O que é uma integral de caminho? [fechado]

Matematicamente, uma integral de caminho é uma generalização de uma integrante. Em integrais $ N $ -dimensionais usuais, integra-se $$ \ int dx_1 dx_2 \ dots dx_N $$ sobre um subespaço de $ {\ mathbb R} ^ N $, um integral $ N $ -dimensional. Uma integral de caminho é uma integral de dimensão infinita $$ \ int {\ mathcal D} f (y) \, Z [f (y)] $$ sobre todas as funções possíveis $ f (y) $ de uma variável $ y $, que pode ser um número real ou um vetor. Os valores das funções $ f (0) $, $ f (0,1) $, $ f (0,2) $ etc. desempenham o mesmo papel que as variáveis $ x_1 $, $ x_2 $ etc. na integral multidimensional usual .

Como o índice $ i $ de $ x_i $ estava assumindo valores no conjunto finito $ 1,2, \ dots N $, e agora ele foi substituído pela variável contínua $ y $, a integral do caminho é uma integral de dimensão infinita.

Matemáticos rigorosos veem muitos problemas que impedem alguém de definir a integral de caminho de dimensão infinita usando a teoria da medida. Mas os físicos sabem que integrais semelhantes podem ser tratadas. Existem algumas “divergências ultravioleta” etc. que alguém experimenta ao tentar calculá-las, mas elas podem ser tratadas. Em essência, deseja-se usar todas as regras naturais que se aplicam às integrais de dimensão finita. Por exemplo, as integrais (de caminho) de uma soma de duas funções são a soma de duas integrais (de caminho) e assim por diante.

Duas aplicações mais importantes de integrais de caminho em física estão na abordagem de Feynman à mecânica quântica, especialmente a teoria quântica de campos; e mecânica estatística.

Na mecânica estatística (clássica), deseja-se calcular a soma da partição $$ Z = \ sum_C \ exp (- \ beta E_c) $$ sobre todas as configurações $ c $ do sistema físico. Mas como as configurações são frequentemente rotuladas por funções inteiras $ f (y) $ – infinitos valores em todos os valores permitidos do argumento $ y $ – a soma não é “t realmente um” soma”. Não é nem mesmo uma integral de dimensão finita. É uma integral de caminho.

Na mecânica quântica, as amplitudes de probabilidade complexas etc. são calculadas como $$ {\ mathcal A} _ {fi} = \ int {\ mathcal D} \ phi (y) \, \ exp (iS [\ phi (y)] / \ hbar) $$ ou seja, como a integral do caminho sobre todas as configurações das variáveis $ \ phi (y) $ etc. O integrando é uma fase – um número cujo valor absoluto é um – e o ângulo de fase depende da ação clássica avaliada a partir do histórico possível $ \ phi (y) $. Os estados inicial e final $ i, f $ são incorporados pela integração sobre aquelas configurações nos “tempos intermediários” que obedecem às condições de contorno apropriadas.

Quase toda a teoria quântica de campos pode ser expressa como um cálculo de algumas integrais de caminho. Nesse sentido, aprender “tudo” sobre uma integral de caminho é equivalente a aprender quase toda a mecânica quântica e a teoria quântica de campos, o que pode exigir entre um semestre e 10 anos de estudo intenso, dependendo de quão profundamente você deseja ir. Certamente não pode ser coberto por uma resposta de tamanho permitido neste servidor.

O cálculo das integrais de caminho com o integrante gaussiano, ou seja, $ \ exp ({\ rm bilinear}) $, talvez com polinômio prefatores nas variáveis de integração, é talvez o exemplo mais importante ou “mais simples” de uma integral de caminho não trivial que realmente precisamos na física.

Na mecânica quântica, a integral de caminho representa a fórmula final explícita para qualquer amplitude de probabilidade. A amplitude de qualquer transição do estado $ | i \ rangle $ para o estado $ | f \ rangle $ pode ser expressa diretamente como uma integral de caminho, e a probabilidade é o valor absoluto da amplitude de probabilidade ao quadrado. Tudo que a mecânica quântica permite calcular reduções a essas probabilidades – portanto, a integral do caminho representa “tudo” na mecânica quântica. (Este parágrafo foi postado originalmente como um comentário meu, e o usuário que propôs esta edição tinha um bom motivo para fazê-lo.)

Comentários

• +1, mas eu não ' diria os valores das funções, $ f (0), f (1) $ e assim por diante desempenham o papel de $ x_1, x_2 $ etc. Uma vez que o funcional mapeia funções inteiras em números, ' é um função inteira $ f $ que substitui o papel de um valor de $ x_1, x_2, $ etc.
• Eu não ' não entendo, @JamalS, que é uma forma muito diplomática de dizer que acho que você não ' não entende. 😉 Existe apenas uma função inteira $ f $, mas existem muitas variáveis $ x_1, x_2 $. A função carrega ainda mais (infinitamente vezes mais) informações do que vários números $ x_1, \ dots, x_N $. Em sua última frase, qual é a conjunção entre $ x_1, x_2 $? Se for ' s " ou ", então ' está errado porque é preciso especificar todos os valores de todos $ x_i $ para falar sobre o integrando. Se ' s " e ", então OK, mas você está apenas tentando para obscurecer o fato de que o caminho em. é multidimensional.
• Minha objeção é apenas à analogia que você afirma entre o caso dimensional finito e a integral do caminho. A maneira como ' o escreveu, você ' está dizendo os valores da função $ f $ em pontos diferentes " desempenham a mesma função que as variáveis $ x_1, x_2 $ etc. " Agora, eu concordo, há ' s apenas uma função $ f $, e estamos somando todas as funções possíveis. Portanto, meu ponto é, ' são as diferentes funções que são análogas à soma de diferentes valores de uma variável escalar, $ x $. Não ' não vejo como você ' foi capaz de extrapolar, acho que apenas funções suaves contribuem com meu único comentário …
• Eu apenas escrevi que $ \ int D \ phi (y) $ pode ser definido como o limite contínuo da integral multidimensional $ \ int \ dots d \ phi (-0,02) d \ phi (-0,01 ) d \ phi (0) d \ phi (0,01) d \ phi (0,02) \ dots $ por $ 0,01 $ enviado a zero. Eu não ' não acredito que possa haver algo controverso sobre essa afirmação. É ' é realmente a essência da resposta. Se você apenas disser que " é uma integral sobre todos os valores de uma função em qualquer lugar ", você não está se movendo por um ípsilon para responder a pergunta pelo OP e explicando o que uma " integral sobre funções " realmente é. Uma integral, no sentido da integral pré-caminho, é sempre finito-dim.
• Caro @TAbraham, ela representa a fórmula final explícita para qualquer amplitude de probabilidade. A amplitude de qualquer transição do estado " i " para o estado " f " pode ser expressa diretamente como uma integral de caminho e a probabilidade é o valor absoluto da amplitude da probabilidade ao quadrado. Tudo o que a mecânica quântica permite calcular se resume a essas probabilidades – portanto, a integral do caminho representa " tudo " na mecânica quântica.