O mundo está um caos agora? Porque um mais um não é igual a dois, pelo menos não o tempo todo .

Pegue um litro de água e um litro de areia. Adicione-os. O que você ganha? Areia molhada, mas certamente não dois litros dela.

Pegue um coelho e adicione um coelho. Adicione-os. Você tem uma chance razoável de acabar com um pouco mais do que dois coelhos, se esperar um período de tempo suficiente.

Mesmo no reino da matemática pura, um mais um não é necessariamente igual a dois. Se estiver trabalhando com módulo dois aritmética , 1 + 1 = 0. Se você “estiver lidando com aritmética módulo dois e 1 + 1 = 2, você” Fiz algo muito errado. – Além disso, não é como se o módulo dois aritmética fosse uma observação obscura – seu computador está usando-o agora na forma de “xor bit a bit” e os computadores modernos não poderiam funcionar sem ele. (Embora reconhecidamente, a aritmética do módulo dois é bastante simples em suas propriedades, então não há muitos matemáticos que se preocupam em estudá-la.)

Matemática é baseado em axiomas – suposições sobre as propriedades de um sistema – e as implicações que decorrem logicamente desses sistemas. Se uma dessas implicações for considerada “contrafactual”, então a lógica era inválida ou um dos axiomas estava incorreto para esse sistema. – Para esse sistema é um bit importante. Só porque algo é contrafactual para um conjunto de axiomas não significa que é contrafactual para um conjunto diferente de axiomas.

Pegue o axioma paralelo de Euclides. Inclua aqueles com o resto dos axiomas de Euclides, e você terá a geometria euclidiana. Esta é a geometria “padrão” com a qual você e eu estamos familiarizados e com a qual uma fração substancial dos matemáticos opera. No entanto , você pode configurar diferentes geometrias onde isso não se sustenta . Na verdade, a física moderna nos diz que “estamos realmente vivendo em uma geometria não euclidiana – a física avançada não funcionaria em uma geometria euclidiana verdadeira onde o axioma paralelo é válido.

Isso significa que as geometrias euclidianas e o axioma paralelo está errado? Não. É uma construção matemática perfeitamente válida que centenas de milhares de matemáticos e engenheiros – e físicos – usam diariamente. O fato de a geometria euclidiana ter axiomas que produzem resultados inconsistentes com o mundo observado não significa que a geometria euclidiana seja inválida, significa apenas que esses axiomas não se aplicam ao sistema que você está observando. Não significa que eles ganharam “não se aplicam – ou mesmo que não sejam os melhores para usar – em alguma outra situação.

Portanto, 1 + 1 = 2 é uma observação muito conveniente e válida em muitos casos. Mas nem todos. Às vezes, 1 + 1 = 0 ou algum outro número.Só porque os axiomas da aritmética de número natural padrão não valem para um sistema em particular, não significa que sejam inválidos, significa apenas que não são aplicáveis a esse sistema, e você tem que chegar a outro conjunto e outro sistema aritmético.

Ou, você pode redefinir seu sistema de forma que os axiomas sejam mantidos. (Isso é o que as pessoas que digitam freneticamente “Mas se você …” comentários abaixo estão fazendo. “Se você os mantiver em recipientes separados, se” forem ambos mulheres, se ignorarmos a aritmética do módulo … “Se você redefinir coisas que os axiomas sustentam, as consequências lógicas desses axiomas seguem logicamente.)

Comentários

• Um exemplo mais convincente seria misturar 1 litro de água com 1 litro de álcool (nem a coisa areia / água nem a coisa do coelho me dão uma boa impressão de violar 1 + 1 = 2).
• Nitpicks: Na aritmética módulo-dois, 2 ~ = 0 (eles ' estão na mesma " classe de equivalência "), então você pode validamente, diga 1 + 1 = 2 ou 1 + 1 = 42 ou 1 + 1 = -9002. Você ' não fez nada de errado se disser 1 + 1 = 2 no mod 2. Em segundo lugar, embora a aritmética do módulo dois seja simples, a matemática resultante pode ser decididamente não trivial. Polinômios sobre GF (2) são a base de uma quantidade significativa de criptografia moderna e códigos de correção de erros, mesmo fazendo uma aparição nesses códigos QR onipresentes.
• Sua resposta me parece um tanto confusa, pois acho que contém muitos pequenos erros. 1 + 1 = 2 é uma afirmação matemática, caso em que sua resposta perde o ponto de que esta não é uma verdade fundamental, ou sobre coisas do mundo real. Nesse caso, o que você quer dizer é: 1 + 1 não é = 2, às vezes pode ser, mas ' de longe não é uma verdade fundamental. Se você argumentar da segunda maneira, diga que sua resposta não é matemática e deixe a matemática de lado.
• Que absurdo completo! Na ausência de anotações explícitas, 1+1=2 é uma equação matemática pura. Se você quiser mergulhar na química, precisa primeiro dizer isso. Idem para o módulo aritmético, ou para números que acabam sendo logaritmos.
• @CarlWitthoft Mas isso ' é o ponto, ' s não é um absurdo. Você tem algumas suposições implícitas. Se alguém descobrisse que 1+1 != 2, isso significaria que uma das suposições estava errada. Você pode lidar com as áreas em que essas premissas não ' não se aplicam a tudo o que você deseja, basta declará-las. Na verdade, exatamente isso aconteceu quando fizemos a transição da mecânica newtoniana para a relatividade.

Como qualquer matemático fará diga-lhe, 1 + 1 = 2 segue trivialmente a partir de definições e não é um teorema. Sua pergunta não faz sentido.

É como se você declarasse:

Eu defino 1 zounce fluido como sendo exatamente 30 mililitros.

Mas e se eu “estou errado?

Essa é a sua definição. Não pode estar errado porque o fluido zounces, antes de sua definição, simplesmente não existia.

Comentários

• Alguém poderia ler sua pergunta, com mais caridade, como " e se descobrirmos que 1 + 1 = 2 não segue os postulados de Peano '? ", de modo que retém qualquer vantagem filosófica que tenha?
• Eu contestaria que todo matemático dirá que 1 + 1 = 2 é uma definição. Entendo seu ponto, obviamente, mas em geral 2 será S (S (0) ) em vez de 1 + 1. Portanto, há ' s um argumento a ser feito de que S (S (0)) = S (0) + S (0) it ' um argumento trivial direto da definição de +, mas um que eventualmente acaba sendo meio complicado devido a toda a indução infinita que você precisa quando quer que isso funcione em geral.
• @DRF Eu entendo que OP talvez não esteja familiarizado com a aritmética de Peano, daí a simplificação exagerada. Mas eu entendo que é preciso definir + depois de definir 0 e S (.) – no entanto, como você diz, é então um passo trivial para 1: = S (0) e 2: = S (1). Embora eu mantenha a ideia geral de que essas são todas afirmações axiomáticas ou definicionais que só podem ser refutadas se você escolher uma definição diferente de +, o que não seria uma refutação de forma alguma. Seria apenas uma definição diferente.
• @Schiphol eu não ' não pretendo rejeitar abertamente a questão, mas não vejo que tenha borda filosófica, ou mesmo necessariamente que Peano precisa ser trazido para ele. A questão parece estar baseada em um mal-entendido, como se uma refutação de 1 + 1 = 2 pudesse ter qualquer forma discernível, ou que todos nós cairíamos em um buraco negro se um acontecesse.Seria algo totalmente diferente se fosse formulado como o mais consequencial, mas equivalente ' por que podemos assumir com segurança 0 ≠ 1 e quais são os argumentos mais fortes em contrário? '
• @EricDuminil, Merriam-Webster define literalmente " dois " como " sendo mais do que um em número ", que é exatamente S(S(0)). Portanto, neste caso, certamente temos uma definição.

equação mais fundamental

Sua suposição está errada. 1 + 1 = 2 não é um axioma da matemática, mas (como o Sputnik aponta) uma consequência dos axiomas de Peano aplicados a base 10 representações de números.

É possível mudar facilmente de decimal (base 10) para unário (base 1) e diga:

1 + 1 = 11.

Ou mude para binário (base 2, o que seu computador realmente usa) e diga:

1 + 1 = 10.

E por causa disso, posso usar numerais romanos :

I + I = II.

Portanto, há representações em que 1 + 1 é não 2 (e até mesmo sistemas onde você não tem o glifo 1), mas o universo não implodiu ainda por causa disso.

---

Agora, e se sua pergunta fosse mais provável e …

E se os axiomas de Peano contradizerem as observações do mundo natural?

Nesse caso, minha resposta seria dupla:

• Matemática baseada nos axiomas de Peano ainda seria útil
• Matemáticos viriam com outra conjunto de axiomas que caberia no mundo natural, junto com a matemática baseada nesses novos axiomas

Para entender isso, tome por exemplo Newtoniano física : eles são um grande conjunto de regras da matemática construída sobre alguns axiomas que se encaixam perfeitamente nas observações do mundo natural.

Mas então Einstein percebeu que alguns dos axiomas não se encaixavam realmente (em particular quando as coisas vão à velocidade da luz) e surgiu com a física relativística , que praticamente invalida toda a física newtoniana.

Até nós sabemos que a física newtoniana está errada (porque se baseia em um modelo muito simples), eles são uma ferramenta válida para muitos problemas.

O mesmo com a aritmética baseada em Peano: mesmo que eles não se encaixem em alguma observação no mundo natural, eles ainda seriam bons instrumentos. E, como consequência da inadequação, outro conjunto de matemática poderia ser derivado disso.

Comentários

• O símbolo " 1 " normalmente seria definida como a identidade multiplicativa e " 2 " normalmente seria definido como a soma da identidade multiplicativa consigo mesmo. Que 1 + 1 = 2 não ' t seria um " axioma ", mas seria em vez disso, estar implícito bastante diretamente por essas definições. Se alguém definir os símbolos de maneira diferente, a equação que usa esses símbolos pode não valer, mas adicionar a identidade multiplicativa a si mesma ainda produziria a soma da identidade multiplicativa e de si mesma, independentemente de quais símbolos foram necessários para escrever esse fato.
• Obrigado por mencionar a física newtoniana versus física relativística, porque descobrir 1c + 1c != 2c foi exatamente o que aconteceu. A matemática estava certa, mas nosso modelo para adicionar velocidades estava errado em altas velocidades , então corrigimos o modelo para combinar as observações . Deve levar em consideração o fator de Lorentz em altas velocidades. Problemas semelhantes com a mecânica quântica clássica versus quântica.
• Você também não ' não vê muitos matemáticos árabes afirmando que, por usarem numerais diferentes, eles contestaram 1 + 1 = 2. Portanto, ' é uma pena que a primeira parte desta resposta esteja errada, porque a segunda parte é muito boa.
• @SteveJessop Pelo menos em parte porque 1 , 2, etc. são algarismos arábicos. Mas seu ponto geral é válido. (ou seja, ' é uma pena que a primeira parte do seu comentário esteja errada, porque a segunda parte é muito boa.)
• Uma reclamação. A física newtoniana não está " errada. " Funciona perfeitamente bem no contexto em que foi descoberta.Nunca precisei usar a relatividade geral em nenhum dos meus 30 anos de trabalho relacionado à física. A mecânica newtoniana me separou bem e corretamente em meu contexto. O que a Relatividade faz é estender a física newtoniana para explicar adequadamente os fenômenos que ocorrem perto da velocidade da luz e expandir a gama de contextos nos quais podemos raciocinar adequadamente sobre a gravidade e a luz.

Se 1 + 1! = 2, então 1 – 1! = 0, o que significa que a carga dos prótons em um núcleo não cancela mais o carga nos elétrons. Assim, todos os átomos adquirem uma carga elétrica líquida e todos os corpos macroscópicos são atraídos (ou repelidos) uns para os outros com uma força incrível – 36 ordens de magnitude mais forte que a gravidade. Isso transformaria todo o universo em uma polpa subatômica em uma ordem bastante curta …

Comentários

• Claro, mas também não faço isso.
• Reversão protônica total? Cruzar os riachos é ruim, Ray.
• Esta é na verdade a única resposta que eu ' li aqui que apresenta uma teoria sobre " o que aconteceria " parte da pergunta. Bravo, Oscar.
• " Se 1 + 1! = 2, então 1 – 1! = 0 " Eu não ' não entendo. Como essa conclusão é feita?
• @CPHPython Isso poderia acontecer se 1 + 1 = 2 for falso ( e se a carga elétrica obedecer às regras de + ) Mas se ' for refutado , isso significa apenas que a forma como fazemos refutações está quebrada.

O que aconteceria é conceitualmente muito simples. O artigo que prova “¬1 + 1 = 2” será renomeado como “ A Teoria dos Conjuntos de Zermelo – Fraenkel é inconsistente ” e publicado.

De aí fica mais difícil. Dependendo de como a prova funciona, devemos terminar com um novo teorema de conjunto mais fraco, resultando na restauração da consistência. Ou algo pior; os Axiomas de Peano podem ser inválidos com a consequência de, bem, francamente não sei. Alguma operação que estamos acostumados a fazer foi embora, mas venceu “t ser adição. A adição inteira não pode ser refutada no reino finito (graças à ciência!), então algo mais no caminho para a contraprova é descartado. Talvez o manejo do infinito esteja errado em toda a matemática. Talvez outra coisa. Lamento se isso soa como especulação. A especulação está de fato na questão. Meio que depende do tamanho do buraco que você quer perfurar.

Do lado prático, já sabemos o que acontece . 1 + 1 = 2 ainda será verdadeiro para qualquer domínio e caso de uso razoável, então continuaremos a usá-lo. Depois de algum tempo, o modo de falha será compreendido e cuidadosamente (ou não tão cuidadosamente) excluído como fazemos na Ciência da Computação para estoure agora.

Comentários

• " A teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel é inconsistente " – ou um título ainda melhor, se a prova não ' requer todos os axiomas ZF.
• Pudlak teoriza que se um Se uma contradição fosse encontrada nos Axiomas de Peano, começaríamos a restringir o axioma de indução a fórmulas " pequenas ", para alguma definição de pequeno. provavelmente restauraria a consistência.
• E isso já aconteceu ed uma vez com Russel ' s Paradoxo. (Exceto que eu não ' não sei que a teoria dos conjuntos de Cantor ' era comumente considerada uma boa base para toda a matemática da época como ZF [C] é agora.)

1 + 1 = 2 é uma verdade necessária — aproximadamente, uma declaração que é verdadeira em todos os mundos possíveis. Sua pergunta, portanto, está pedindo condicionais contrafactuais verdadeiras com antecedentes impossíveis. Às vezes, eles são chamados de contra-possíveis (por exemplo, seção 5.1 aqui ).

A visão tradicional costumava ser essa todas essas contradições são trivialmente verdadeiras. De acordo com esta visão, “se um mais um não fossem dois, então q ” seria verdadeiro para q arbitrário. Mais recentemente, vários filósofos argumentaram que dar sentido à ciência e ao raciocínio cotidiano requer uma semântica para os contraditórios que não envolve trivialmente sua verdade. Consulte as referências a esse debate na última entrada do SEP vinculada ao item acima.

Em qualquer caso, fique tranquilo, um mais um é necessariamente igual a dois.

Comentários

• " em todos os mundos possíveis ". Isso é discutível. Pode haver um mundo que podemos ' t entender e até mesmo imaginar, uma vez que ' são as leis lógicas (e aritméticas, se existirem) são completamente diferentes.
• @ rus9384 o consenso entre os teóricos que trabalham neste tópico é que verdades lógicas são necessárias. Assumindo aqui que o OP não está interessado em contestar a verdade dos axiomas de Peano, então 1 + 1 = 2, que decorre desses axiomas, é necessário. Na construção do mundo possível por necessidade, ser necessário significa apenas ser verdadeiro em todos os mundos possíveis. Como, como você disse, às vezes precisamos raciocinar sobre estados de coisas impossíveis, algumas teorias funcionam com a noção de mundo impossível exatamente para esse propósito.
• Então, esse mundo é impossível, porque não podemos ' pensar nele? Pessoas cegas podem ' não ver, mas isso ' não é o problema. Existem cores que outros animais percebem que não ' perceber (a menos que a tecnologia avance o suficiente). É assim que nosso senso de lógica não permite a percepção de outros sistemas lógicos. E não podemos ' ter certeza de que os axiomas de Peano realmente funcionam em nosso mundo. Mesmo 1 + 1 = 2 pode ser contestado no nível quântico.
• Bem, vamos ' s dizer o seguinte: possibilidade é uma noção útil, pois nem todo poço A frase formada no indicativo representa um possível estado de coisas. Pegue uma frase que expresse uma daquelas coisinhas impossíveis. Como devemos raciocinar sobre eles? Alguns dizem: postulando mundos extras nos quais per impossibile tais coisas são verdadeiras.
• @ rus9384 Eu não ' não penso 1+ 1 = 2 pode ser contestado em qualquer nível. O que você pode contestar é que os axiomas de Peano modelam bem o mundo no nível quântico. Isso não ' torna 1 + 1 = 2 não verdadeiro, dados os axiomas de Peano.

A prova deve ter sido realizada em algum tipo de sistema formal, caso contrário, não é tanto uma prova quanto um argumento persuasivo. Portanto, temos uma prova em algum sistema do enunciado 1 + 1! = 2.

Filósofos no assunto da lógica, e matemáticos, olhariam atentamente para os detalhes desta prova. Visto que todos os sistemas formais em que alguém está interessado provam o oposto desta afirmação, também provar esta afirmação demonstra que qualquer sistema usado, é inconsistente. Portanto, esse sistema não poderia mais ser usado para um trabalho sério. Portanto, os lógicos teriam aprendido algo extremamente importante sobre aquele sistema lógico específico, e eles gostaria de saber em quais outros sistemas a mesma técnica se mostrará inconsistente.

O universo não poderia ser “lançado no caos” a menos que se acreditasse em algum tipo de y it: mágico?) efeito pelo qual o movimento das estrelas na galáxia de Andrômeda é significativamente afetado pelas marcações que você faz em um pedaço de papel na Terra. Um solipsista pode, suponho, acreditar que o universo é sustentado apenas por sua crença pessoal na consistência lógica e, portanto, que o universo seria fundamentalmente alterado pela leitura dessa prova. A maioria das pessoas tem fé suficiente na existência de uma realidade externa, para não acreditar que o universo tem qualquer interesse nas provas que os humanos fazem ou não produzem.

Espero que os filósofos não se interessem por lógica e prova formal sistemas iriam principalmente ignorar o resultado, pelo menos até que os lógicos explicassem a eles exatamente em que condições eles (os não-lógicos) estão realmente usando o mesmo sistema defeituoso que prova 1 + 1! = 2 e, portanto, de que raciocínio eles precisam para parar de usar.

Claro que também depende até certo ponto do que você quer dizer com refutando que 1 + 1 = 2. Alguém pode imaginar uma “prova física” em vez de uma lógica formal. Se você quer dizer que alguém provou que pode colocar uma laranja em uma tigela vazia e, em seguida, colocar outra laranja na mesma tigela, e nenhuma outra laranja foi adicionada ou removida, e que a tigela agora contém um número de laranjas diferentes de 2, você pode dizer que eles provaram 1 + 1! = 2. Mas a expectativa de todos é que, na verdade, algum tipo de processo físico previamente desconhecido envolvendo laranjas esteja envolvido. Então, embora você tenha descoberto algo que realmente muda nossas noções sobre a natureza da realidade, não é porque a “equação mais fundamental” está logicamente errada, é porque laranjas (ou objetos físicos em geral) aparentemente não obedecem mais à aritmética e, portanto, a equação não é mais aplicável a eles. Naturalmente, isso seria extremamente preocupante, porque os humanos confiam o tempo todo em serem capazes de contar coisas, e então a sociedade humana pode muito bem ser jogada no caos.

Talvez seja relevante para a discussão Matemática inconsistente :

é o estudo de objetos matemáticos comuns, como conjuntos, números e funções, onde algumas [ ênfase adicionada ] contradições são permitidas.

E veja a discussão sobre Aritmética :

Uma aritmética inconsistente pode ser considerada uma alternativa ou variante na teoria padrão, como uma geometria não-euclidiana.

Os axiomas padrão da aritmética são Peano “se suas consequências – a teoria padrão da aritmética – são chamadas de PA . O modelo padrão de aritmética é N = {0, 1, 2, …} , zero e seus sucessores.

Os modelos não padrão consistentes são todos ex tensões do modelo padrão, modelos contendo objetos extras. Modelos inconsistentes de aritmética são o dual natural, onde o modelo padrão é em si uma extensão de uma estrutura mais básica, que também torna todas as sentenças corretas verdadeiras.

A aritmética inconsistente foi investigada pela primeira vez por Robert Meyer em 1970 “s. Lá ele pegou a lógica paraconsistente R e adicionou a ela axiomas que regem o sucessor, adição, multiplicação e indução, dando ao sistema R #.

Em 1975, Meyer provou que sua aritêmica não é trivial, porque R # tem modelos. Mais notavelmente, R # tem modelos finitos com um domínio de dois elementos {0, 1} , com a função sucessora movendo-se em um círculo muito estreito sobre os elementos.

Esses modelos tornam todos os teoremas de R # verdadeiros, mas mantêm equações como 0 = 1 apenas falso.

E daí? Talvez possamos sobreviver a um (limitado?) quantidade de inconsistência .

---

Mas considere este pensamento h-experimento, baseado em um exemplo intuitivo derivado da análise Graham Priest da estrutura geral dos modelos de aritmética inconsistente:

imagine o modelo padrão da aritmética, até um elemento inconsistente

n = n + 1 .

Este n é suspeito de ser muito , número muito grande [ ênfase adicionada ], " sem realidade física ou significado psicológico. " Dependendo do seu gosto, é o maior número finito ou o menos inconsistente. Além disso, imaginamos que para j, k > n , temos j = k .

Se no modelo clássico j ≠ k , então isso também é verdade; portanto, temos uma inconsistência, j = k e j ≠ k . Qualquer fato verdadeiro para números maiores que n é verdadeiro para n também, porque depois de n , todos os números são idênticos a n .

Nenhum fato do modelo consistente é perdido.

Mas agora considere o caso de que n é muito, muito grande, mas não " sem significado psicológico " e imagine sua conta bancária somando uma quantia de n USD (ou GBP ou qualquer outro).

A partir desse momento, a conta bancária não crescerá mais, sem qualquer " interrupção " nas leis usuais da aritmética.

Podemos considerá-lo um caso de " o universo seja lançado no caos " ?

teorema de Gödel diz aproximadamente que qualquer sistema matemático suficientemente útil é incompleto ou contraditório, ou seja, existem afirmações que não podem ser provadas ou refutadas, ou existem afirmações que podem ser provadas tanto verdadeiras quanto falsas.

Há muitas afirmações que não fomos capazes de provar verdadeiras ou falsas (mas isso pode ser porque não fomos inteligentes o suficiente), e nenhuma contradição foi provada (mas também pode ser porque nós não eram inteligentes o suficiente), portanto, não é inconcebível que “1 + 1 ≠ 2” pudesse ser provado. 1 + 1 = 2 seria então simultaneamente verdadeiro e falso.

O que aconteceria?Muitos palavrões entre os matemáticos aconteceriam. Haveria muitas discussões sobre como podemos ignorar esse fato e ficar com matemática útil. O universo não mudaria.

Considerando a questão: “1 + 1 = 2” não pode e nunca será refutado (o que significa que a prova, que não é muito mais do que simples aplicação de axiomas, está provada estar incorreto). O que é remotamente possível é que além da prova de que é verdadeiro, também pode haver uma prova de que é falso.

Matemática e / ou ciências iriam melhorar.

Os matemáticos procuram e usam padrões para formular novas conjecturas; eles resolvem a verdade ou falsidade de conjecturas por meio de provas matemáticas ( da wikipedia ). Podemos argumentar que 1 + 1 = 2 deriva da definição, não da prova que torna a questão discutível ou mal formulada. Mas sua questão ainda é válida em um sentido mais amplo. Uma prova matemática pode estar errada. Já aconteceu. Esta questão matemática do overflow está cheia de provas históricas e conjeturas que não são corretas. Quando tal erro for descoberto, não coisa que quebra o universo acontece. Simplesmente deixamos de estar errados e acertamos, melhoramos nosso conhecimento da matemática.

Então, digamos que estamos trabalhando com axiomas que não incluem 1 + 1 = 2. E que chegamos a 1 + 1 = 2 por meio do raciocínio matemático e estabelecemos uma prova matemática para isso. E digamos, para fins de argumentação, mais tarde descobriremos que tal prova está errada, na verdade 1 + 1 = 3. Não, isso não jogaria o universo no caos. O universo era o que era antes de os humanos chegarem a o conceito de 1 + 1 = 2 (ou assim eu suponho, eu não estava realmente lá para observá-lo, mas temos muitas evidências boas que nos ajudam a saber como era). E toda vez que uma prova matemática foi provada incorreta, o universo não foi lançado no caos. O que mudou foi a nossa compreensão da matemática. É razoável supor que seria o mesmo para 1 + 1 = 3.

Há uma coisa que seria jogada no caos. Matemáticos . Agora que sabemos que 1 + 1 = 2 é falso, toda prova que depende dele é falha. Falha, não exatamente errada. As afirmações validadas por provas que dependem de 1 + 1 = 2 ainda podem ser verdadeiras, mas as provas antigas não serviria para estabelecer essa verdade. Muito material precisaria ser revisado e reescrito, muita discussão se seguiria. Mas sairíamos mais sábios do no caos.

E quanto às teorias científicas que dependem de 1 + 1 = 2 ?. Como descrito em outra resposta para esta pergunta. Não, isso não esmagaria o universo inteiro em uma polpa subatômica em uma ordem bastante curta. O universo era o que era antes de descobrirmos 1 + 1 = 3 e continuaria a ser (presumo, visto que isso aconteceu para outras provas refutadas). Já que teríamos descoberto que as antigas teorias científicas não explicam adequadamente o universo, modelos melhores seriam desenvolvidos.

Se tais coisas elementares são postas em dúvida; então, a fortiori são coisas muito menos elementares, como as etapas de raciocínio necessárias para provar que um e um não somam dois. Portanto, seria razoável duvidar de tal prova. Na verdade, eu ignoraria a prova – junto com a dúzia ou mais de outras afirmações incríveis que encontro todos os dias – como (eu suspeito) faria com a maioria das outras pessoas.

Como resultado, eu esperaria que a prova têm tanto efeito no mundo quanto uma nova demonstração da trissecção do ângulo euclidiano (como já foi apresentado muitas vezes antes). Ou seja, ocuparia temporariamente as relativamente poucas pessoas que optaram por olhar para ele.

Resposta curta: Sim. Se você pudesse provar que uma afirmação tão elementar e aparentemente óbvia é falsa, isso colocaria em questão uma grande parte do que pensamos que sabemos sobre matemática, e provavelmente muitas outras coisas sobre o universo.

E daí? A menos que você tenha alguma evidência de que essa afirmação é falsa, é “uma hipotética inútil. Na verdade, eu tive muitas conversas em que alguém me apresentou alguma hipótese sobre um assunto complexo, como” E se fosse provado que esta política política que você apóia não “funciona?”, ou “E se Deus ordenasse que você fizesse algo mal?”, etc. E minha resposta geralmente é: “Não acho que essa situação hipotética que você descreve seja provável de acontecer.” E se alguém provar que 1 + 1 = 2 é falso? “

Em um sentido matemático estrito, não vejo como você pode provar que 1 + 1 = 2 é falso porque é verdadeiro por definição. a definição de “2” é “1 + 1”. Pelo menos foi isso que me ensinaram nas aulas de teoria dos números. Dada a complexidade da matemática moderna, provavelmente existem outras definições em outros ramos. Mas você não pode provar que uma definição é falsa. É verdade por … definição.

Nada aconteceria com a realidade – ela permaneceria como está. No entanto, exigiríamos então uma mudança em nossa teoria da contagem, que repercutiria em outras teorias matemáticas baseadas na contagem. Uma vez que esta equação da aritmética é efetivamente uma definição de dois (ver, por exemplo, a construção da aritmética em sistemas de axiomas matemáticos), uma prova de que esta equação está errada significaria que não podemos validamente adicionar um e um ( ou mais precisamente, qualquer sistema de axioma que nos permite adicionar um e um é logicamente inconsistente). Isso exigiria que formulássemos sistemas de axiomas alternativos da matemática que evitassem a inconsistência. A realidade continuaria funcionando normalmente enquanto tentávamos descobrir isso.

Você não pode “refutar um axioma e os axiomas de Peano “ afirmam que 1 + 1 = 2.

Troca de contexto, na lógica booleana + significa outra coisa e 1 + 1 = 1.

Comentários

• Eu ' tenho quase certeza de que ' s lógica circular. você basicamente disse que ' é um axioma porque ' está em uma lista de axiomas.
• @ Ruadhan2300 Os axiomas de Peano são os axiomas usuais da lógica. Você pode considerá-lo dogmático, mas é tão trivial quanto " Todo número tem um sucessor. "
• Não negar que os axiomas de Peano são definitivamente uma fonte altamente confiável, mas " ' é verdadeiro porque ' s true " ainda é um argumento estranho para se fazer.