Interpolação bicúbica

Aqui uma boa explicação.

Vou começar considerando o caso 1D de interpolação cúbica (porque é mais fácil de explicar) e, em seguida, vou para o caso 2D.

A ideia básica da interpolação cúbica é estimar os valores entre quaisquer dois pontos como uma função cúbica, $ f (x) $, com a primeira derivada, $ f “(x) $

$$ f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d $$ $$ f “(x) = 3ax ^ 2 + 2bx + c $$

de modo que, quando emendado para os splines cúbicos adjacentes à esquerda e à direita, a função interpolada (a “derivada zero”) e sua primeira derivada são contínuas. Isso significa que, no limite esquerdo de algum spline dado, o zero e as primeiras derivadas são iguais aos do limite direito da spline adjacente imediatamente à esquerda.

Sem perda de generalidade, podemos assumir que estamos interpolando entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $ . Nos limites esquerdo e direito, vemos que

$$ f (0) = d $$ $$ f (1) = a + b + c + d $$ $$ f “(0) = c $$ $$ f “(1) = 3a + 2b + c $$

Resolvendo os coeficientes polinomiais

$$ a = 2f (0) – 2f (1 ) + f “(0) + f” (1) $$ $$ b = -3f (0) + 3f (1) – 2f “(0) – f” (1) $$ $$ c = f “( 0) $$ $$ d = f (0) $$

Agora considere os quatro pontos ao redor da região sendo estimada, que são $ (- 1, y _ {- 1}) $, $ (0 , y_0) $, $ (1, y_1) $, $ (2, y_2) $, e impõe condições de contorno que

$$ f (0) = y_0 $$ $$ f (1) = y_1 $$

e defina as duas derivadas de limite como

$$ f “(0) = \ frac {y_1-y _ {- 1}} {2} $$ $$ f “(1) = \ frac {y_2-y_0} {2} $$

que é consistente com a forma como eles serão definidos para os splines adjacentes.

Então

$$ a = – \ frac {y _ {- 1}} {2} + \ frac {3y_0} {2} – \ frac {3y_1} {2} + \ frac {y_2} {2} $$ $$ b = y _ {- 1} – \ frac {5y_0} {2} + 2y_1 – \ frac {y_2} {2} $$ $$ c = – \ frac {y _ {- 1}} {2} + \ frac {y_1} {2} $$ $$ d = y_0 $$

assim que os coeficientes forem conhecidos, você pode interpolar $ f (x) $ para qualquer ponto entre os 2 pontos centrais, $ (0 , y_0) $ e $ (1, y_1) $.

Para interpolação bicúbica, o princípio é praticamente o mesmo, mas você estima uma superfície usando 16 pontos (grade 4×4) em vez de apenas uma curva. Uma maneira simples de fazer isso é primeiro interpolar as colunas e, em seguida, interpolar as linhas resultantes.

Comentários

• estes são, BTW, também chamados de Hermite polinômios.
• Eu nunca entendi o que era toda a confusão sobre splines cúbicas de hermite antes de ler esta resposta. É tão incrível, muito obrigado!
• Ao fazer a interpolação bilinear, você faz a interpolação linear para uma variável e depois a interpolação linear para a outra. Portanto, a interpolação bicúbica é a mesma: faça a interpolação cúbica para uma variável e depois a interpolação cúbica para a outra, certo?