode ser resolvido por sobreposição?

Circuitos feitos de qualquer um dos seguintes componentes podem ser resolvidos usando o teorema de superposição

• Independente fontes
• elementos passivos lineares – resistor, capacitor e indutor
• transformador
• fontes lineares dependentes

Quais são as etapas para resolver um circuito usando o teorema da superposição?

Siga o algoritmo:

1. Resposta = 0;
2. Selecione a primeira fonte independente.
3. Substitua todas as fontes independentes no circuito original, exceto a fonte selecionada por sua impedância interna.
4. Calcule a quantidade (tensão ou corrente ) de interesse e adicione à Resposta.
5. Saia se esta for a fonte independente final. Caso contrário, vá para a etapa 3 com a seleção da próxima fonte.

A impedância interna de uma fonte de tensão é zero e a de uma fonte de corrente é infinita. Portanto, substitua a fonte de tensão por um curto-circuito e a fonte de corrente por um circuito aberto enquanto executa a etapa 3 do algoritmo acima.

Como os diferentes tipos de fontes são tratados quando resolvendo por sobreposição?

As fontes independentes devem ser tratadas como explicado acima.

No caso de fontes dependentes, não toque nelas.

A superposição só se aplica quando você tem um sistema puramente linear, ou seja:

\ begin {align *} F (x_1 + x_2) & = F (x_1) + F (x_2) \ \ F (ax) & = a F (x) \ end {align *}

No contexto da análise de circuito, o circuito deve ser composto de elementos (capacitores, indutores, transformadores lineares e resistores) com N fontes independentes, e o que você está resolvendo deve ser tensões ou correntes. Observe que você pode tomar uma solução sobreposta para tensão / corrente para encontrar outras quantidades que não são lineares (ex. potência dissipada em um resistor), mas você não pode sobrepor (adicionar) quantidades não lineares para encontrar a solução para um sistema maior.

Por exemplo, vamos pegar um único resistor e olhe para a lei de Ohm (estou usando U e J para tensão / corrente respectivamente, sem razão particular) e veja como a corrente contribuiu da fonte \ $ i \ $ afeta a tensão:

\ begin {align *} U = JR = R \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) = \ sum_ {i = 1} ^ NR J_i = \ sum_ {i = 1} ^ N U_i \ end {align *}

Então, posso encontrar a tensão em um resistor somando a contribuição de corrente de cada fonte independente de qualquer outra fonte . Da mesma forma, para encontrar a corrente fluindo através do resistor:

\ begin {align *} J = \ frac {U} {R} = \ frac {1} {R} \ sum_ {i = 1} ^ N U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N \ frac {U_i} {R} = \ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ fim {alinhar *}

No entanto, se eu começar olhando para o poder, a superposição não se aplica mais:

\ begin {align *} P = JU = \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) \ left (\ sum_ {j = 1} ^ N U_j \ right) \ neq \ sum_ {i = 1} ^ N J_i U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N P_i \ end {alinhar *}

O processo geral para resolver um circuito usando sobreposição é:

1. Para cada fonte \ $ i \ $, substitua todas as outras fontes por sua fonte nula equivalente, ou seja, as fontes de tensão tornam-se 0V (curto-circuitos) e as fontes de corrente tornam-se 0A ( circuitos abertos). Encontre a solução \ $ F_i \ $, para quaisquer incógnitas em que você esteja interessado.
2. A solução final é a soma de todas as soluções \ $ F_i \ $.

Exemplo 1

Tome este circuito com duas fontes:

^{simule este circuito – Esquema criado usando CircuitLab}

Desejo resolver para o J atual fluindo por R1.

Escolha V1 como fonte 1 e I1 como fonte 2.

Resolvendo para \ $ J_1 \ $, o circuito se torna:

^{simule este circuito}

Portanto, sabemos que \ $ J_1 = 0 \ $.

Agora resolvendo para \ $ J_2 \ $, o circuito torna-se:

^{simule este circuito}

Portanto, podemos descobrir que \ $ J_2 = I_1 \ $.

Aplicando a superposição, \ begin {align *} J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1 \ end {align *}

Exemplo 2

^{simula o é circuito}

Agora estou interessado na corrente através de R4 \ $ J \ $. Seguindo o processo geral descrito anteriormente, se eu denotar V1 como fonte 1, V2 como fonte 2 e I1 como fonte 3, posso encontrar:

\ begin {align *} J_1 & = – \ frac {V_1} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J_2 & = \ frac {V_2} {R_2 + R_1 + R_4 + R_5} \\ J_3 & = -I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_4 + R_2 + R_5} \ end {align *}

Assim a solução final é: \ begin {align *} J & = J_1 + J_2 + J_3 = \ frac {V_2 – V_1} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} – I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {alinhar *}

O poder da sobreposição vem da pergunta “e se eu quiser adicionar / remover uma fonte?” Digamos, eu quero adicionar uma fonte atual I2:

^{simular este circuito}

Em vez de começar do início, a única coisa que preciso fazer agora é encontrar a solução para minha nova fonte I2 e adicioná-la a minha solução antiga: \ begin {align *} J_4 & = I_2 \ frac {R_1 + R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J & = \ sum_ {i = 1} ^ 4 J_i = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

Comentários

• Tenho alguns comentários que espero que sejam úteis: 1. Acho que usando U e J são um pouco confusos, V e eu somos melhores; 2. A primeira equação para U não deve ser a soma, pois ela ‘ s para a i ‘ é a fonte sozinha; 3. As outras somas devem, creio eu, ser tiradas de i = 1 a N, não de i a N; 4. A superposição na teoria do circuito é usada apenas para corrente e voltagem, então eu moveria a discussão sobre potência mais adiante no texto; 5. No exemplo seguinte ao simples de I1 e R1, não deveria ‘ t J3 = -I1 (…), visto que I1 atua na direção oposta a J3?
• 1. Escolhi usar U e J porque rotulei minhas fontes com V e I, e não ‘ queria confusão causada por \ $ I_3 = I_1 \ cdot (\ textrm {blah} ) \ $. Eu declaro claramente o que U e J são na esperança de limitar a confusão. 2. Sim, deixei a notação mais clara para o que é a variável de soma e o índice inicial. 4. Minha ideia era colocar todas as informações básicas sobre a teoria da sobreposição antes dos exemplos. Deixei as seções de exemplos mais claras para separar os dois. 5. Sim, foi meu erro.