Derivação da massa reduzida [duplicado]

O sistema de dois corpos pode ser analisado de forma mais simples usando massa reduzida, pois o problema basicamente se reduz a um único corpo. A primeira aproximação pode ser obtida assumindo que, m1 >> m2, como um planeta orbitando a estrela, porque o centro de gravidade coincide com m1. Assim, pode-se presumir que o corpo pesado está em repouso e o mais leve se move em torno dele.

Derivação: $$ \ text {Let} \, m_1, \ vec r_1 \ text {ser uma massa e posição do corpo maciço e} \, m_2, \ vec r_2 \, \ text {o mais leve.} $$

$$ \ text {Presume-se que} \, m_1 > > m_2 \, \ text {A força entre as massas (gravidade) depende da diferença de vetores de posições}: \ vec F_ {12} = \ vec F (\ vec r_ {12}), \ text {where}: $$

$$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \\ \ vec F_ {12} \, \ text {é a força no corpo 1 devido ao corpo 2} $$ Em nossa aproximação, assumimos que a massa pesada está em descanso na origem. Assim: $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 $$ E a equação do movimento torna-se: $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} $ $ que pode ser resolvido para obter a posição.

Para obter o movimento “verdadeiro”, parece que nossa aproximação pode ser feita com precisão considerando o centro de massa (CM). (que é uma massa média ponderada das posições de duas massas, neste caso) $$ \ vec R_ {CM} = \ frac {m_1 \ vec r_1 + m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} = \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_1 + m_2} + \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} $$ $$ \ text {Vamos chamar quantidade} \ frac {m_2m_1} {m_1 + m_2} = \ mu \, \ text {massa reduzida} $$ $$ \ text {Assim}: \ vec R_ {CM} = \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} + \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} $$ Pode ser facilmente mostrado que a força externa líquida no sistema é igual a massa total vezes a aceleração do centro de massa. Se você não está convencido, eu escrevi antes de tal derivação neste POST

Uma vez que é assumido que nenhuma força externa está presente (a força da gravidade entre as massas “conta” como interna), o centro de massa se move a uma velocidade constante. $$ \ frac {d ^ 2 \ vec r} {dt ^ 2} = 0 \ implica \ frac {d \ vec r} {dt} = const. $$ Considere CM como origem de um sistema de coordenadas inercial. Assim, a posição das duas massas é dada por: $$ \ vec R_ {CM} = 0 \ implica \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} = – \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} \ implica \ vec r_1 = – \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1}; \, \ vec r_2 = – \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_2} $$ $$ \ text {Desde}: \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \, \ text {obtemos:} $$ $$ \ vec r_ {21} = – \ frac {m_1} {m_2} \ vec r_1- \ vec r_1 = – \ vec r_1 (\ frac {m_1 + m_2} {m_2}) \ implica \ vec r_1 = – \ frac {\ mu} {m_1} \ vec r_ {21} $$ $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 + \ frac {m_2} {m_1} \ vec r_2 = \ vec r_2 (\ frac {m_1 + m_2} {m_1}) \ implica \ vec r_2 = \ frac {\ mu} {m_2} \ vec r_ {21} $$ $$ \ text {Portanto as equações de movimento são}: $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} = \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {12}) = \ vec F (- \ vec r_ {21}) = m_1 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ { 1}} {dt ^ 2} = – \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ W qual é a nossa equação obtida anteriormente em nossa aproximação com massa reduzida. Observe que se m1 >> m2 a massa reduzida é quase o mesmo que m2.

Este é o movimento do sistema de dois corpos consiste em seu CM e movimento ao redor dele. O movimento em torno dele pode ser descrito em termos de uma única massa reduzida movendo-se em torno do centro fixo.