O dado não cilíndrico de sete lados da GameScience ' é um dado equilibrado / justo?

O experimento real é difícil

Os dados vinculados na pergunta estão fora de estoque, portanto, apenas as pessoas que já têm muitos desses dados e estão dispostos a fazer os testes estatísticos podem dar a resposta ” verdadeira “. Suspeito que essa população seja muito pequena. No entanto, acho que a literatura existente e um pouco de dedução podem dar uma perspectiva teórica e histórica sobre a justiça deste d7.

É possível ter um d7 justo em cenários específicos

Em primeiro lugar, é definitivamente possível ter um dado de sete lados. O dado, conforme mostrado, é um prisma pentagonal. Geometricamente, a justiça do dado é mais fortemente afetada pela proporção de tamanho das faces pentagonais em relação aos lados retangulares . Fiz um rápido modelo dos dois extremos:

• Os rostos são maiores que os lados: Isso corresponde à forma do lado esquerdo. Este extremo favorece fortemente as faces pentagonais – é basicamente uma moeda e é difícil imaginá-la caindo nas bordas.

• Os lados são maiores do que os rostos: Isso corresponde à forma à direita . Nesse caso, o dado é mais parecido com um lápis e quase sempre cairá nas laterais.

Conforme alguém ajusta suavemente a proporção de tamanho entre os lados e as faces, haverá um ponto específico onde há um transição entre favorecer os lados e favorecer as faces. Esta interceptação é o ponto em que o dado é justo. Portanto, é possível ter um dado de 7 lados justo.

No entanto, essa proporção mágica m não pode ser o mesmo para todas as condições. Esta resposta no MathOverflow argumenta que para o dado não isohedral, a justiça do resultado depende de como você o joga. Da mesma forma, esta página aleatória na internet afirma que diferentes superfícies podem afetar o resultado do teste. Nenhuma das fontes fornece evidências concretas para suas reivindicações, mas vale a pena considerar que o argumento do valor intermediário apresentado acima não prova que um único d7 pode ser justo em todos os condições .

A patente para este d7 mostra que foi testado quanto à imparcialidade

Portanto, a questão é: esses dados específicos têm a geometria necessária para serem justos? A página de descrição do produto à qual o OP se vincula contém um número de patente: US PAT No. D-4.900.034. Esse número corresponde à patente ” Peças de jogo aleatórias e layout e mesa de jogo para uso com o mesmo ” arquivado por Bernard Bereuter em 1988.Esta patente, entre outras coisas, descreve a construção e justiça para este específico d7 para fins de jogo:

Usando peças de jogo formadas de plástico rígido de um tipo como o que poderia ser usado para dados padrão, a experimentação mostrou que o destino aleatório desejado das peças é alcançado se o pentágono regular da seção transversal se encaixa precisamente em um círculo de 1 polegada de diâmetro (resultando em bordas periféricas 3 de comprimento de 0,588 polegada) e o comprimento do prisma é de 0,753 polegada, para peças enroladas sobre feltro de espuma esticado sobre uma superfície horizontal rígida.

…

A peça de jogo aleatório que compreende um prisma não retangular … tendo indícios espaçados uniformemente em torno de sua circunferência, o comprimento do referido prisma sendo diferente do comprimento de um lado da seção transversal do polígono regular e sendo igual ao comprimento necessário para que a probabilidade de o referido prisma pousando em qualquer uma de suas faces finais é aproximadamente igual al à probabilidade de seu pouso em qualquer uma de suas faces laterais.

Assim, Sr. Bereuter aparentemente fez o teste empírico necessário para determinar a proporção de tamanho ideal para um dado de sete lados razoável, pelo menos em uma superfície específica.

Infelizmente, porque seus dados não são públicos e os dados não estão disponíveis no momento, não podemos verificar ou repetir seus resultados nós mesmos. É certamente possível que os dados comprados naquele site não sejam justos por outros motivos também. Ainda assim, o inventor deste d7 claramente fez um esforço significativo para determinar as dimensões necessárias para criar um dado justo.

Se GameScience seguiu com precisão as dimensões na patente que eles citam, então seu d7 é provavelmente justo o suficiente para fins de RPG. Afinal, a patente original destinava-se ao dado para fins de jogos de azar e, na minha experiência, os TTRPGs são muito menos sensíveis a dados injustos do que o jogo.

Comentários

• Eu tenho um problema com esta resposta (desculpe por não apoiá-la com fontes): A probabilidade de um dado repousar em uma face depende (também) de quão afiada / redonda a borda, se o dado tem impulso suficiente para rolar sobre esta borda. uma vez que o momento de inércia e a altura do centro de gravidade da matriz são diferentes dependendo do tipo de aresta, a circularidade noturna também precisa ser diferente. Não ‘ não vejo esse endereço em lugar nenhum. Além disso, não ‘ fiz as contas se a diferença for significativa para as diferentes faces, pode não significar muito.
• @mart that ‘ é verdade, e não tenho como resolver esse problema – tentei mencioná-lo quando disse que pode haver outros motivos pelos quais os dados não estão ‘ t feira. Para testar se você ‘ não precisa apenas pegar os dados reais, que estão fora de estoque, também um monte de dados que não ‘ t têm bordas arredondadas, mas são idênticas de outra forma.
• Estou me perguntando se alguém com uma impressora 3D poderia criar dados variados após escanear um ” regulamento ” morrer. Em seguida, brincar com os parâmetros nas bordas.

Não, eles não são justos, a menos que você ignore os lados

Existem alguns requisitos para que um dado sólido uniforme seja justo.

Os lados ativos devem ser transitivos de face.

Os dados só são justos se todos dos lados que estão sendo usados têm a mesma probabilidade de aterrissar. Para que isso seja verdade, ele precisa ser transitivo de face, o que significa que todos os lados têm o mesmo formato. Mais especificamente …

Figura Isoédrica

Em geometria, um politopo de dimensão 3 (um poliedro) ou superior é isohedral ou face transitiva quando todas as suas faces são iguais. Mais especificamente, todas as faces devem ser não apenas congruentes, mas transitivas, ou seja, devem estar dentro da mesma órbita de simetria. Em outras palavras, para quaisquer faces A e B, deve haver uma simetria de todo o sólido por rotações e reflexões que mapeia A sobre B. Por essa razão, poliedros isohédricos convexos são as formas que darão dados justos.

Figura isotoxal

Poliedros regulares são isohedral (transitivo de face), isogonal (transitivo de vértice) e isotoxal (transitivo de borda).

Este dado de 7 lados não é nenhuma dessas coisas. Mas é se ignorarmos todos os resultados nos lados pentagonais.

Dito de outra forma, dada uma face no dado, deve haver uma rotação (pelo menos uma) que resulta em todas as outras faces, arestas, e o vértice sendo mapeado no mesmo lugar como uma face, aresta e vértice diferentes, respectivamente. Vamos tentar em 2-d.

Isso faz um bom 2 dimensional morrer. Girar o triângulo 120 graus em torno do centro mapeia cada vértice e aresta do triângulo para outro. Vamos levar isso para 3 dimensões, digamos um cubo. A d6. Todos nós somos familiares. Um d6 é um dado razoável porque existe pelo menos uma rotação que resulta em cada face, aresta e vértice sendo mapeados na localização de um diferente. Uma dessas rotações seria obviamente uma rotação que pode ser representada por “90 graus em um eixo e 90 graus em outro”. Ou em Ângulos de Euler , 90, 90, 0. Ou, se ajudar, inclinação de 90 graus e guinada de 90 graus. Ou qualquer combinação de pitch, yaw e roll.

Todos os outros dados justos têm esta propriedade. Existe uma rotação que mapeia cada face, aresta e vértice de um d4 em uma face, aresta e vértice diferente. Existe um para um d20. Na verdade, existem muitas rotações que fazem isso para esses dados justos. Mas não há rotação que faça isso para um d7. Você poderia girar 180 graus em torno do eixo “para cima” (sentado em nenhum 6 ou 7), mas então a borda superior não teria sido transladada para a posição de outra borda. Você poderia colocá-lo plano em 6 e girá-lo 72 graus, mas então as faces pentagonais não teriam sido transladadas para outra face.

O centro de cada face deve ser equidistante ao centro de massa.

Quando se trata de dados (regulares), o centro de massa está no centro exato do objeto. Isso significa que todas as faces estão equidistantes dele. O resultado disso é que, após um teste, todas as faces têm oportunidades iguais de aparecer. No entanto, se o centro de massa for movido do centro geográfico da matriz, o eixo de rotação será alterado e a matriz não será mais justa. fonte

Alterar o centro de massa é conhecido como ponderação do dado. Conforme o centro de massa é movido mais longe do meio da matriz, a face efetivamente mais leve irá rolar para cima com mais freqüência do que não.

Fazendo dados justos ignorando as faces

Dados com um número ímpar de faces planas podem ser feitos como “dados longos”. [ 26] Eles são baseados em um conjunto infinito de prismas. Todas as faces (retangulares) nas quais eles podem realmente pousar são congruentes, portanto, são igualmente justas. (Os outros 2 lados do prisma são arredondados ou cobertos por uma pirâmide, projetada de forma que o dado nunca realmente se apoie nessas faces) Fonte

Essa última frase é a parte mais importante. Este dado de 7 lados é justo para intervalos de 1 a 5, desde que você ignore a 6ª e a 7ª faces. Como lemos acima, qualquer prisma pode ser justo, desde que as extremidades sejam “limitadas” ou ignoradas ( ver Dados longos ). Portanto, um d7 real seria feito de um prisma heptagonal . Portanto, ignorando as extremidades, existe uma rotação que mapeia cada face, vértice e aresta na localização de uma face, aresta e vértice diferente. Vamos voltar ao exemplo acima. Colocamos na 6ª borda e giramos 72 graus. Voila! Cada uma das faces está agora no local onde uma face costumava estar, cada aresta está no lugar de onde uma aresta diferente estava e cada vértice está no lugar de um vértice diferente . Exceto pelas tampas, que ignoramos.

Mais recentemente, você deve ter notado os dados de barril. Eles usam o mesmo princípio básico, exceto que seus lados são triângulos em vez de retângulos.

Por que formas não-simétricas não ortodoxas funcionam?

O resultado do dado ser transitivo de face e ter um centro de massa equidistante dos centros das faces é que ele requer a mesma quantidade de força em uma direção para girá-lo, independentemente da face que tenha pousou em. Quando olhamos para trás em d7, podemos facilmente adivinhar que aplicar força para ir da face 1 para a face 2 é a mesma quantidade de força que irá mudá-la da face 2 para a face 3 conforme repousa sobre a mesa. Isso se deve ao fato de que os ângulos entre as faces são iguais e porque as faces são iguais nesses lados. Há tanta área de superfície tocando a mesa quando “1” está para cima quanto quando “2” está para cima. Vamos considerar as faces 6 e 7.

Quando a face 6 está para cima, a face 7 está para baixo. Agora existe uma área de superfície maior na mesa. Além disso, o ângulo entre a face 6 e qualquer outra face em contato com ela é maior (90 graus contra 72 graus). Ambos significam que é necessário mais força para empurrá-lo para uma das outras faces.Então, quando a matriz está caindo e a face 6 ou 7 atinge a mesa perto do final da queda e perde um pouco de sua velocidade e velocidade de rotação, é mais provável que a quantidade de força X não resultar no dado caindo sobre aquela face para pousar em 1-5.

Comentários

• Os comentários não são para discussão extensa; esta extensa conversa de muitos dos pontos matemáticos / físicos / estatísticos da postagem foi movida para seu próprio bate-papo dedicado . Eu sugiro fortemente que aqueles que ‘ leu até aqui também leiam o chat. Em qualquer caso, comentários adicionais devem apenas abordar como o OP pode melhorar sua apresentação de sua posição; se quiser argumentar que a posição dele está incorreta, faça-o em sua própria resposta ou no bate-papo.