Ok, então estou tendo problemas reais para distinguir entre o conceito de estado estacionário e o caminho de crescimento equilibrado neste modelo :
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$
Pediram-me para derivar os valores de estado estacionário para capital por trabalhador efetivo :
$$ k ^ * = \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
Bem como a razão de estado estacionário de capital para produção (K / Y):
$$ \ frac {K ^ {SS}} {Y ^ {SS}} = \ frac {s} {n + g + \ delta} $$
Eu achei ambos bons, mas também fui solicitado a encontrar o “valor de estado estacionário do produto marginal do capital, dY / dK “. Aqui está o que eu fiz:
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$ $$ MPK = \ frac {dY} {dK} = \ beta K ^ {\ beta -1} (AL) ^ {1- \ beta} $$
Substituindo K no estado estacionário (calculado ao trabalhar no estado estacionário para a razão K / Y acima):
$$ K ^ {SS} = AL \ esquerda (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ direita) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta (AL) ^ {1- \ beta} \ left [AL \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} \ right] ^ {\ beta -1} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {\ beta -1} {1- \ beta}} $$
Em primeiro lugar, preciso saber se este cálculo para o valor de estado estacionário de MPK é correto?
Em segundo lugar, pediram-me para esboçar as trajetórias temporais da relação capital-produto e do produto marginal do capital, para uma economia que converge para sua trajetória de crescimento equilibrado “de baixo para cima”.
Estou tendo problemas para entender exatamente o que é o caminho de crescimento equilibrado, em oposição ao estado estacionário, e como usar meus cálculos para descobrir como esses gráficos devem ser.
Desculpe por o post gigantesco, qualquer ajuda será muito apreciada! Agradecemos antecipadamente.
Resposta
Isso ocorre quando a tentativa de precisão cria confusão e mal-entendidos.
Antigamente, os modelos de crescimento não incorporavam o progresso tecnológico e levavam a um equilíbrio de longo prazo caracterizado por magnitudes per capita constantes . Verbalmente, o termo “estado estacionário” parecia apropriado para descrever tal situação.
Então surgiram Romer e os modelos de crescimento endógeno, que também impulsionaram os modelos mais antigos a começar a incluir como característica de rotina fatores de crescimento exógenos (além da população). E “de repente”, os termos per capita não eram constantes no equilíbrio de longo prazo, mas crescendo a uma taxa constante . Inicialmente, a literatura descreveu tal situação como “estado estacionário nas taxas de crescimento”.
Então, parece que a profissão pensou algo como “é impreciso usar a palavra” estável “aqui porque as magnitudes per capita estão crescendo. O que acontece é que todas as magnitudes crescem em um taxa equilibrada (ou seja, à mesma taxa e, portanto, suas proporções permanecem constantes). E, como crescem, seguem um caminho … “Eureca !: o termo” caminho de crescimento equilibrado “nasceu.
… Para a frustração dos alunos (pelo menos), que agora precisam lembrar que, por exemplo, o “caminho de sela” é de fato um caminho no diagrama de fases, mas o “caminho de crescimento equilibrado” é apenas um ponto! (porque, para realmente desenhar um diagrama de fases e obter um bom e velho equilíbrio de longo prazo, expressamos magnitudes por trabalhador efetivo, e essas magnitudes têm um estado estacionário tradicional. Mas continuamos a chamá-lo de “caminho de crescimento equilibrado”, porque as magnitudes per capita, que é o que nos interessa, em nossa abordagem individualista), continuam a crescer).
Portanto, “caminho de crescimento equilibrado” = “estado estacionário de magnitudes por unidade de eficiência de trabalho”, e eu acho que você pode descobrir o resto para seu diagrama de fase.
Resposta
Seguindo a conversa com o usuário @denesp no comentários da minha resposta anterior, eu tenho que esclarecer o seguinte: o dispositivo gráfico usual que usamos relacionado ao modelo de crescimento básico de Solow (veja por exemplo aqui , figura 2 ) não é um diagrama de fase, já que razoavelmente chamamos de “diagramas de fase” aqueles que contêm locos de mudança zero, identificando os pontos de cruzamento deles como pontos fixos de uma dinâmica l sistema e examine suas propriedades de estabilidade. E não é isso que fazemos para o modelo de Solow. Portanto, foi um uso descuidado da terminologia da minha parte.
No entanto, podemos desenhar um “diagrama de semi-fase” para o modelo de crescimento de Solow, no espaço $ (y, k) $. Entendendo os símbolos como “por unidade de eficiência de trabalho”, temos o sistema de equações diferenciais (enquanto $ y = f (k) $)
$$ \ dot k = sy – (n + \ delta + g ) k $$
$$ \ dot y = f “_k (k) \ cdot \ dot k $$ Escrevendo a equação de mudança zero como uma desigualdade fraca para mostrar também as tendências dinâmicas, temos
$$ \ ponto k \ geq 0 \ implica y \ geq \ frac {n + \ delta + g} {s} k $$
$$ \ ponto y \ geq 0 \ implica \ ponto k \ geq 0 $$
Portanto, este sistema fornece um único lugar geométrico de mudança zero, uma linha reta. Sem pontos de cruzamento para identificar um ponto fixo O que podemos fazer?Desenhe também a função de produção no diagrama, já que, na realidade, o espaço $ (y, k) $ é unidimensional, não uma área, mas uma linha. Então obtemos
O setas verticais / horizontais indicando as tendências dinâmicas vêm apropriadamente das desigualdades fracas acima (tanto $ y $ quanto $ k $ tendem a crescer quando acima do locus de mudança zero). Então, como $ y $ e $ k $ são constrangidos a se mover na linha pontilhada (que é a função de produção), segue-se que eles se movem em direção ao seu ponto fixo, não importa onde comecemos. Aqui, o gráfico da função de produção representa essencialmente o caminho para o equilíbrio de longo prazo, uma vez que a convergência é monotônica.