Coulomb ' s Lei: por que $ k = \ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} $ [duplicado]

Definindo o símbolo $ k $ na lei de Coulomb “, $$ F = k \ frac {q_1q_2} {r ^ 2}, $$ sendo $ k = 1/4 \ pi \ epsilon_0 $, é perfeitamente permitido quando se entende simplesmente como um definição de $ \ epsilon_0 $. A motivação para esta definição é que quando você calcula as forças entre duas placas de carga oposta da área $ A $ e cobra $ Q $ por uma distância $ d $ uma da outra, elas vêm saído como $ F = \ frac {2 \ pi kQ ^ 2} {d} = \ frac {Q ^ 2} {2 \ epsilon_0 d} $, onde o fator de $ 4 \ pi $ vem da aplicação judiciosa dos Gauss “s lei.

Quando você desenvolve isso em uma teoria da capacitância, você descobre que ela implica que a tensão entre as placas é $ V = Q / C $, onde $ C = \ epsilon_0 A / d $. Além disso, se você quiser inserir um dielétrico entre as placas (como você costuma fazer), a capacitância muda para $$ C = \ epsilon A / d $$, onde $ \ epsilon $ é conhecido como a permissividade elétrica do dielétrico . $ \ epsilon_0 $ é então naturalmente entendido como “a permissividade do espaço livre” (o que, claro, simplesmente define o que queremos dizer com permissividade).

A questão é então, claro, por que isso “é derivado “unidade, $ \ epsilon_0 $, tratada como mais” fundamental “do que o $ k $ original? A resposta é que não é, uma vez que são equivalentes, mas a permissividade do espaço livre é muito mais fácil de medir (e certamente era assim durante o final do século 19 e início do século 20, quando a pesquisa elétrica era muito voltada para tecnologias baseadas em circuitos), de modo que saiu o vencedor, e por que ter dois símbolos para quantidades equivalentes?

A unidade de segundos é definida como a duração de um certo número de períodos de radiação emitida por uma peça tipo icular de transição de elétrons entre os níveis de energia em um isótipo de césio (consulte aqui ).

É uma suposição que a luz viaja em um velocidade constante $ c $ independente de seu referencial, então agora que fixamos uma unidade de tempo, podemos definir uma unidade de comprimento: o metro é a distância que a luz percorre em $ 1/299792548 \, \ mathrm {s} $.

Também definimos a unidade SI de corrente (o Ampère) para que a permeabilidade do espaço livre assuma um valor desejado em Unidades SI ($ 4 \ pi \ times 10 ^ {- 7} $).

Podemos então definir $$ \ varejpsilon _0 = \ frac {1} {\ mu _0c ^ 2} $$ também como $$ k = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _0}. $$

Agora, tenha em mente, você não precisa consertar um sistema de unidades para fazer isso (como eu fiz antes). Como as acima são definições , elas serão válidas em qualquer sistema de unidades. No entanto, para ver que essas definições não acabam sendo circulares, é útil ver que podemos definir $ \ mu _0 $ e $ c $ em termos de fenômenos puramente físicos. Em outras palavras, para que as definições acima fizessem sentido, tínhamos que saber que poderíamos definir $ c $ e $ \ mu _0 $ independentemente de $ \ varepsilon _0 $ e $ k $ primeiro. A definição acima de unidades SI ajuda a ver que isso pode ser feito.

Comentários

• Tudo isso está mudando com o novo sistema de SI. Enquanto $ c $ é fixo, $ \ mu_0 $ e $ \ epsilon_0 $ não são.

Se a pergunta é por que “$ 4 \ pi $” na constante de Coulomb (k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $), então uma pergunta igualmente válida poderia ser por que “4 $ \ pi $” na permeabilidade magnética do vácuo, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $?

Talvez uma pista possa ser encontrada na equação de Maxwell para a velocidade da onda eletromagnética (luz) no vácuo, $ c = \ frac {1} {\ sqrt {\ epsilon_ {0} \ mu_ {0}}} $.

Claro, Maxwell derivou essa relação muito mais tarde do que Coulomb.

Maxwell relata a permissividade elétrica à permeabilidade magnética no vácuo, $ \ mu_ {0} = \ frac {1} {\ epsilon_ {0} c ^ {2}} $ que recebe um valor de $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $ em unidades SI.

O “motivo” para “$ 4 \ pi $” aparecer aqui e na constante de Coulomb (acredite ou não), que as equações de Maxwell podem ser escritas sem quaisquer fatores $ 4 \ pi $ “!

Para entender isso, considere como os fenômenos eletrostáticos são expressos na lei de Coulombs como” campo intensidade a uma distância ao quadrado “, em comparação com (o equivalente) lei de Gauss, que descreve o” fluxo através de uma superfície fechada envolvendo a carga “.

O fluxo total é a densidade de fluxo multiplicada pela área de superfície , que para uma esfera de raio $ r $ é dada por $ S = 4 \ pi r ^ {2} $, então a razão $ S / r ^ {2} $ = $ 4 \ pi $ é simplesmente o resultado da geometria de espaço e simetria esférica.

O sistema SI de unidades (ao contrário das unidades de Gauss) é considerado “racionalizado” porque permite a expressão das equações de Maxwell sem os fatores $ 4 \ pi $. Para fazer isso, o fator $ 4 \ pi $ foi simplesmente “embutido” na definição (unidade SI) da constante universal para permeabilidade do vácuo, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $, a partir do qual podemos expressar a constante de Coulomb “s como k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $.