Estou tentando usar a segunda lei de Kepler para encontrar a duração da órbita de Vênus. Estou assumindo órbitas circulares (usando Terra e Vênus, excentricidade tão baixa). Aqui está meu processo:
Supondo que o raio da órbita da Terra seja de 150 milhões de km, a área varrida em um dia é $ \ frac {1} {365,25} \ times \ pi \ times 150 ^ 2 \ approx 194 \ text {milhões de km} ^ 2 $ .
Vênus deve varrer a mesma área ao mesmo tempo. Supondo um orbital raio de 108 milhões de km para Vênus e usando $ A = \ frac {\ theta} {360} \ pi r ^ 2 $ , podemos encontrar o ângulo central para o setor varrido, ou seja, o ângulo percorrido em um dia terrestre:
$ 194 = \ frac {\ theta} {360} \ pi \ times108 ^ 2 \ implica \ theta = 1,90 ^ {\ circ} $ por dia da Terra.
Portanto, o período orbital deve ser $ \ frac {360} {1,90 } \ approx 189 $ dias terrestres.
Claro, o período orbital de Vênus é $ 224,7 $ dias terrestres. A diferença entre 189 e 224,7 parece estar bem além do erro introduzido por minha suposição de órbitas circulares.
O que estou fazendo de errado?
Sei que talvez seja uma maneira tortuosa de fazer esse cálculo. Meu objetivo é escrever um exercício de matemática que use a área dos setores de uma forma significativa.
Comentários
Resposta
Leis de Kepler afirmam que um planeta varre áreas iguais em tempos iguais à medida que se move em sua órbita elíptica. Não afirma que planetas diferentes varrerão a mesma área.
A lei das “áreas iguais” pode ser derivada do “conservação do momento angular”. Na verdade, dA / dt = L / (2m) (onde A é a área, L é o momento angular em é a massa (reduzida)).
Planetas diferentes varrerão áreas diferentes. Para calcular o período, você usou a terceira lei de Kepler: $ T ^ 2 = ka ^ 3 $ (T = período orbital, a = semieixo maior). Se , por conveniência você pega a em AU e T em anos terrestres, então a constante $ k = 1 $ .
Para Vênus, a = 0,72 . então, $ T = \ sqrt {0,72 ^ 3} = 0,61 $ ou cerca de 223 dias.
Hiperfísica tem uma seção sobre Leis de Kepler
+1por mostrar todo o trabalho e fazer uma pergunta muito clara!