Modelo / fórmula para bola quicando

Você diz que está ignorando a fricção do ar, mas assumir uma colisão parcialmente inelástica. Isso significa que podemos dividir o problema em duas partes:

1. Enquanto a bola não está em contato com o solo, a altura no momento $ t $ após o último salto em $ t_0 $ é dada por $$ h (t + t_0) = v_0 t – \ frac12 gt ^ 2 $$ onde $ v_0 $ é a velocidade logo após o salto. Essa velocidade mudará de um salto para o outro.
2. Durante o impacto, a bola se deformará e haverá atrito. A forma exata da bola durante o impacto é difícil de capturar em uma equação simples porque depende da composição da bola e do chão. Como uma suposição simplificadora, considere a bola como uma “massa em uma mola levemente com perdas com uma constante de mola $ k $”; então a bola exibirá movimento harmônico simples amortecido (aproximadamente) durante o impacto: isso significa que o tempo de impacto será independente da velocidade de impacto (!)

O coeficiente de restituição é um parâmetro de uma bola / superfície e reflete a fração da velocidade logo após o salto dividido pela velocidade imediatamente anterior. Para uma bola de golfe, isso pode ser tão alto quanto 0,8; para uma bola de tênis é cerca de 0,75.

Usando $ \ rho = 0,75 $, se você deixar cair uma bola de uma altura de 5 m (e colocar $ g = 10 ~ m / s ^ 2 $ para conveniência) ele pousaria após 1 segundo com uma velocidade de 10 m / s, e após o salto (algum tempo curto $ \ Delta t $) ele voltaria a subir com uma velocidade inferior $ v_1 = 7,5 m / s $. O tempo gasto no ar até o próximo salto é dado por $$ t_1 = 2 \ frac {v_1} {g} = 2 \ rho \ frac {v_0} {g} $$

Enquanto a bola está em contato com o solo, podemos considerar que seu centro se move de forma aproximadamente sinusoidal – como eu disse, o importante é que o tempo de contato seja independente da altura de queda (no pressuposto da constante linear da mola). Na realidade, à medida que a bola se deforma mais, a constante da mola aumentará – o que tornará o tempo de contato mais curto, pois a velocidade de impacto será maior. Mas, para a sua simulação, é improvável que isso importe.

Para ir do acima para um “modelo matemático”, você pode modificar este código Python de acordo com suas necessidades:

from math import sqrt import matplotlib.pyplot as plt h0 = 5 # m/s v = 0 # m/s, current velocity g = 10 # m/s/s t = 0 # starting time dt = 0.001 # time step rho = 0.75 # coefficient of restitution tau = 0.10 # contact time for bounce hmax = h0 # keep track of the maximum height h = h0 hstop = 0.01 # stop when bounce is less than 1 cm freefall = True # state: freefall or in contact t_last = -sqrt(2*h0/g) # time we would have launched to get to h0 at t=0 vmax = sqrt(2 * hmax * g) H = [] T = [] while(hmax > hstop): if(freefall): hnew = h + v*dt - 0.5*g*dt*dt if(hnew<0): t = t_last + 2*sqrt(2*hmax/g) freefall = False t_last = t + tau h = 0 else: t = t + dt v = v - g*dt h = hnew else: t = t + tau vmax = vmax * rho v = vmax freefall = True h = 0 hmax = 0.5*vmax*vmax/g H.append(h) T.append(t) print("stopped bouncing at t=%.3f\n"%(t)) plt.figure() plt.plot(T, H) plt.xlabel("time") plt.ylabel("height") plt.title("bouncing ball") 

Este código produz o seguinte gráfico:

Bem, a dificuldade é quando a bola entra em contato com a parede. Poucas coisas você pode considerar.

• impacto elástico. Nesse caso, você pode tratar a bola como uma mola elástica. Ao atingir a parede com velocidade, a energia cinética será convertida em energia potencial da mola. E então, após atingir a deformação máxima, a bola voltará ao espaço. A direção da deformação é normal à parede.
• impacto inelástico. É semelhante ao anterior, exceto que a bola recupera apenas uma fração da energia cinética. Isso é mais próximo da realidade. A perda é geralmente descrita usando o coeficiente de restituição.
• impacto inelástico com fricção. Quando a bola atinge uma parede com um ângulo, a bola pode deslizar na superfície. Isso se torna mais próximo da realidade.
• resistência do ar. Quando a bola está se movendo no espaço, há força de arrasto do ar para retardá-la.

Comentários

• Desculpe, acho que não foi ' claro o suficiente. Eu ' estou falando sobre impacto parcialmente inelástico. Da minha postagem original " … quanta energia é perdida durante o salto … ". Além disso, mencionei na postagem original, eu ' m ignorando a resistência do ar (" … I ' m assumindo uma perda insignificante de resistência do ar … "), e eu ' não estou tentando modelar o momentum lateral (" impacto inelástico com fricção "). Eu só quero modelar a compressão, desaceleração, descompressão e aceleração que ocorrem durante o impacto com o solo, e a perda de energia inerente a todo o processo.

Visual Solutions (agora Altair) faz o software VisSim. Aqui está um diagrama de blocos de demonstração que eles usaram para simular uma bola quicando:

Os blocos $ 1 / s $ são blocos integradores da biblioteca VisSim.

O gráfico da bola quicando com esses parâmetros é mostrado abaixo.

Se você estiver interessado em executar isso, a demonstração vem com a instalação e você pode baixar um teste gratuito de 60 dias aqui