Como / quando o cálculo é usado na Ciência da Computação?

Isso é um tanto obscuro, mas o cálculo aparece em tipos de dados algébricos. Para qualquer tipo, o tipo de seus contextos de um buraco é a derivada desse tipo. Veja esta excelente palestra para uma visão geral de todo o assunto. Esta é uma terminologia muito técnica, então vamos explicar.

Tipos de dados algébricos

Você pode ter se deparado com tuplas sendo chamadas de tipos de produto (se não, é porque eles são o produto cartesiano de dois tipos). Vamos interpretar isso literalmente e usar a notação:

$$ a * b $$

Para representar uma tupla, onde $ a $ e $ b $ são os dois tipos. Em seguida, você pode ter encontrado tipos de soma são tipos que podem ser um tipo ou outro (conhecido como uniões , variantes ou como Qualquer digite (meio que) em Haskell). Também vamos interpretar este literalmente e usar a notação:

$$ a + b $$

Estes são nomeados como são porque se um tipo $ a $ tiver $ N_a $ valores e um tipo $ b $ tem $ N_b $ valores, então o tipo $ a + b $ tem $ N_a + N_b $ valores.

Esses tipos parecem expressões algébricas normais e podemos, de fato, manipulá-los como tal (até certo ponto).

Um exemplo

Em linguagens funcionais, uma definição comum de lista (dada em Haskell aqui) é esta:

data List a = Empty | Cons a List 

Isso diz que uma lista está vazia ou uma tupla de um valor e outra lista. Transformando isso em notação algébrica, obtemos:

$$ L (a) = 1 + a * L (a) $$

Onde $ 1 $ representa um tipo com um valor (também conhecido como o tipo de unidade). Inserindo repetidamente, podemos avaliar isso para obter uma definição para $ L (a) $ :

$$ L (a) = 1 + a * L (a) $$ $$ L (a) = 1 + a * (1 + a * L ( a)) $$ $$ L (a) = 1 + a + a ^ 2 * (1 + a * L (a)) $$ $$ L (a) = 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 * (1 + a * L (a)) $$ $$ L (a) = 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + a ^ 4 + a ^ 5 … $$

(Onde $ x ^ n $ significa multiplicação repetida.)

Esta definição diz então que uma lista é uma unidade ou uma tupla de um item, ou uma tupla de dois itens, ou de três etc, que é a definição de uma lista!

Contextos de um buraco

Agora em para contextos de um furo: um contexto de um furo é o que você obtém quando “tira um valor” de um tipo de produto. Vamos dar um exemplo:

Para uma 2-tupla simples que é homogênea, $ a ^ 2 $ , se retirarmos um valor , obtemos apenas 1 tupla, $ a $ .Mas há dois contextos diferentes de um orifício desse tipo: a saber, o primeiro e o segundo valores da tupla. Portanto, como é qualquer um desses, poderíamos escrever que é $ a + a $ , que é, obviamente, $ 2 a $ . É aqui que a diferenciação entra em jogo. Vamos confirmar isso com outro exemplo:

Tirar um valor de uma 3-tupla resulta em 2-tupla, mas há três variantes diferentes:

$$ (a, a, \ _) $$ $$ (a, \ _, a) $$ $$ (\ _, a, a) $$

Dependendo de onde colocarmos o buraco. Isso nos dá $ 3a ^ 2 $ que é de fato o derivado de $ a ^ 3 $ . Há uma prova disso em geral aqui .

Para nosso exemplo final, vamos usar uma lista:

Se tomarmos nossa expressão original para uma lista:

$$ L (a) = 1 + a * L (a) $$

Podemos reorganizar para obter:

$$ L (a) = \ frac {1} {1 – a} $$

(Na superfície, isso pode parecer um absurdo, mas se você pegar a série taylor desse resultado, obterá a definição que derivamos anteriormente.)

Agora, se diferenciarmos isso, e um resultado interessante:

$$ \ frac {\ partial L (a)} {\ partial a} = (L (a)) ^ 2 $$

Assim, uma lista se tornou um par de listas. Na verdade, isso faz sentido: as duas listas produzidas correspondem aos elementos acima e abaixo da lacuna na lista original!

Comentários

• Isso foi maravilhosamente perspicaz. Obrigado.

Métodos numéricos. Existem problemas de cálculo complicados que são exclusivos de aplicações específicas e eles precisam de soluções mais rápidas do que um ser humano pode resolver sem um programa. Alguém precisa projetar um algoritmo que calcule a solução. Não é essa a única coisa que separa os programadores dos cientistas?

Comentários

• Dado o " list " natureza desta pergunta, cada resposta deve tentar fornecer uma imagem completa. Tem certeza de que deseja afirmar que os métodos numéricos são a única instância?
• Os comentários não são para discussão prolongada; esta conversa foi movida para o bate-papo .

Automação – Semelhante à robótica, automação pode exigir a quantificação de muito comportamento humano.

Cálculos – Encontrar soluções para as provas geralmente requer cálculos.

Visualizações – A utilização de algoritmos avançados requer cálculos como cos, seno, pi e e. Especialmente quando você está calculando ting vetores, campos de colisão e malhas.

Logística e análise de risco – Determinar se uma tarefa é possível, o risco envolvido e a possível taxa de sucesso.

Segurança – A maior parte da segurança pode ser executada sem cálculo; no entanto, muitas pessoas que desejam explicações preferem em expressões matemáticas.

AI – Os fundamentos da AI pode ser utilizado sem cálculo; no entanto, calcular comportamento avançado, inteligência de enxame / mentes coletivas e tomada de decisão baseada em valores complexos.

Cálculos médicos – Visualizar a maioria dos dados de saúde requer cálculos, como uma leitura de EKG.

Ciência & Engenharia – Ao trabalhar com quase qualquer outra disciplina científica exige cálculo: Aeroespacial, Astrologia, Biologia, Química ou Engenharia.

Muitas pessoas na programação podem seguir toda a sua carreira sem usando cálculo; no entanto, pode ser inestimável se você estiver disposto a fazer o trabalho. Para mim, tem sido mais eficaz em automação, logística e visualização. Identificando padrões específicos, você pode simplesmente ignorar o padrão, imitar o padrão ou desenvolver um método superior todos juntos.

Comentários

• Como são cos, seno, $ \ pi $ e $ \ mathrm {e} $ calculus?
• Bem, $ \ exp (x) $ pode ser definido para ser a solução única para $ f (x) = f ' (x) $ com $ f ( 0) = 1 $ e, da mesma forma, sin, cos pode ser definido como o par exclusivo de funções que satisfaz $ f ' (x) = g (x) $, $ g ' (x) = -f (x) $ com condições de contorno apropriadas (acho que $ f (0) = 0 $ e $ g (0) = 1 $ deve funcionar).
• @DavidRicherby: Exemplo: como você implementa essas funções em, digamos, um microcontrolador sem FPU? Se você conhece cálculo, sabe imediatamente uma boa resposta: séries de potências.

O fato é que há muito pouca chance de você usar cálculo. No entanto, praticamente todas as outras disciplinas científicas FAZEM uso de cálculo e você está se formando em ciências. Existem certas expectativas sobre o que um diploma universitário em ciências deve significar e uma dessas coisas é que você sabe cálculo. Mesmo que você nunca use isso.

Não há problema se você se sair mal em cálculo, mas certifique-se de colocar algum esforço em matemática discreta. Existem muitos problemas de programação do mundo real em que a matemática discreta entra em jogo e a ignorância de seus princípios pode constrangê-lo na frente de outros programadores.

Comentários

• Seu primeiro parágrafo está completamente errado e beirando a teoria da conspiração. Existem muitas áreas da ciência da computação onde o cálculo é útil (veja as outras respostas para listas intermináveis delas). Claro, é ' possível evitar todas essas áreas, mas ' é muito enganoso afirmar que a eliminação do cálculo terá impacto zero além notas.
• Dependendo do seu programa de graduação, você pode concluir um diploma sem nunca usar cálculo, e eu definitivamente acho que os maiores CS não ' não precisam disso como nós começamos. Mas ir mal nisso o deixará fora de algumas das áreas mais interessantes da ciência da computação. Haverá ' muito tempo para ser um desenvolvedor da Web assim que você se formar; enquanto estiver na escola, por que não tentar se esforçar um pouco?
• @tsleyson Se você quer ser um desenvolvedor web, economize o dinheiro e o tempo necessários para obter um diploma de CS.
• @ScottB Você parece estar confundindo ciência da computação com programação.
• @ScottB Quem ' está dizendo CS = matemática + programação? Eu mesmo venho defendendo essa visão limitada há anos. Mas você também entendeu ao contrário: a matemática é parte integrante do CS, assim como é para a física. Nós precisamos disso, mesmo que não ' queiramos praticar . (Dito isso, este não é o lugar para esta discussão. Junte-se a nós no Bate-papo da Ciência da Computação se quiser continuar.)

Muitas pessoas já forneceram aplicativos em CS. Mas às vezes você encontrará Cálculo quando menos espera:

Derivadas de expressão regular reexaminadas

Se você souber autômatos este pdf pode valer a pena ler.

Comentários

• Eu não ' não vejo nenhum cálculo diferencial lá; vejo a palavra " derivada ", mas não ' não vejo nada semelhante ao cálculo diferencial tradicional.
• Ele ' é chamado de " derivada formal ", e está relacionado ao Cálculo, de certa forma. Você também verá isso feito com Funções Geradoras, algumas fórmulas relacionadas a estruturas discretas e outras áreas onde você não ' t na verdade, tem uma " função suave ".
• @Jay: O importante én ' o nome. Como o entendo ng cálculo ajuda com isso?
• É explicado nesta página da Wikipedia . A derivada formal é uma operação em elementos da estrutura analgébrica que contém polinômios e é formalmente " bem como " a regra usual para diferenciação polinômios, entretanto – diferentemente do que um estudante vê em Cálculo – os polinômios não são sobre reais; eles podem ser polinômios sobre um " anel " arbitrário (outra estrutura algébrica). E há aplicações práticas da derivada formal – eu vi pelo menos uma (criptoanálise algébrica – não pode ' lembrar os detalhes).

Alguns exemplos mais específicos:

• O cálculo é usado para derivar o regra delta , que permite que alguns tipos de redes neurais “aprendam”.
• O cálculo pode ser usado para calcular a transformada de Fourier de uma função oscilante, muito importante em análise de sinais.
• O cálculo é usado o tempo todo na computação gráfica, que é um campo muito ativo à medida que as pessoas continuamente descobrem novas técnicas. Para obter um exemplo fundamental, verifique a equação de renderização de Kajiya
• O cálculo é importante no campo da geometria computacional, investigue a modelagem de curvas e superfícies.

A essas outras respostas excelentes, adiciono este ponto: rigor no teste .

Ao criar casos de teste para alguns aplicativos, tive que fazer uso de cálculo para prever os tempos de execução esperados, tamanhos de memória, e escolher parâmetros ideais ao ajustar estruturas de dados. Isso inclui a compreensão do erro de arredondamento esperado etc.

Embora as estatísticas sejam mencionadas em outras respostas, gostaria de mencionar especificamente algoritmos de Monte-carlo , como algoritmos de otimização e alguns algoritmos de streaming frugais que são baseados em princípios matemáticos que incluem cálculo.

Indústrias específicas onde trabalhei onde o cálculo era necessário incluem:

• Finanças (criando uma plataforma de negociação)

• Seguro (integração numérica de apólices de seguro em cenários hipotéticos para calcular as perdas esperadas de apólice)

• Logística (otimizando a consolidação de rotas de transporte)

• Processamento de sinal

Cálculo – a parte integral – é usada diretamente no CS como uma base para pensar sobre a soma. Se você trabalhar em qualquer parte da seção de matemática concreta de Knuth sobre soma, você reconhecerá rapidamente as convenções comuns ao cálculo: entender alguns dos casos contínuos fornece ferramentas para considerar o discreto.

Muitos dos usos do seu estudo de ciência da computação envolvem sistemas de programação que monitoram as mudanças ou, em alguns casos, tentam prever o futuro. A matemática em torno desses sistemas é baseada em equações diferenciais e álgebra linear, e as equações diferenciais são … cálculo. Existem professores como Gibert Estranhos que defendem uma mudança mais rápida para a parte das equações diferenciais, mas ainda é um subconjunto do cálculo. Quando a mudança depende da mudança em qualquer sistema, ele começa a ser instável (e estável) de maneiras que são não intuitivas e muito bem entendido. Para entender por que seu sistema linear sensato está se comportando de maneiras não lineares, você precisa das ferramentas de cálculo ou reinventá-las para o seu espaço de problema.

E, finalmente, o CS frequentemente requer a leitura e a compreensão do trabalho de outros, e o cálculo é a primeira exposição a muito vocabulário, convenção e história compartilhados.

Comentários

• " Muitos dos usos do seu estudo de CS envolvem sistemas de programação que monitoram mudanças, ou, em alguns casos, tente prever o futuro " – Não ' não acho que isso seja representativo dos principais cursos de ciências da computação.