Estou lutando para entender o conceito de variância assintótica. O contexto é o processamento geofísico de séries temporais com métodos robustos sendo empregados.
Métodos com um ponto de quebra muito alto geralmente têm uma eficiência relativa assintótica menor na distribuição gaussiana do que LS. Isso significa que quanto maior a robustez do estimador, maior a variância assintótica. Para obter as mesmas incertezas de parâmetro pelo procedimento robusto, são necessárias mais medições.
Alguém pode explicar isso?
Comentários
- Não está claro qual é a sua confusão sobre a " variação assintótica " por dizer. Você parece estar confuso com o conceito de Eficiência Relativa Assintótica, e não de Variância Assintótica.
- @Bey os dois estão intimamente relacionados, uma vez que o A.R.E. é uma razão de variâncias assintóticas. (Também acho que você quer dizer " per se " lá.)
- @Glen_b sim, quero dizer per se, e sim, eles estão muito relacionados, mas é claro, no terreno dos métodos gaussianos, não robustos, robustos métodos requerem mais amostras. Eu queria esclarecer o que é contra-intuitivo, mas vejo que a resposta é aceita, então Matt consegui resolver o problema.
- Eficiência relativa assintótica .
Resposta
Um estimador robusto é aquele que não muda ou muda muito pouco quando novos dados são introduzidos ou suposições são violadas. Por exemplo, a mediana é um estimador mais robusto do que a média porque se você adicionar uma observação relativamente grande ao seu conjunto de dados, sua mediana mudará muito pouco, enquanto sua média mudará muito mais.
Ao ajustar um modelo de regressão linear, obtemos estimativas de parâmetros e erros padrão associados de nossas estimativas. Uma das premissas do modelo de regressão linear é a igualdade de variância – ou seja, independentemente do valor de $ x $, os erros serão distribuídos com média $ 0 $ e desvio padrão $ \ sigma $. No caso em que esta suposição seja violada, podemos preferir usar erros padrão robustos que são geralmente erros padrão maiores que serão responsáveis por qualquer violação de nossa suposição de igualdade de variâncias. (Essa violação é conhecida como heterocedasticidade.)
Quando usamos erros padrão robustos, nossos erros padrão (e de forma equivalente, nossas variâncias) são geralmente maiores do que seriam se não o fizéssemos “Não use erros padrão robustos. Vamos denotar o erro padrão robusto como $ \ frac {\ sigma_R} {\ sqrt {n}} $ e o erro padrão” típico “(não robusto) como $ \ frac {\ sigma_T } {\ sqrt {n}} $. Deve ficar claro que, quando o erro padrão robusto é maior, $ \ frac {\ sigma_R} {\ sqrt {n}} > \ frac {\ sigma_T} {\ sqrt { n}} $. Também deve ficar claro que, assintoticamente, o erro padrão robusto será maior do que o erro padrão “típico” porque podemos cancelar o $ \ sqrt {n} $ em ambos os lados.
Vamos diga que nosso erro padrão “típico” é $ k = \ frac {\ sigma_T} {\ sqrt {n}} $. Então $ k < \ frac {\ sigma_R} {\ sqrt {n}} $. Para que o erro padrão robusto seja igual a $ k $, devemos tornar $ n $ maior (também conhecido como coletar mais observações / amostra).
Espero que faça sentido!
EDITAR: Veja o link incluído e os comentários abaixo para uma breve discussão sobre quando os erros padrão robustos irão na verdade, ser maior do que os erros padrão “típicos” (não robustos). http://chrisauld.com/2012/10/31/the-intuition-of-robust-standard-errors/
Comentários
- É possível construir casos em que os erros padrão robustos são realmente menores do que os padrões!
- Christoph, vou editar meu resposta apropriadamente . Eu ' estou interessado em saber quando um $ \ sigma $ maior se correlaciona com um $ (x_i- \ bar {x}) $ menor porque isso parece contra-intuitivo e, embora não seja impossível, extremamente improvável. Parece que você deixa implícito em sua resposta – que é possível construir um caso de tal forma que isso ocorra – mas seria interessante ver com que frequência isso surge em dados reais e não em casos patológicos.