Conservação do momento 4 na relatividade especial

Eu entendo que o produto interno de dois 4 vetores é conservado sob as transformações de Lorentz

Sim, $ p_1.p_2 $ é um invariante de Lorentz

De modo que o valor absoluto dos quatro momentos é o mesmo em qualquer quadro de referência.

It i Não é correto falar sobre o “valor absoluto” de um vetor (quadri). O que é conservado em uma transformação de Lorentz é $ p ^ 2 = (p ^ o) ^ 2 – \ vec p ^ 2 $

Isso é o que eu (provavelmente erroneamente) o pensamento significava a conservação do momento.

Não, a conservação do momento é uma coisa completamente diferente. Em última análise, você tem alguma teoria que descreve campos e interações, descrevendo por uma ação que é invariável por algumas simetrias. Se a ação é invariável por translações de espaço e tempo, então há uma quantidade conservada que é momento / energia.

Não entendo por que equações como P 1 = P 2 + P 3 (P i são vetores de 4 momentos para diferentes partículas em uma colisão por exemplo) deve se manter, dentro de um referencial. Disseram-me que você não pode simplesmente adicionar quatro velocidades juntas na colisão de partículas, então por que você deveria ser capaz de fazer isso com os vetores de momento?

Se a ação da teoria é invariante por translações espaço / tempo, então o momento / energia é conservado, então o momento / energia total das partículas iniciais é igual ao total momentum / energia das partículas finais:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {out} ^ \ mu \ tag {1} $$

Se houver várias partículas iniciais, elas são consideradas independentes (o estado global é o produto tensorial dos estados das partículas iniciais). A independência significa que você tem:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = \ sum_i p_i ^ \ mu \ tag {2} $$ onde a soma é sobre t todas as partículas iniciais. Uma equação semelhante vale para as partículas finais.

Na relatividade especial, se você adicionar duas velocidades, terá que usar a fórmula

$$ v = (v_1 + v_2) \ left (1+ \ frac {v_1v_2} {c ^ 2} \ right) ^ {- 1} \ text {.} $$

Portanto, você não pode simplesmente adicionar duas velocidades juntas. Normalmente, a velocidade não é uma boa variável para trabalhar na relatividade especial. É muito mais fácil usar a conservação de quatro momentos, que é simplesmente fornecida por

$$ p = p_1 + p_2 \ text {,} $$

para uma colisão de partículas onde duas partículas com $ p_1 $ e $ p_2 $ colidem e então ficam juntas e têm o momento $ p $. Como o momento quatro é dado por

$$ p = \ begin {pmatrix} E / c \\ \ vec {p} \ end {pmatrix} \ text {,} $$

a conservação de quatro momentos nada mais é do que a conservação de Energia $ E $ e a conservação de três momentos $ \ vec {p} $.

Para responder às suas perguntas:

Por que pode adicionamos quatro momentos em uma colisão de partículas? Porque a conservação de energia e momento também vale na relatividade.

Por que can “t adicionamos quatro velocidades em uma colisão de partículas? Porque não existe “conservação da velocidade”, nem classicamente, nem na relatividade.

Comentários

• Essa resposta foi ótima. Eu tenho uma questão de esclarecimento – $ (P_1 + P_2) ^ 2 $ será invariável, portanto $ (P_1 + P_2) ^ 2 = – (m_1 + m_2) ^ 2c ^ 2 $?

Você pode apenas verificar cada componente e eles são apenas conservação de momento em 3 momentos. Não há conservação de velocidade, portanto você não pode adicioná-los.