a função de transferência do filtro de Bessel é definida por meio de polinômios de Bessel. Se considerarmos, por exemplo, um filtro de 2ª ordem, a função de transferência é: $$ H (s) = \ frac {3} {s ^ 2 + 3 * s + 3} $$ Eu queria construir uma simulação para esse filtro com uma arquitetura Sallen-Key. Portanto, consultei este guia de design da TI. Eles definem a função de transferência de uma passagem baixa de 2ª ordem como:
Ao é 1, pois quero que o ganho seja a unidade. Olhei a tabela abaixo para calcular corretamente os valores C e R.
Portanto, a função de transferência torna-se: $$ H (s) = \ frac {1} {0,618 * s ^ 2 + 1,3617 * s + 1} $$
Eu executei a simulação e olhei para o gráfico de bode. Ele mostrou o resultado desejado (a frequência de corte de -3db foi conforme calculada).
No entanto, não entendo por que a função de transferência parece tão diferente. Definitivamente não é um polinômio de Bessel. Verifiquei a resposta ao degrau e observei uma ultrapassagem de 0,4%, como seria de se esperar para um filtro de Bessel. Portanto, tenho três perguntas:
- Como é que a função de transferência no guia de design de ti não é um polinômio de Bessel.
- Deve a localização do pólo de um filtro de Bessel de 2ª ordem ser o mesmo para qualquer filtro com uma determinada frequência de corte?
- Um passa-baixo de Bessel de segunda ordem pode ter um fator Q diferente de 0,5773?
Obrigado!
Comentários
- A constante no denominador para a última equação H (s) deve ser ” 1 ” em vez de ” 3 “. Última pergunta: NÃO !. É apenas o fator Q que determina a resposta de Bessel.
- você está certo, foi um erro de digitação. Ainda não tem muito a ver com um polinômio de Bessel.
- Por que não? É uma função de filtro típica com uma resposta de frequência chamada ” Thomson-Bessel “. Qual é o seu problema? Obviamente, a função de filtro não é idêntica ao ” polinômio matemático de Bessel “.
- Eu não ‘ não entendo por que você tem essa definição matemática de um lado e uma função de transferência que é completamente diferente do outro. De onde vêm esses coeficientes?
- Os coeficientes dos chamados filtros de Bessel são calculados com base na exigência de um atraso de grupo máximo plano na banda passante (para ser comparado com uma amplitude máxima plana para filtros Butterworth) . Pode-se mostrar que, durante o cálculo dos coeficientes, usamos os polinômios de Bessel conhecidos (este é um procedimento bastante complicado) – mas isso não significa que a magnitude da função de transferência tenha uma resposta semelhante às funções de Bessel. É – como já foi mencionado – o procedimento matemático por trás da descoberta dos coeficientes. OK?
Resposta
Como é que a transferência no guia de design de ti não é um polinômio de Bessel.
Vejamos a função de transferência que você escreveu: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1} {0,618s ^ 2 + 1,3617s + 1} \ $
Reorganizando: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1.6181} {s ^ 2 + 2.2034s + 1.6181} \ $
A equação agora está na forma padrão: \ $ H (s) = \ dfrac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ $
E claramente \ $ \ omega_n \ $ = \ $ \ sqrt {1.6181} \ $, portanto, 2.2034 / \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ = 1.732. Este bit é importante porque é \ $ \ sqrt3 \ $.
Para um filtro passa-baixo de 2ª ordem Bessel 2 \ $ \ zeta \ $ = \ $ \ sqrt3 \ $, portanto, zeta é 0,866.
Na imagem, eu manipulei R para me dar uma razão de amortecimento (zeta) de precisamente 1,732 – olhe para o pico no resposta ao degrau – 1,00433 volts – exatamente certo para Bessel. Observe o atraso de fase plotado no gráfico superior – no máximo plano e gradualmente se tornando 90 graus na frequência de ressonância natural. Fd (a frequência amortecida) é precisamente 0,5 – também indicativo de Bessel.
Uma passagem baixa de Bessel de segunda ordem pode ter um fator Q diferente de 0,5773?
0,5773 é o recíproco de \ $ \ sqrt3 \ $ e não, precisa ser aquele Q para um LPF de Bessel.
Comentários
- A razão pela qual o polinômio é diferente é para a escala de frequência. Um Bessel sem escala (OP ‘ s primeira fórmula) terá \ $ \ omega_0 = \ sqrt {3} \ $, com uma atenuação de ~ -1.597dB @ 1Hz – nada incomum, Bessel é normalmente para atraso de grupo plano, não frequência – então a TI escalou de forma que ‘ seja o clássico -3dB.
- @aconcernedcitizen por que não tornar esta uma resposta em vez de fixá-la na minha resposta, a menos que, é claro, você esteja apontando muito sutilmente um erro em minha resposta que eu ‘ sou muito estúpido reconhecer?
- Eu escrevi isso como um comentário para que a resposta a que estou fazendo o comentário possa ser atualizada, se necessário. Mas se você disser que deveria ser uma resposta, que seja. Eu não ‘ não sei de onde veio o ” estúpido “.
Resposta
Um filtro Bessel tem, como você mostra corretamente em sua primeira fórmula, \ $ \ omega_0 = \ sqrt { 3} \ $. Não é incomum se você pensar que, normalmente, um filtro de Bessel é usado por seu atraso de grupo plano, em vez de seu comportamento de frequência (como @LvW diz em seu comentário). Mas implementar um filtro com essa função de transferência dará um ~ Atenuação de 1.597dB@1Hz, o que não torna a resposta clássica. Portanto, a TI aplicou uma escala de frequência para que a atenuação fosse -3dB @ 1Hz. Acontece que a frequência quadrada (pulsação) é \ $ \ phi \ $ = 1,618 …, após o que eles reorganizaram os termos para se ajustarem à sua topologia opamp.