Como pode 64 = 65?

Este é um famoso quebra-cabeça físico que pode ser vinculado ao série fibonacci .

Para responder à pergunta feita, o problema é que as duas inclinações são diferentes ( $ \ frac25 $ vs $ \ frac38 $ ). Observe que todos esses números estão na série de fibonacci ( $ 1,1,2,3,5,8,13,21, \ ldots $ ).

As frações sucessivas são mais aproximadas de $ \ varphi $ , alternando entre acima e abaixo. Diagramas como este podem ser gerados fazendo um quadrado com lados iguais a um número na série de fibonacci (nesta questão 8), em seguida, dividindo-o em dois retângulos com larguras dos dois números de fibonacci que compõem o primeiro escolhido (3 e 5).

Corte o menor na diagonal, e corte o maior no meio na diagonal, de forma que a largura do corte diagonal seja o próximo menor número (2 neste caso). Observe que isso deixará um trapézio, cujo tamanho paralelo pequeno corresponde ao lado menor do retângulo pequeno original (3 neste caso), e cujo tamanho paralelo maior corresponde ao lado menor do retângulo maior original (5 neste caso). / p>

Como $ \ frac25 \ approx \ frac38 $ , e das construções acima, as peças podem ser reorganizadas em um retângulo (como mostrado), o área da qual sempre estará uma de distância do quadrado original, mas parecerá aproximadamente correta, já que as inclinações quase correspondem.

Editar: Como esta resposta recebeu tantos votos positivos (obrigado!), eu suponha que as pessoas estejam muito interessadas nele, então pensei em desenhar algumas imagens!

1,1,2,3 : $ 3 \ times3 = 9 = 10 = 2 \ times5 $

1,2, 3,5: $ 5 \ times5 = 25 = 24 = 3 \ times8 $

2,3,5,8: $ 8 \ times8 = 64 = 65 = 5 \ times13 $ (O exemplo do OP “s)

3,5,8,13 : $ 13 \ times13 = 169 = 168 = 8 \ times21 $

5,8,13,21: $ 21 \ times21 = 441 = 442 = 13 \ times34 $

Um comentário de @EricJ . suscitou uma discussão que pode valer a pena trazer aqui:

Não estou afirmando que todos esses quebra-cabeças sejam baseados na série de Fibonacci. Apenas que todos os números de Fibonacci podem gerar esses diagramas. Existem várias características de Fibonacci números que fazem isso funcionar.

1. Um é que o quadrado de um número de Fibonacci alterna entre ser um a mais e um a menos do que o produto dos números de cada lado.
2. Há o declive que já mencionei, o que significa que nossa construção nos dará duas inclinações que são aproximadamente iguais. E
3. Há um argumento de que a construção geral pode ser feita com base em cada número sendo a soma dos dois anteriores.

Os dois últimos pontos podem ser melhor compreendida estudando a construção em detalhe. O primeiro ponto pode ser provado por indução:

RTP : $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ pm1 $ para $ k \ geq1 $

Estamos indexando para que $ f_0 = 0 $ e $ f_1 = 1 $ .

Etapa 1 : $ k = 1 $ : $ f_1 ^ 2 = f_0f_2 + 1 $ pode ser verificado por substituição.

Etapa 2 : Suponha que seja verdadeiro para $ k $ . Portanto, $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1 $ . (Estou usando $ \ mp1 $ porque estou esperando que ele se alterne, então na etapa 3 irei prová-lo para $ \ pm1 $ )

Etapa 3 : precisamos mostrar que $ f_ {k + 1} ^ 2 = f_ { k} f_ {k + 2} \ pm1 $ . Então aqui vai:

\ begin {eqnarray} f_ {k} f_ {k + 2} \ pm1 & = & f_ {k} (f_ {k} + f_ {k + 1}) \ pm1 \\ & = & f_ {k} ^ 2 + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & (f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1) + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k-1} + f_ {k}) \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k + 1}) \\ & = & f_ {k + 1} ^ 2 \ end {eqnarray}

Usei a definição da série Fibonacci duas vezes ( $ f_ {k + 2} = f_k + f_ {k + 1} $ e $ f_ {k-1} + f_k = f_ {k + 1} $ ) e a suposição da etapa 2.

Isso significa que quando você faz a construção acima, as áreas sempre serão diferentes em apenas 1 (alternando acima e abaixo a cada vez).

Comentários

• Exc ellent resposta! Eu ‘ estou familiarizado com esses quebra-cabeças, mas nunca ouvi falar da conexão Fibonacci. Na verdade, não ‘ nem percebi que havia um algoritmo para gerar tais formas.
• É por isso que nunca confio em ” prova por demonstração ” imagens em math.stackexchange.com .
• Depois de ver essa pergunta, percebi por que minha Ferrari 488 de viagem no tempo mais rápida que a luz não estava ‘ t bastante funcionando (quer dizer, ‘ d retroceder no tempo mais rápido do que a luz Muito bem – mas continuou voltando como um Ford Fiesta!) E eu ‘ d APENAS feito consertando e lançando em um teste quando li esta resposta estúpida ! E ENTÃO a Ferrari voltou – mas desta vez voltou como uma bicicleta COM UM DINOSSAURO PASSANDO! Então, OK, eu bati no dinossauro (o nome dele ‘ s Fred, BTW – cara legal. Engraçado e ‘ coisa, vida .. .) com uma frigideira, e agora ‘ m re-consertando o motor FTL. Portanto, t ‘ anks fer nuttin ‘ !! 🙂
• Acho que ele ‘ está apenas dizendo que estava fazendo algo impossível e agora pode ‘ t mais porque ‘ s provou ser impossível. O que eu não ‘ entendo é por que tantos votos positivos? Quer dizer, eu pensei que estava sendo inteligente, mas não tão inteligente!
• Ah, é? NÓS VAMOS! Acabei de votar sua resposta, apenas para torná-la igual a 100! ASSIM LÁ !!!! 🙂 (E como um aparte para @ghosts_in_the_code – eu não estava ‘ realmente dizendo que esta resposta é estúpida – eu me referi a ela como ” stupid ” em um sentido irônico que significa ” A resposta provou que estou errado! Que resposta estúpida! ” – isto é, eu ‘ sou o verdadeiro manequim aqui. Esperançosamente nós ‘ estamos todos bem agora …) . Meu comentário é, na verdade, uma homenagem a três filmes: Back To The Future, ET e Caddyshack. E a trilogia Guia da galáxia do Hitchiker ‘ – todos os cinco livros. 🙂

O diagrama é enganador , pois esconde uma lacuna no meio da segunda configuração.

Isso é o que realmente obteremos se reorganizarmos as formas em questão. Observe que a diagonal “curva” ligeiramente, deixando algum espaço extra entre as formas – é aqui que a unidade extra de área se insinua.

Mas você não deve confiar em mim mais do que na pessoa que desenhou a imagem original!

Como vemos aqui, as imagens podem ser enganosas – portanto, meu diagrama não prova que o o diagrama original estava errado. Isso apenas dá uma sensação intuitiva de onde veio o espaço extra.

Para uma prova adequada, considere os gradientes:

• O gradiente do trapézio azul é $ 5/2 = 2,5 $
• O gradiente do o triângulo vermelho é $ 8/3 = 2.666 … $

Visto que os gradientes não correspondem, não podemos organizá-los lado a lado desta forma sem algum espaço em branco entre eles . Mas, como eles estão próximos, o olho pode ser enganado e pensar que eles formam uma única linha contínua e não percebe a inclinação do triângulo mudando no meio do caminho.

Comentários

• Eu amo esses quebra-cabeças – há ‘ uma boa moral filosófica de não aceitar as coisas como elas ‘ são apresentadas para você.

A imagem à direita cheats : as peças na verdade não se encaixam perfeitamente, há uma lacuna entre eles. Para provar isso, podemos calcular o tamanho da lacuna, calculando o tamanho de um triângulo, formado por:

• o lado mais longo do triângulo amarelo: $ a = \ sqrt {3 ^ 2 + 8 ^ 2} $
• o lado inclinado do trapézio: $ b = \ sqrt {2 ^ 2 + 5 ^ 2} $
• a diagonal do retângulo no direita: $ c = \ sqrt {5 ^ 2 + 13 ^ 2} $

A área deste triângulo pode ser calculada usando a fórmula de Heron:

$ $ A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} $$

onde

$$ s = \ frac {1} {2} (a + b + c) $$

Substituir os valores na fórmula dá exatamente 0,5 para $ A $. Existem dois desses triângulos, de modo que “sa total 1 = a discrepância esperada.

É um diagrama enganoso. Na realidade, os ângulos não correspondem – o ângulo interno maior do triângulo laranja é de cerca de 69,5 graus, enquanto é 68,2 para o quadrilátero cinza. (Corrija-me se eu estiver errado – limpando minha trigonometria aqui.) No diagrama com a área 65, as áreas laranja são, na verdade, quadriláteros. Se você olhar de perto, pode ver que elas têm uma ligeira inflexão onde encontram a outra laranja seção. Assim, essa área extra vem expandindo-os um pouco.

Os triângulos não têm a mesma inclinação ; você pode ver que a grande linha diagonal através do retângulo “maior” se curva. É coberto pelas linhas grossas ao redor dos triângulos, mas há um orifício muito fino que tem uma área total de um quadrado – o mesmo quadrado que supostamente “apareceu do nada”.

Basta ampliar a imagem e você “ll ver a resposta.

Resposta simples :

Essas formas (em laranja) no lado direito da imagem, não são triângulos de forma alguma! eles são dois quadriláteros. e, portanto, eles têm área maior do que visualmente esperado. então não há equidade aqui. Eles são diferentes e, portanto, têm uma área total diferente.

A imagem do retângulo inferior é enganosa, porque engana as pessoas em assumir incorretamente que a largura dos triângulos tem exatamente 3 unidades.

A largura real pode ser facilmente calculada – é uma fração da largura total, definida pela altura do ponto na diagonal, ou exatamente em 13/8 de 5, ou seja, 3,076923077 (e não 3), qed

Comentários

• De acordo com a declaração do quebra-cabeça, os triângulos em ambos os diagramas são idênticos e a forma dos triângulos é definida na configuração 8×8 como exatamente três unidades por oito unidades. O erro está bem ilustrado em alexwlchan ‘ resposta e matematicamente explicada em várias outras: As peças não ‘ realmente se encaixam na configuração 5×13. Há ‘ uma lacuna trapezoidal fina entre eles, que está oculto pela linha diagonal grossa, preta e não muito reta desenhada na ilustração 5×13 original.