O que é um potencial?

Potencial elétrico e energia potencial elétrica são dois conceitos diferentes, mas estão intimamente relacionados um ao outro. Considere uma carga elétrica $ q_1 $ em algum ponto $ P $ perto da carga $ q_2 $ (suponha que as cargas tenham sinais opostos).
Agora, se liberarmos a carga $ q_1 $ em $ P $, ela começa a se mover em direção cobra $ q_2 $ e, portanto, tem energia cinética. A energia não pode aparecer por mágica (não há almoço grátis), então de onde ela vem? Provém da energia potencial elétrica $ U $ associada à força elétrica atrativa “conservadora” entre as duas chages. Para contabilizar a energia potencial $ U $, definimos um potencial elétrico $ V_2 $ que é configurado no ponto $ P $ pela carga $ q_2 $.

O potencial elétrico existe independentemente de $ q_1 $ estar no ponto $ P $. Se escolhermos colocar a carga $ q_1 $ lá, a energia potencial das duas cargas deve então cobrar $ q_1 $ e esse potencial elétrico pré-existente $ V_2 $ de modo que:
$$ U = q_1V_2 $$
PS Você pode usar o mesmo argumento se considerar a mudança $ q_2 $, nesse caso a energia potencial é a mesma e é dado por: $$ U = q_2V_1 $$

Na linguagem do cálculo vetorial:

A palavra potencial é geralmente usada para denotar uma função que, quando diferenciada de uma maneira especial, fornece um campo vetorial. Esses campos vetoriais que surgem de potenciais são chamados de conservadores . Dado um campo vetorial $ \ vec F $, as seguintes condições são equivalentes:

1. $ \ nabla \ times \ vec F = 0 $
2. $ \ vec F = – \ nabla \ phi $
3. $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = 0 $ para qualquer circuito fechado $ C $ (daí o nome “conservador”)

A função $ \ phi $ que aparece em $ (2) $ é chamada de potencial de $ \ vec F. $ Portanto, qualquer campo vetorial irrotacional pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial.

Em eletromagnetismo especificamente, a lei de Faraday nos diz que $ \ nabla \ times \ vec E = – \ frac {\ partial \ vec B} {\ partial t} $. Para campos magnéticos que não variam com o tempo (eletrostática) obtemos que $ \ nabla \ times \ vec E = 0 $ e, portanto, $ \ vec E = – \ nabla V $ onde $ V $ é o potencial de $ \ vec E $. Isso é exatamente o que chamamos de potencial elétrico ou “voltagem” se você não for físico. No caso da eletrodinâmica em que $ \ frac {\ partial \ vec B} {\ partial t} \ neq 0 $ uma noção de potencial elétrico ainda existe, pois podemos quebrar o campo elétrico na soma de um campo irrotacional e um campo solenoidal (isso é chamado de teorema de Helmholtz). Podemos então usar as equações de Maxwell para obter que $ \ vec E = – \ nabla V- \ frac {\ partial \ vec A} {\ partial t} $ onde $ V $ é o mesmo potencial elétrico e $ \ vec A $ é um campo vetorial que chamamos de potencial vetorial .

O caso da gravidade é análogo. Se $ \ vec g $ é um campo gravitacional irrotacional (que é sempre o caso na gravidade newtoniana) então $ \ vec g = – \ nabla \ phi $ onde $ \ phi $ é o potencial gravitacional. Isto está intimamente relacionado à energia potencial gravitacional em que uma massa $ m $ colocada no campo gravitacional $ \ vec g $ terá energia potencial $ U = m \ phi $.

Comentários

• +1 para a resposta detalhada. No entanto, condições 1. e 3 . não são equivalentes em geral. É possível ter um campo vetorial tal que $ \ vec \ nabla \ times \ vec F = 0 $ e $ \ oint \ vec F \ cdot d \ vec l \ neq 0 $. Veja para instância Por que este campo vetorial não tem ondulações? .
• @Diracology Bom argumento. Devemos exigir que $ \ vec F $ n ou diverge em alguma área delimitada por $ C $. Em geral, assumindo que 1. é verdadeiro, temos que $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = \ int \ int_S \ nabla \ times \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec A = \ int \ int_S 0 \ cdot \ text {d} \ vec A = 0 $ onde $ S $ é alguma superfície com limite $ C $ e a primeira igualdade é por Stoke ' teorema s. Claramente, se $ \ vec F $ diverge em $ S $, encontraremos alguns problemas com essas igualdades.