Diferença entre números inteiros e números decimais

“Contando” (levando à contagem de números) é um caso especial (com ambigüidades) de “medição”, onde o papel da “medida / unidade” é mais visível. Obviamente (eu acho) a unidade natural implícita em situações de “contagem” é alguma unidade atômica relevante (como “pessoa inteira, operacional”, em vez de parte menor não tão funcional de uma pessoa).

Ou seja, contar medidas implicitamente com unidade a menor / medida atômica viável / operacional (muitas vezes tão universalmente implícito que está além de discussão).

Um análogo mais sofisticado surge quando alunos mais avançados são expostos pela primeira vez ao ideia de que somas infinitas (também conhecidas como “séries”) caem sob o guarda-chuva de “integrais”, mas com “medida de contagem” … e que conjuntos discretos têm pelo menos uma medida natural regular e positiva de Borel, ou seja, a medida de contagem.

Comentários

• 1. Isso é o que eu estava aludindo na minha frase de abertura e, claro, concordo e eu gosto do tom particular que você está dando a ele. 2. Mas como você responde aos alunos iniciantes que perguntam ” Por que não ‘ nós dizer 0,04 DekaPeople, já que podemos dizer 0,04 KiloPeople? De alguma forma, que 0,04 DekaPeople = 0,4 People e 0,04 KiloPeople = 40 People não ajuda: a visão deles é que, uma vez que operamos no sistema métrico decimal, não deve haver nenhum recurso a considerações estranhas e as coisas não devem depender de ” denominador ” é Pessoas ou litros de leite .
• @schremmer, eu ‘ d argumento que sem ” recurso a considerações estranhas ” a aritmética ainda faz sentido, claro, mas a relevância / aplicabilidade às vezes pode ser prejudicada. O contexto é importante.
• Claro, o contexto é essencial, como acontece na maioria das vezes. Esses, porém, são os chamados alunos desenvolvimentistas e é muito difícil fazer com que a lógica leve em consideração.Mas então, uma vez que eles começam, naturalmente, eles ficam presos em coisas assim. Tento dizer a eles que sempre serão capazes de saber pelo ” denominador “, com o qual concordam, mas ainda insistem que ” deve haver uma regra ” independente de estarmos falando de pessoas de litros de leite. Isso é o que eu não ‘ não sei como responder.
• @schremmer, você pode dizer a eles que nem tudo (mesmo em matemática) pode ser reduzido a um lista de regras inequívocas. Sei que há várias situações de desenvolvimento, mas, ainda assim, tento garantir aos alunos em todos os níveis que eles não devem suspender seu próprio julgamento crítico … mas / e que têm responsabilidade por usando , em vez de apenas usar o pensamento mágico ou invocar ” regras ” inexplicáveis.
• Minha resposta a uma pergunta como ” Por que não ‘ podemos dizer 0,04 DekaPeople [0,4 pessoas] ” é que certamente podemos dizer algo assim. Por exemplo. Pergunta: Qual é a densidade populacional nas Ilhas Falkland por quilômetro quadrado? Resposta: 0,26 pessoas. link

Por que não podemos dizer ” 0,04 Pessoas “, já que podemos dizer ” 0,04 KiloPeople “?

Algumas quantidades (por exemplo, pessoas) são quantidades discretas e alguns (por exemplo, metros, dólares) são quantidades contínuas.

A discussão a seguir é aqui . (Eu enfatizei as palavras ” número natural ” e ” decimal. “)

Classificação de quantidades

Uma quantidade é discreta ou contínua . Uma quantidade discreta é a magnitude de um conjunto contável (aquele cujos elementos são “mutuamente separados e individualmente distintos”). Seu valor numeral é um número natural (“a divisão em uma quantidade menor que uma unidade não pode ser considerada”) e sua unidade é claro no início. Um exemplo de uma quantidade discreta é “três meninos”.

Uma quantidade contínua é a magnitude de um “contínuo” (“uma entidade contínua que pode ser dividida em qualquer número de partes menores”, de modo que “qualquer duas dessas entidades podem ser combinadas em uma maior ”). Seu valor numérico (um decimal ou uma fração) e sua unidade “não foram determinados a priori . ” Um exemplo de quantidade contínua é “três dólares”.

Uma quantidade contínua é extensa ou intensiva . O primeiro expressa amplitude ou magnitude (como área ou peso); o último expressa qualidade ou intensidade (como densidade ou velocidade). Uma quantidade extensa tem aditividade: o atributo da união de dois corpos é igual à soma dos atributos dos dois corpos. Uma quantidade intensiva não possui aditividade. Por exemplo, o peso de dois corpos é necessariamente a soma de seus pesos, mas a velocidade de dois corpos não é necessariamente a soma de suas velocidades.

O texto foi escrito para educadores matemáticos, mas pode ser reformulado para ser mais facilmente compreendido por iniciantes.)

Minha resposta original (incluída aqui para contexto) que o OP apontou não abordou a questão pretendida:

Algumas quantidades, como, digamos, $ 1/3 $ litro, têm representações decimais ( $ 0. \ overline {3} $ litros), mas nenhuma representação de número inteiro.

Comentários

• O que isso tem a ver com minha pergunta?
• Sua pergunta era ” Onde você traça a linha entre inteiro e decimal e como você explica isso para alunos iniciantes que desejam entender ? ” I estou propondo que você desenhe a linha quando a representação decimal não termina e que este exemplo deve ser claro para ” alunos iniciais ” .
• @Os iniciantes muito inexperientes com quem estou lidando não têm ideia do que um decimal pode representar, muito menos de uma representação decimal que não termina. Além disso, 1/3 litro de leite é 1 , que é um número inteiro que numera as coisas _ denominadas_ por das quais leva 3 para fazer um litro de leite então aqui está sua representação de número inteiro.Em qualquer caso, isso tem pouco a ver com a questão original.
• Então, que tal $ \ sqrt {2} $ metros, o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles com cada perna de comprimento $ 1 $ metro? Você concorda que tem uma representação decimal, mas não uma representação de número inteiro?
• Claro, mas o que isso tem a ver com a pergunta original? Você ainda está respondendo a uma pergunta que eu nunca fiz . A pergunta que fiz muda: por que não podemos ‘ dizer ” 0,04 pessoas ” já que podemos dizer ” 0,04 KiloPeople “?

Acho que a confusão é em grande parte uma consequência do fato de que muitas pessoas encontram os prefixos do sistema métrico ( quilo- , centi- , etc.) desconhecidos e encontrar decimais (até mesmo aqueles que terminam) menos intuitivos do que as “frações vulgares” que eles representam.

Se alguém me perguntasse “Como pode 0,004 quilômetros, um número decimal, o mesmo que 4 metros, um número inteiro “? (como o OP menciona nos comentários abaixo de sua pergunta), eu responderia com algo assim:

Você também se incomoda com o fato de $ 1 / 2 $ uma dúzia de ovos, uma fração, é o mesmo que 6 ovos, um número inteiro?

O que viria a seguir depende da resposta do questionador . Mas vamos supor que eles respondam com algo como: “Ok, acho que entendi. Mas por que posso dizer” 0,04 quilopessoas “mas não posso” dizer “0,04 pessoas”? “Nesse caso, eu responderia com :

Você também se incomoda com o fato de que pode ferver meia dúzia de ovos, mas não pode ferver meio ovo?

O objetivo dessas respostas, para ficar claro, não é encerrar a conversa com um zinger, mas sim trazer à tona quais são os problemas subjacentes: ” 1 kilopeople “significa o mesmo que” 1000 pessoas “, e você pode ter metade de mil pessoas da mesma forma que pode ter meia dúzia ovos. Por outro lado, você não pode ter $ 1/7 $ de mil pessoas, exatamente da mesma forma que você não pode ter $ 1/7 $ de uma dúzia de ovos.

Comentários

• Meu problema com uma pergunta como ” Por que ‘ Digamos ‘ 0,04 Pessoas ‘ “, é isso parece-me que certamente podemos dizer isso. Por exemplo, pode ser a densidade populacional por quilômetro quadrado em uma determinada região. Na verdade: 0,04 pessoas na verdade é exatamente a densidade populacional (por km ^ 2) nas ilhas Svalbard e Jan Mayen da Noruega. link .
• @mweiss Estudantes desenvolvimentistas que começam a fazer perguntas não gostam de ser respondidos com uma pergunta. Eles dispensariam seu ” Você também se preocupa … ” como um ” professor truque “. Mais tarde, na discussão, é claro, eles não teriam objeções à sua linha de raciocínio e, de fato, concordariam com ela. No entanto, o que eu acho que a pergunta deles realmente é, como comentei com Paul Garrett, é: ” uma vez que operamos no sistema métrico decimal, não devemos recorrer a considerações estranhas e as coisas não devem depender se o ” denominador ” é Pessoas ou litros de leite. ”