Encontrar o raio da órbita usando o modelo de Bohr e a equação de Rydberg

Para começar, é um problema de casa, bastante extenso.

Uma partícula de massa igual a 208 vezes a massa de um elétron se move em uma órbita circular em torno de um núcleo de carga $ + 3e $. Supondo que o modelo de Bohr do átomo seja aplicável a este sistema,

  1. Derive uma expressão para o raio de $ n $ th órbita de Bohr.
  2. Encontre o valor de $ n $ para o qual o raio é igual ao raio da primeira órbita do hidrogênio.
  3. Encontre o comprimento de onda da radiação emitida quando a partícula giratória salta da terceira órbita para a primeira.

Agora, fiz a primeira parte e acertei a resposta. Aqui está o que eu fiz.

Suponha que a massa da partícula girando seja $ M $, sua velocidade é $ v $ e $ M = 208 m_ {e} $. A força eletrostática é a força centrípeta . Portanto,

$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {align} $$

Do modelo de Bohr,

$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$

onde $ h $ é a constante de Planck. Portanto,

$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$

Quadrado,

$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$

Igualando as duas equações que têm $ v ^ 2 $ nelas ,

$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$

Depois de resolver para $ r $, obtemos algo assim,

$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$

Todas as alternativas acima estão corretas. O problema está na segunda e terceira partes; quando coloco $ r = \ pu {0,53 * 10 ^ {- 10} m} $ NÃO obtenho a resposta necessária. Para abordar a terceira parte, comecei com a equação de Rydberg padrão,

$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2} – \ frac {1} {n_i ^ 2} \ right) $$

Eu conectei cada valor, $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; mas novamente não obtive a resposta correta.

A resposta para a segunda parte é 25 $ (n = 25) $; e para a terceira é 55,2 picômetros.

Resposta

Para responder à segunda parte:

Nós sabemos $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .

A parte um contém um erro, como está

$$ \ begin {align} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ implica & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {align} $$

Também sabemos o raio de Bohr:

$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ approx 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$

Portanto, podemos escrever e cancelar:

$$ \ begin {align} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ portanto & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ portanto & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} \ approx25 \ end {align} $$

A terceira parte:

A fórmula de Rydberg é fornecida como

$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} {n_1 ^ 2} – \ frac {1} {n_2 ^ 2} \ right) $$

com o Constante de Rydberg $ \ mathcal {R} $ definida para um fóton emitido por um elétron. Vamos assumir que a massa do núcleo é de 7 unidades atômicas (três prótons + quatro nêutrons). Levando em consideração que $ m_p \ approx 1836m_e $ , chegamos a

$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$

Agora, a constante de Rydberg deve ser modificada para incluir o massa da partícula:

$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$

Com $ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1.097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {- 1}} $ ( wikipedia ), consegui $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55,6 ~ \ mathrm {pm} $ .

Sem levar em conta a massa reduzida, ou seja, $ \ mathcal {R} \ approx \ mathcal {R} _ \ infty $ eu cheguei a $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54,8 ~ \ mathrm {pm} $ .

Ambos os valores estão razoavelmente próximos da solução fornecida.

(Se a pergunta fosse realmente sobre o múon, a proporção de peso mais precisa é 206,77 e os comprimentos de onda correspondentes 55,1 pm e 56,0 pm.)

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