A esfera de Bloch é lindamente minimalista.

Convencionalmente, um qubit tem quatro parâmetros reais; $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ {i \ phi} | 1 \ rangle. $ No entanto, alguns insights rápidos revelam que $ a $ -vs- $ b $ tradeoff só tem um grau de liberdade devido à normalização $ a ^ 2 + b ^ 2 = 1 $ e alguns insights mais cuidadosos revelam que, da maneira como construímos valores de expectativa em QM, você não pode observar $ \ chi $ ou $ \ phi $ , mas apenas a diferença $ \ chi – \ phi $ , que é $ 2 \ pi $ -periódico. (Isso é abordado mais detalhadamente nos comentários abaixo, mas de forma breve: QM apenas prevê médias $ \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle $ e mudando a fase geral de uma função de onda por algum $ | \ psi \ rangle \ mapsto e ^ {i \ theta} | \ psi \ rangle $ , portanto, se cancela em todas as previsões.)

Então, se você pensar no máximo abstrato sobre o que você precisa, basta desenhar uma linha de 0 a 1 representando o $ a $ -vs – $ b $ compensação: quanto é isso em um desses dois estados? Em seguida, você desenha círculos em torno dele: qual é a diferença de fase? O que o impede de ser um cilindro é que a diferença de fase deixa de ter importância quando $ a = 1 $ ou $ b = 1 $ , portanto, os círculos devem ser reduzidos a pontos. Et voila , você tem algo que é topologicamente equivalente a uma esfera. A esfera contém todas as informações de que você precisa para os experimentos e nada mais.

Também é física, uma esfera real no espaço 3D.

Este é o fato mais chocante. Dada apenas a imagem simples acima, você poderia ser perdoado por pensar que tudo isso era matemática inofensiva: não! Na verdade, o qubit quintessencial é um sistema spin- $ \ frac 12 $ , com as matrizes de Pauli indicando a maneira como o sistema está girando em torno da matemática $ x $ , $ y $ ou $ z $ eixos. Este é um sistema em que identificamos $ | 0 \ rangle $ com $ | \ uparrow \ rangle $ , $ | 1 \ rangle $ com $ | \ downarrow \ rangle $ , e a diferença de fase chega em escolhendo o $ + x $ -eixo por meio de $ | {+ x} \ rangle = \ sqrt {\ frac 12} | 0 \ rangle + \ sqrt {\ frac 12} | 1 \ rangle. $

As direções ortogonais do espaço não são ortogonais de Hilbert no tratamento QM, porque não é assim que a física deste sistema funciona. Os estados ortogonais de Hilbert são incomensuráveis: se você está neste estado, definitivamente não está naquele.Mas este sistema tem um spin com uma magnitude total definida de $ \ sqrt {\ langle L ^ 2 \ rangle} = \ sqrt {3/4} \ hbar $ , mas apenas $ \ hbar / 2 $ dele aponta na direção em que está “mais apontado”, o que significa que deve ser distribuído em algum tipo de “anel” em torno dessa direção. Da mesma forma, quando você mede que está na direção $ + z $ , verifica-se que também está meio que na metade do $ + x $ , metade na direção $ – x $ . (Aqui, “mais ou menos” significa: é, se você seguir uma $ x $ -medição.)

Então, vamos perguntar “ em qual direção o giro- $ \ frac12 $ está girando mais? ” Isso requer a construção de um observável. Para dar um exemplo, se a $ + z $ -direcção é mais ligada por um estado $ | \ uparrow \ rangle $ então o observável para $ z $ -spin é a matriz Pauli $ \ sigma_z = | \ uparrow \ rangle \ langle \ uparrow | – | \ downarrow \ rangle \ langle \ downarrow |, $ $ + 1 $ nesse estado, $ -1 $ no estado perpendicular de Hilbert $ \ langle \ downarrow | \ uparrow \ rangle = 0. $ Da mesma forma, se você olhar para $ \ sigma_x = | \ uparrow \ rangle \ langle \ downarrow | + | \ downarrow \ rangle \ langle \ uparrow | $ você verá que o estado $ | {+ x} \ rangle $ definido acima é um autovetor com autovalor +1 e da mesma forma deve haver um $ | {-x} \ rangle \ propto | \ uparrow \ rangle – | \ downarrow \ rangle $ que satisfaça $ \ langle {+ x} | {-x} \ rangle = 0, $ e você pode recuperar $ \ sigma_x = | {+ x} \ rangle \ langle {+ x} | – | {-x} \ rangle \ langle {-x} |. $

Então o estado ortogonal a $ | \ psi \ rangle = \ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle $ é $ | \ bar \ psi \ rangle = \ beta ^ * | 0 \ rangle – \ alpha ^ * | 1 \ rangle, $ então o observável que é +1 nesse estado ou -1 no estado oposto é: $$ \ begin {align} | \ psi \ rangle \ langle \ psi | – | \ bar \ psi \ rangle \ langle \ bar \ psi | & = \ begin {bmatrix} \ alpha \\\ beta \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ alpha ^ * & \ beta ^ * \ end {bmatrix} – \ begin {bmatrix} \ beta ^ * \\ – \ alpha ^ * \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ beta & – \ alpha \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} | \ alpha | ^ 2 – | \ beta | ^ 2 & 2 \ alpha \ beta ^ * \\ 2 \ alpha ^ * \ beta & | \ beta | ^ 2 – | \ alpha | ^ 2 \ end {bmatrix} \ end {align} $$ Escrevendo isso como $ v_i \ sigma_i $ onde $ \ sigma_i $ são as matrizes Pauli que obtemos: $$ v_z = | \ alpha | ^ 2 – | \ beta | ^ 2, \\ v_x + i v_y = 2 \ alpha ^ * \ beta. $$ Agora deixando $ \ alpha = \ cos (\ theta / 2) $ e $ \ beta = \ sin (\ theta / 2) e ^ {i \ phi} $ descobrimos que são: $$ \ begin {align} v_z & = \ cos ^ 2 (\ theta / 2 ) – \ sin ^ 2 (\ theta / 2) & = & ~ \ cos \ theta, \\ v_x & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ cos (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi, \\ v_y & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ sin (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi. \ end {align} $$ Assim, a prescrição de Bloch usa um $ (\ theta, \ phi) $ que são simplesmente as coordenadas esféricas do ponto em a esfera que tal $ | \ psi \ rangle $ é “mais girando na direção de”.

Então, em vez de ser puramente teórico visualização, podemos dizer que o sistema spin- $ \ frac 12 $ , o qubit prototípico, na verdade gira na direção dada pelas coordenadas da esfera de Bloch! (Pelo menos, na medida em que um sistema de spin-up gira.) É implacavelmente físico : você quer colocá-lo em um canto matemático e diz: “não, para sistemas reais, estou apontado nesta direção no espaço 3D real e você tem que prestar atenção em mim. ”

Como eles respondem às suas perguntas.

1. Sim, N e S são espacialmente paralelos, mas no espaço de Hilbert eles são ortogonais. Essa ortogonalidade de Hilbert significa que um sistema não pode ser tanto spin-up quanto spin-down.Por outro lado, a falta de ortogonalidade de Hilbert entre, digamos, as direções $ z $ e $ x $ significa que ao medir o $ z $ -spin, você ainda pode ter medidas diferentes de zero do spin no $ x $ -direcção, que é uma característica chave de tais sistemas. Na verdade, é um pouco confuso ter duas noções diferentes de “ortogonal”, uma para o espaço físico e outra para o espaço de Hilbert, mas isso vem de ter dois espaços diferentes para os quais você está olhando.

2. Uma maneira de ver por que os ângulos são fisicamente muito úteis é fornecida acima. Mas, como mencionado na primeira seção, você também pode vê-lo como um exercício puramente matemático de tentar descrever o espaço de configuração com uma esfera: então, você naturalmente tem o ângulo polar como a diferença de fase, que é $ 2 \ pi $ -periódico, então essa é uma coordenada naturalmente azimutal; portanto, a forma como a coordenada está ao longo de 0/1 deve ser uma coordenada polar com $ 0 $ mapeando para $ | 0 \ rangle $ e $ \ pi $ mapeando para $ | 1 \ rangle $ . A maneira óbvia de fazer isso é com $ \ cos (\ theta / 2) $ mapeando de 1 a 0 ao longo deste intervalo, como a amplitude de $ | 0 \ rangle $ estado; o fato de que $ \ cos ^ 2 + \ sin ^ 2 = 1 $ significa que $ | 1 \ rangle $ estado deve ter uma amplitude de $ \ sin (\ theta / 2) $ para corresponder.

Comentários

• Eu tenho uma confusão semelhante em relação à esfera de Bloch como OP. Você poderia explicar um pouco o que você quer dizer com ” e um insight mais cuidadoso revela que, da maneira como construímos valores de expectativa em QM, você não pode observar $ \ chi $ e $ \ phi $ eles próprios, mas apenas a diferença $ \ chi – \ phi $, que é $ 2 \ pi $ -periodic “?
• @Moses: claro. todas as previsões de QM são valores esperados na forma $ \ langle A \ rangle = \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle. $ Calcule isso para $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ {i \ phi} | 1 \ rangle $ com $ A_ {ij} = \ langle i | \ hat A | j \ rangle $ (então $ A_ {ij} = A_ {ji} ^ * $) para encontrar $ \ langle A \ rangle = a ^ 2A_ {00} + b ^ 2A_ {11} + 2ab ~ \ text {Re} \ Grande (A_ {10} e ^ {i (\ chi- \ phi)} \ Grande). $ Não valor de expectativa, portanto, revela qualquer coisa sobre $ \ phi $ ou $ \ chi $ em si, mas apenas potencialmente $ \ delta = \ phi- \ chi $ através deste termo $ e ^ {i \ delta} $ que é obviamente $ 2 \ pi $ – periódico em $ x $.
• Mais geralmente, a fase global de uma função de onda não é observável; esses colchetes de expectativa dizem que as expectativas no estado $ | \ psi ‘ \ rangle = e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle $ devem ser $$ \ langle A \ rangle_ {\ psi ‘} = \ langle \ psi | e ^ {- i \ varphi} \ hat A e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle = e ^ {- i \ varphi} e ^ {i \ varphi} \ cdot \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle = 1 \ cdot \ langle A \ rangle _ {\ psi}. $$
• Pode ajudar o OP a internalizar a naturalidade de $ \ frac {\ theta} {2} $ para apontar que corresponde ao fato de estarmos lidando com uma partícula de spin – $ \ frac {1} {2} $. O meio giro leva a que os geradores de rotação não sejam $ \ sigma $, mas sim $ \ frac {\ sigma} {2} $ (para manter o autovalor sendo $ \ pm \ frac {\ hbar} {2} $). Assim, a transformação que atua no estado para uma rotação física de $ \ theta $ torna-se $ e ^ {- i \ hbar \ frac {\ theta} {2} \ sigma} $ – levando a uma rotação de $ \ frac {\ theta} {2} $ para o estado.
• Por que precisamos de uma esfera 3D e não apenas de um círculo em um plano? Se imaginarmos o qubit como os 2 valores possíveis do spin de um átomo ou sua superposição … Qual ‘ é o significado físico do ângulo azimutal ϕ?

Você pode associar pontos na superfície de uma esfera unitária com estados de spin puros da seguinte maneira simples.

Um ponto da esfera $ (n_x, n_y, n_z) $ está associado a um autovetor do operador $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ com um autovalor positivo e vice-versa. Isso inclui todos os estados de spin 1/2 de uma única partícula.

E isso não é aleatório, nem visualização, nem matemática. Se você tiver um dispositivo Stern-Gerlach com um campo magnético não homogêneo apontando na direção $ (n_x, n_y, n_z) $, então ele desviará consistentemente esse feixe em uma direção particular quando tiver aquele estado que é próprio a $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $

Mas isso não é muito confuso? Se os pólos norte e sul forem escolhidos, os dois estados serão na mesma linha e não mais ortogonal,

Não é nem um pouco confuso. A geometria está relacionada à orientação do dispositivo físico no laboratório para o qual seu estado fornece resultados confiáveis.O dispositivo de orientação oposta também fornece resultados confiáveis. Isso é comum para estados ortogonais em que estados teonortogonais podem ser próprios do mesmo operador.

Assim, pontos diferentes da esfera de Bloch identificam orientações diferentes que fornecem o resultado “para cima” para estados diferentes. Não confunda a orientação do dispositivo de medição no espaço 3D com a geometria dos estados no espaço de rotação.

então como alguém pode escolher um ponto arbitrário $ p $ na superfície da esfera e possivelmente decompô-lo em termos de $ 0,1 $ estados para encontrar $ a $ e $ b $?

É o contrário. Como você decidiu chamar algum estado de 0 e outro de 1? Você escolheu uma orientação aleatória e chamou-a de z e orientou seu dispositivo para que o campo magnético não apontasse dessa forma. Isso deu a você um sobe e desce.

Mas agora podemos especificar qualquer estado de spin. Você mesmo tem um ponto arbitrário $ (n_x, n_y, n_z) $ então encontre o vetor próprio de $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $ Com valor próprio positivo. Chame-o de $ \ left | s \ right \ rangle, $ e $$ \ left | s \ right \ rangle = \ langle 0 \ left | s \ right \ rangle \ left | 0 \ right \ rangle + \ langle 1 \ left | s \ right \ rangle \ left | 1 \ right \ rangle $$ então há seu $ a $ e $ b $ exceto que você não sabe a fase e magnitude geral, mas um estado de rotação de uma única partícula não tem um desses .

Isso significa que não se deve considerar a esfera de Bloch como uma base válida para o nosso sistema e que é apenas um auxiliar de visualização?

Não, isso significa que você não deve confundir a geometria do laboratório com a geometria do espaço de Hilbert. A física é uma ciência experimental, portanto, definitivamente relacionados, mas eles não são os mesmos.

Se você deseja projetar um vetor em um eigenspaces, não projete os rótulos uns nos outros. Você pode ter um estado de spin e outro estado de spin e quando você coloca um através de um dispositivo Stern-Gerlach orientado para o outro, os graus de liberdade espaciais se dividem e se separam em um que está para cima naquela direção e outro que está espacialmente para baixo daquela a direção e o estado de rotação mudam literalmente para apontar para cima no feixe que espacialmente subiu e para baixo no feixe que desceu. Assim, o spin de uma partícula ficou emaranhado com sua própria posição.

O tamanho da projeção de Hilbert informa o tamanho das partes espaciais que foram defletidas e divididas. Mas você também não precisa literalmente para lembrar regras como essa. Se você escrever a equação de Schrödinger para o dispositivo Stern-Gerlach, o feixe se divide e se separa nas partes de tamanho correto e os spins se alinham nas duas polarizações e isso acontece sem que você diga a ele para fazer isso.

Então então o estado de spin é limpo. Ele está lhe dizendo a direção que seguirá com segurança, se você der uma chance. E se você colocá-lo em um Stern-Gerlach com orientação diferente, ele será forçado a seguir em uma das duas direções permitidas por aquela orientação e se dividirá e seguirá em ambas. Para obter os tamanhos de cada parte, você pode evoluir a equação de Schrödinger ou calcular os autovetores do operador $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ e pontilha-lo com o autovetor de autovalor positivo ortogonal ao outro vetor.

E sim, existem maneiras mais fáceis de fazer isso e muito mais você pode tirar com isso. Mas espero que você veja a outra geometria.

Você poderia mostrar como se obtém então $ cos \ theta / 2 $ e $ e ^ {i \ phi } $ termos?

Eu estava usando os operadores de spin Pauli, se você quiser escolher uma base, pode escrevê-los como matrizes (um operador é uma função em um espaço vetorial , uma matriz representa um operador após você selecionar uma base; o operador existe e é o mesmo, independentemente de qual base você pode ou não selecionar posteriormente). $$ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z = \ left (\ begin {matrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x + in_y & -n_z \ end {matrix} \ right). $$

E o autovetor com autovalor positivo é $ \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right), $ a menos que $ n_z = 1 $ então é $ \ left (\ begin {matrix} 1 \\ 0 \ end {matrix} \ right). $ Vamos lidar com o caso de $ n_z = 1 $ primeiro, nesse caso $ a = 1 $ e $ b = 0 $ e $ \ theta = 0 $ então $ a = \ cos (\ theta / 2) $, $ b = e ^ {i \ phi} \ sin (\ theta / 2) $ all funciona.

Se você deseja escrever o vetor próprio como um vetor unitário, você obtém $ \ frac {1} {\ sqrt {2-2n_z}} \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right). $ Se você quiser ajustar a fase para que a primeira coordenada seja real e positiva, você obtém $ \ frac { 1} {\ sqrt {2-2n_z} \ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} \ left (\ begin {matrix} n_x ^ 2 + n_y ^ 2 \\ (n_x + in_y) (1-n_z) \ end {matrix} \ right). $

O resto é trigometria, por exemplo $ \ frac {n_x + in_y} {\ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} = e ^ {i \ phi }. $ Então, só precisamos mostrar que $ \ cos ( \ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} $ e que $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1-n_z} { 2}}.$ O último é uma identidade trigonométrica $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {2}}. $

O primeiro é $$ \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2 + n_z ^ 2-n_z ^ 2} {2-2n_z}} $ $ $$ = \ sqrt {\ frac {1-n_z ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {(1-n_z) (1 + n_z)} {2-2n_z}} $$ $$ = \ sqrt {\ frac {1 + n_z} {2}} = \ sqrt {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {2}} = \ cos (\ theta / 2). $$

Comentários

• Por que precisamos de uma esfera 3D e não apenas de um círculo em um plano? Se imaginarmos o qubit como os 2 valores possíveis do spin de um átomo ou sua superposição … Qual ‘ é o significado físico do ângulo azimutal ϕ?

A. Sistemas de dois estados

Seja um sistema de dois estados, os estados sendo independentes das coordenadas do espaço-tempo. Neste caso, o sistema possui um novo grau de liberdade . Um exemplo clássico é uma partícula com momento angular de rotação $ \: \ frac12 \ hbar \: $ .

Deixe que os dois estados correspondam a estados básicos \ begin {equation} \ vert u \ rangle = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {up state} \ ,, \ quad \ vert d \ rangle = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {down state} \ tag {01} \ label {01} \ end {equation} nomeado estado acima e abaixo respectivamente.

Um estado do sistema é expresso pelo vetor de estado \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi \ vert u \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta \ vert d \ rangle \ quad \ text {onde} \: \: \: \ xi, \ eta \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {e} \: \: \: \ vert \ xi \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta \ vert ^ {2} = 1 \ tag {02} \ label {02} \ end {equation} Os números complexos $ \: \ xi, \ eta \: $ são as amplitudes de probabilidade e os reais não negativos $ \: \ vert \ xi \ vert ^ { 2}, \ vert \ eta \ vert ^ {2} \: $ as probabilidades de o sistema estar no estado $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ respectivamente.

O espaço de Hilbert dos estados do sistema é em muitos aspectos idêntico ao (a esfera unitária do) espaço complexo $ \: \ mathbb {C} ^ {2} $ .

Um observável do sistema seria representado por um $ \: 2 \ times2 \: $ matriz hermitiana A da forma \ begin {equation} A = \ begin {bmatrix} a_3 & a_1 \! \ boldsymbol {-} \! ia_2 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ a_1 \! \ boldsymbol {+} \! ia_2 & a_4 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad \ text {com} \: \: \: \ left (a_1, a_2, a_3, a_4 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {4} \ tag {03} \ label {03} \ end {equation} então o espaço linear de $ \: 2 \ times2 \: $ matrizes hermitianas são em muitos aspectos idênticas a $ \: \ mathbb {R} ^ {4} $ . A partir da base usual de $ \: \ mathbb {R} ^ {4} \: $ , construímos uma base para este espaço de matrizes \ begin {equation} E_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b} } \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b }} \\ 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad , \: \: \: E_4 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} { b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ v phantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {04} \ label {04} \ end {equation}

Agora, se os estados básicos $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ da equação \ eqref {01} correspondem aos estados próprios de valores próprios $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ respectivamente de um observável, então este observável seria representado pela matriz
\ begin {equation} \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b} } \\ 0 & \! \! \ Boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {05} \ label {05} \ end {equation} não incluído em \ eqref {04}. Mas, em vez da base \ eqref {04}, poderíamos usar as seguintes combinações lineares deles \ begin {align} E “_1 \! = \! E_1 \! = \! & \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac { a} {b}} \\ 1 & \! \!\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad \ qquad \ quad \, E “_2 \! = \! E_2 \! = \! \ começar {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ nonumber \\ E “_3 \! = \! \ left ( E_3 \! – \! E_4 \ right) \! = \! & \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad E “_4 \! = \! \ left (E_3 + E_4 \ right) \! = \! \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {06} \ label {06} \ end {align} e alterando símbolos e arranjo

\ begin {equation} I = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom { \ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {07} \ label {07} \ end {equation} onde $ \: \ boldsymbol {\ sigma } = \ left (\ sigma_1, \ sigma_2, \ sigma_3 \ right) \: $ as matrizes de Pauli .

Agora, os estados básicos $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ da equação \ eqref {01} são estados próprios de $ \: \ sigma_3 \: $ , portanto, “é necessário ser expresso com o subscrito $ \:” 3 “\: $ \ begin {equation} \ vert u_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac { a} {b}} \\ \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ ,, \ quad \ vert d_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {08} \ label {08} \ end {equation} Isso deve ser feito para as amplitudes de probabilidade $ \: \ xi, \ eta \: $ também \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ quad \ text {onde} \: \: \: \ xi_3, \ eta_3 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {e} \: \: \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {09} \ label { 09} \ end {equation} A razão para isso é que podemos usar como estados básicos do espaço de Hilbert igualmente bem os autoestados $ \: \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle \: $ de autovalores $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ respectivamente de $ \: \ sigma_1 \: $ \ begin {equation} \ vert u_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -1 \: \, \ vphantom { \ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {10} \ label {10} \ end {equation} de modo que \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ ve rt d_1 \ rangle \ quad \ text {onde} \: \: \: \ xi_1, \ eta_1 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {e} \: \: \: \ vert \ xi_1 \ vert ^ { 2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {11} \ label {11} \ end {equation} ou o relevante para $ \: \ sigma_2 \: $ \ begin {equation} \ vert u_2 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin { bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: i \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix } = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_2 \ rangle = \ frac { \ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -i \: \, \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {12} \ label {12} \ end {equation} de forma que \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle \ quad \ text {onde} \: \: \: \ xi_2, \ eta_2 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {e} \: \: \: \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {13} \ label {13} \ end {equation} Os autoestados $ \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle, \ vert u_2 \ rangle, \ vert d_2 \ rangle $ são mostrados esquematicamente na Figura 04.

Agora, \ begin {align} \ xi_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ right) \ tag {14a} \ label {14a} \\ \ eta_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} \ eta_3 \ right) \ tag {14b} \ label {14b} \ end {align} so \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag { 15a} \ label {15a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {15b} \ label {15b} \ end {align} Também \ begin {align} \ xi_2 & = \ tfrac {\ sqr t {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} i \ eta_3 \ right) \ tag {16a} \ label {16a} \\ \ eta_2 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} i \ eta_3 \ right) \ tag {16b} \ label {16b} \ end {align} então \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17a} \ label {17a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17b} \ label {17b} \ end {align} Nas equações \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} por $ \: z ^ {\ boldsymbol {*} } \: $ denotamos o conjugado complexo do número complexo $ \: z \: $ e por $ \: \ mathrm {Re} \ left (z \ right), \ mathrm {Im} \ left (z \ right) \: $ as partes reais e imaginárias de $ \: z $ .

Uma vez que $ \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \: $ nós definimos (ver Figura 01) \ begin {align} \ xi_3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ alpha_3} \: \:, \ qquad 0 \ le \ omega_3 \ le \ frac {\ pi} {2} \ tag {18a} \ label {18a} \\ \ eta_3 & = \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ beta_3} \ tag {18b} \ label {18b} \\ \ theta_3 & = 2 \ omega_3 = \ text {ângulo polar em relação a $ x_3- $ axis} \: \:, \ qquad 0 \ le \ theta_3 \ le \ pi \ tag {18c} \ label {18c} \ end {align} então \ begin {align} \ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ { i \ alpha_3} \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ beta_3} = \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ cdot \ sin \ left (\ dfrac { \ theta_3} {2} \ right) \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ left (\ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 \ right)} = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ tag {19a} \ label {19a} \\ \ phi_3 & = \ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 = \ text {ângulo azimutal em relação ao $ x_3- $ eixo} \: \:, \ qquad 0 \ le \ phi_3 \ le 2 \ pi \ tag { 19b} \ label {19b} \ end {align} Sob essas definições \ begin {align} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Re} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {- } i \ phi_3} \ right) = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 = \ rho_3 \ cos \ phi_3 \ tag {20a} \ label {20a} \\ \ mathrm {Im} \ esquerda (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ direita) & = \ mathrm {Im} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ right) = \ boldsymbol {-} \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 = \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 \ tag {20b} \ label {20b} \\ \ rho_3 & = \ vert \ xi_3 \ vert \ cdot \ vert \ eta_3 \ vert = \ cos \ omega_3 \ sin \ omega_3 = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ tag {20c} \ label {20c} \ end {align} e equações \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} produz as seguintes probabilidades \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21a} \ label {21a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re } \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21b} \ label {21b} \ end {align} \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2 } & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22a} \ label {22a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ le ft (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22b} \ label {22b} \ end {align}

Observe que o estado $ \ vert \ psi \ rangle $ da equação \ eqref {09} pode ser expressa como \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} e ^ {i \ alpha_3} \ left [\ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert d_3 \ rangle \ right] \ tag {23} \ label {23} \ end {equation} ou ignorando a fase fator $ e ^ {i \ alpha_3} $ \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right ) \ vert d_3 \ rangle \ tag {24} \ label {24} \ end {equation}

---

B. Na esfera – na bola

Na Figura-01 vemos os detalhes das definições \ eqref {18a}, \ eqref {18b} e \ eqref {18c}. Esta é uma vista plana de um ponto no plano do círculo $ \: \ rm {K_3} \ Xi $ na Figura 03. Observe que esta Figura 01 é válida se todos os subscritos $ \: “3” \: $ forem substituídos por $ \ : “1” \: $ ou $ \: “2” $ . A definição e o significado de vários pontos serão dados a seguir.

Na Figura-02 vemos a geometria das equações \ eqref {21a}, \ eqref {21b} e \ eqref {22a}, \ eqref {22b}. Esta é uma visão plana de um ponto nos pontos positivos do eixo $ \: x_3- $ .

Veja uma visão 3D da Figura 03 aqui

Na Figura 03, temos uma esfera de diâmetro 1 em um espaço tridimensional $ \: \ mathbb {R} ^ {3} \: $ não idêntico ao espaço físico. Na esfera, um ponto $ \: \ Xi \: $ representa um estado do sistema \ begin {equation} \ psi = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ vert d_1 \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ tag {25} \ label {25} \ end {equation} Agora para $ \: \ jmath = 1,2 , 3 \: $ \ begin {align} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = ponto \ : \: on \: \: + 1/2 \: \: of \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axis \: \: representando \: \: o \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.01} \ label {26.01} \\ \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = ponto \: \: on \: \: – 1/2 \: \: of \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axis \: \: representando \: \ : the \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.02} \ label {26.02} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = projec ção \: \: de \: \: o \: \: estado \: \: ponto \: \: \ Xi \: \: em \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axis \ tag {26.03} \ label {26.03} \\ \ Xi \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = magnitude \: \: of \: \: probabilidade \: \: amplitude \: \: of \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag { 26.04} \ label {26.04} \\ \ Xi \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert = magnitude \: \: de \: \: probabilidade \: \: amplitude \: \: de \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.05} \ label {26.05} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath }} \ vert ^ {2} = probabilidade \: \: de \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.06} \ label {26.06} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert ^ { 2} = probabilidade \: \: de \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.07} \ label {26.07} \\ \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = polar \: ângulo \: com \: respeito \: para \: o \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.08} \ label {26.08} \\ \ phi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = azimutal \: ângulo \: com \: respeito \: para \: o \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! eixo \ tag {26.09} \ label {26.09} \\ \ omega _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = metade \: o \: polar \: ângulo \: \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ tag {26.10} \ label {26.10} \\ \ rm K_ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ Xi & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert \ cdot \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} }]

Um mero comentário estendido que simplifica a boa resposta de @Timaeus para uma forma mais memorável.

O vetor de estado
$$ | \ psi \ rangle = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta / 2 \\ e ^ {i \ phi} \ sin \ theta / 2 \ end {pmatrix} $$ define uma matriz de densidade de estado puro por meio de seu operador de projeção, $$ \ bbox [amarelo] {| \ psi \ rangle \ langle \ psi | = \ begin {pmatrix} \ cos ^ 2 \ theta / 2 & \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {- i \ phi} \\ \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {i \ phi} & \ sin ^ 2 \ theta / 2 \ end {pmatrix} = \ rho} ~.$$ Observe a invariância do manifesto sob a reformulação geral de $ | \ psi \ rangle $ .

A expressão dos princípios gerais “ desta matriz de densidade hermitiana idempotente também é, evidentemente, $ $ \ rho = \ frac {1} {2} (1 \! \! 1 + \ hat n \ cdot \ vec \ sigma), $$ com $ \ hat n = (\ sin \ theta \ cos \ phi, \; \ sin \ theta \ sin \ phi, \; \ cos \ theta) ^ T. $

Ou seja, o O eixo $ \ hat z $ gira para o eixo $ \ hat n $ em ângulos de rotação completos (adjunto) , especificando uma expressão de operador de meio ângulo (spinor, fundamental).

Pense no spin do fóton

Pensar nesse caso mais concreto me ajudou a obter algumas fotos úteis na minha cabeça. Há até um conhecido mais ótica orientada analógica que vale a pena ter em mente: a Esfera de Poincaré .

A rotação do fóton é uma sistema quântico de dois estados , que, conforme Frobenius menciona , é o modelo da esfera de Bloch.

O giro do fóton também é fácil para entender / visualizar / manipular experimentalmente.

Filtros do polarizador físico

Primeiro vamos pensar na coisa mais concreta possível: os filtros polarizadores.

Existem dois tipos de filtros polarizadores nos quais você poderia pensar:

• polarizador linear, em qualquer ângulo entre -90 e 90.

  Por exemplo, aqui está um a 90 graus:

  

  e aqui está um a 45 graus:

  

  e aqui está um a 0 graus:

  

  Fonte

  A Wikipedia descreve algumas maneiras de criar esses filtros, e as imagens acima são Filtros polaríodo , que são usados em óculos de sol e fotografia e, portanto, estão prontamente disponíveis .

  Do ponto de vista da mecânica quântica, as orientações de 90 e 0 graus fazem a mesma medição: a única diferença é que uma deixa o fóton passar, mas a outra o bloqueia. Mas podemos usar as duas igualmente para determinar o nível de polarização linear vertical do fóton: basta pegar o complemento val ue.

  E como cada medição corresponde a uma matriz hermitiana , podemos representar 0 e 90 com uma única matriz:

  $$ M_0 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \ end {bmatrix} $$

  E a matriz para 45 graus é:

  $ $ M_ + = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

• polarizador circular, que como a Wikipedia explica é normalmente feito com um quarto de onda + um linear polarizador:

  

  Fonte .

  Sua matriz correspondente é:

  $$ M_i = \ begin {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

As matrizes acima são as chamadas matrizes Pauli .

Alguns vetores de estado interessantes

Agora vamos dar nomes a 6 pólos que representam 6 possíveis estados de fótons interessantes na esfera de Bloch e tente entender como eles interagem com os filtros.

Fonte .

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ vert 0 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear 90 °} \\ & \ vert 1 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text { linear 0 °} \\ & \ vert + \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear 45 °} \\ & \ vert – \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear -45 °} \\ & \ vert i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix } 1 \\ i \ end {bmatrix} & & = \ text {circular no sentido horário} \\ & \ vert -i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – i \ end {bmatrix} & & = \ text {circular anti-horário} \\ \ end {alignat *} $$

A primeira coisa que notamos é que o seguinte pares são todas bases:

• $ \ vert 0 \ rangle $ e $ \ vert 1 \ rangle $
• $ \ v ert + \ rangle $ e $ \ vert – \ rangle $
• $ \ vert i \ rangle $ e $ \ vert -i \ rangle $

Por exemplo, poderíamos representar:

$$ \ begin {alignat *} {3} & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & + \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & – \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert i \ rangle & & -i \ vert -i \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (- i \ vert i \ rangle & & + i \ vert -i \ rangle) \ end {alignat *} $$

E então, também observamos que:

• $ \ vert 0 \ rangle $ e $ \ vert 1 \ rangle $ são autovetores de $ M_0 $
• $ \ vert + \ rangle $ e $ \ vert – \ rangle $ são autovetores de $ M _ + $
• $ \ vert i \ rangle $ e $ \ vert -i \ rangle $ são vetores próprios de $ M_i $

Se lembrarmos que o resultado de uma medição em mecânica quântica é o autovetor de um autovalor, com probabilidade proporcional à projeção, obtemos as seguintes probabilidades de amostra para estes experimentos:

• $ \ vert 0 \ rangle $ estado em:

  • polarizador linear 90 °: 100% aprovado

  • polarizador linear 0 °: 0% aprovado

  • polarizador linear 45 °: 45% aprovado, porque:

    $$ \ vert 0 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle + \ vert – \ rangle) $$

  • polarizador linear -45 °: passagem de 45%

  • polarizadores circulares: passagem de 45%.Isso ocorre porque um estado linear 0 pode ser decomposto em duas polarizações circulares:

    $$ \ vert 1 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2 }} (- i \ vert i \ rangle + i \ vert -i \ rangle) $$

• $ \ vert 1 \ rangle $ :
  • linear 90 °: aprovação de 0%
  • linear 0 °: aprovação de 100%
  • linear 45 °: 45% aprovado
  • linear -45 °: 45% aprovado
  • circular: 45% aprovado
• $ \ vert + \ rangle $ :
  • linear 90 °: 45% aprovado
  • linear 0 °: 45% aprovado
  • linear 45 °: 100% aprovado
  • linear -45 °: 0% aprovado
  • polarizadores circulares: 45% aprovado
• $ \ vert i \ rangle $ :
  • linear 90 °: 45% aprovado
  • linear 0 ° : 45% de aprovação
  • linear 45 °: 45% de aprovação
  • linear -45 °: aprovação de 45%
  • circular no sentido horário: 100% de aprovação
  • circular no sentido anti-horário: 0% passa

Fase relativa

Uma importante intuição semiclássica a lembrar é que:

circular polarização == duas polarizações lineares ortogonais 90 graus fora de fase:

Fonte .

Então, por exemplo, em :

$$ \ vert i \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end { bmatrix} + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $$

temos uma fase relativa de 90 graus por causa do $ i $ diferença de fase relativa entre $ \ vert 0 \ rangle $ e $ \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $ .

Mas na diagonal, eles estão em fase em relação a $ \ vert 0 \ rangle $ e $ \ vert 1 \ rangle $ :

$$ \ vert + \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} + \ frac {i} { \ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {1} {\ sqrt {2} } \ vert 1 \ rangle $$

então a fase relativa é 0 para aquele.

Ande ao redor a esfera

Uma maneira comum de representar um estado na esfera Bloch é fornecer apenas os dois $ \ theta $ e $ \ phi $ ângulos como mostrado abaixo:

Fonte .

Como uma esfera não é euclidiana, uma boa maneira de visualizá-la é percorrer alguns caminhos fáceis de entender ao seu redor. Na imagem a seguir, fazemos dois caminhos:

• começa em 0, passa por +, 1, – e volta para 0
• começa em 0, passa por i , 1, -i e retornar para 0

Fonte .

Caminhando de + para i, -, -i e de volta para + é deixado como um exercício: o círculo se tornaria um eclipse oblíquo e se afina mais e mais em uma linha de 45 graus.

Isso leva a uma interpretação clara dos ângulos:

• $ \ theta $ : quanto maior, mais provável $ \ vert 1 \ rangle $ é comparado a $ \ vert 0 \ rangle $
• $ \ phi $ : a fase relativa entre $ \ vert 0 \ rangle $ e $ \ vert 1 \ rangle $ . Esta fase relativa não pode ser detectada por um polarizador vertical ou horizontal

Como podemos descer de 4 números reais para apenas 2 no estado ?

Na esfera de Bloch, podemos representar o estado com apenas 2 parâmetros reais: os ângulos $ \ theta $ e $ \ phi $

Mas nos vetores de estado completo mais explícitos, parece haver 2 números complexos, e portanto, 4 números reais:

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ begin {bmatrix} a + ib \\ c + id \ end {bmatrix} \\ \ end {alignat *} $$

Por que um dos números deve ser removido é fácil: a probabilidade total tem que seja 1, e assim:

$$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 $$

então nesse ponto já estamos restritos a uma 3 esferas .

O segundo é mais interessante: podemos remover outro parâmetro porque a fase global do estado não pode ser detectada por nenhum experimento e assim somos livres para escolhê-lo arbitrariamente.

Uma fase global é um número imaginário. O módulo desse número deve ser 1 para manter a probabilidade total. Os experimentos não podem detectar mudanças de fase globais porque os resultados da medição:

$$ k_0 \ vert 0 \ rangle + k_1 \ vert 0 \ rangle $$

em qualquer um dos filtros é o mesmo da medição:

$$ \ text {phase} \ times k_0 \ vert 0 \ rangle + \ text {phase} \ times k_1 \ vert 0 \ rangle $$

porque $ | \ text {phase} | = 1 $ .

Uma escolha natural é, portanto, escolher uma fase global que gira o estado de modo que o multiplicador de $ \ vert 0 \ rangle $ torna-se um número real, isto é, definindo $ b = 0 $ .

Então, por exemplo, multiplicando por um número imaginário, poderíamos mapear estados mais gerais em outros mais restritos, como

$$ \ begin {alignat *} {2} & \ begin {bmatrix} i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times -i & & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} -i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times i & & = \ begin {bmatrix } 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} 0 \\ – 1 \ end {bmatrix} \ times -1 & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} i \\ i \ end {bmatrix}) \ times -i & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix } 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ vert + \ rangle \\ \ end {alignat *} $$

Por que existem exatamente três matrizes Pauli?

Acho que há razões matemáticas profundas e claras que explicam isso, vinculadas ao fato de serem uma base do espaço da matriz hermitiana 2×2, conforme mencionado em: https://physics.stackexchange.com/a/415228/31891 e https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states e é o cerne da questão de por que a esfera de Bloch é usado, mas não entendi totalmente.

Mas em termos mais práticos: os três dispositivos de medição que desenvolvemos cribed são as únicas três possibilidades (até rotações globais) de tal forma que depois de passar por um, você perde todas as informações sobre os outros dois (50% de probabilidade nos outros dois experimentos).

Portanto, eles são ortogonais em um certo sentido, e máximo, pois não há outro experimento que possamos adicionar a esse conjunto de experimentos de forma que essa propriedade seja válida.

Brinque com o Quirk

https://algassert.com/quirk

Esta é outra sugestão válida. Clique nessas imagens até que tudo faça sentido.