O que queremos dizer com o termo “ Número de coisas ”?

O livro é muito antigo: 2ª ed. 1903; 1ª ed 1890.

Como você pode ver na nota de rodapé da página 131, Cantor e Dedekind são mencionados como “contribuições interessantes para a literatura do assunto” …

Portanto, você não pode esperar que os conceitos introduzidos no início sem definição, usados como primitivos a fim de “elucidar” o seguinte tratamento, possam ser exatamente traduzidos em noções teóricas de conjuntos modernas (isto é, após 1930). p>

Eu acho que:

grupo deve significar uma coleção finita de objetos (coisas)

e que:

número de coisas em um grupo é “claramente” (da discussão) o equivalente à cardinalidade moderna (restrita a coleções finitas ) e é chamada de “propriedade” de a coleção (grupo).

Minha interpretação é que as coisas são “individuais”, concretas ou abstratas (se houver). Claro, é fácil pensar para eles como objetos concretos, como peebles em um bolso ou soldado em um pelotão.

Um pelotão é um grupo de soldados e número de coisas no pelotão é o número de soldados individuais que o formam.

Esta interpretação faz sentido também no que diz respeito à definição de adição que se segue (ver CoolHandLouis “s resposta).

Por favor, observe que aqui grupo tem o significado” genérico “de coleção ou agregado; não tem nada a ver com o termo técnico” grupo “de teoria do grupo .

Quando “abstraímos” os “caracteres” das coisas individuais (ou seja, formamos suas propriedades individuais, como cor, tamanho, forma para uma coleção de bolas) e da ordem dos objetos na coleção (é o mesmo para o conceito de conjunto “moderno”: {A, B, C} é “o mesmo” definido como {C, B, A} ) o que obtemos é o “número” das coisas no grupo (o número dos membros da coleção).

Remembe r que a notação original de Cantor para representar o número cardinal do conjunto A era uma “barra dupla” sobre A:

o símbolo para um conjunto anotado com uma única barra superior sobre A indicado A despojado de qualquer estrutura além da ordem, portanto, ele representou o tipo de pedido do conjunto. Uma barra superior dupla sobre A indicava a retirada da ordem do conjunto e, portanto, indicava o número cardinal do conjunto.

Comentários

• O que queremos dizer com o termo Número de coisas em inglês geral?
• @Anupam – desculpe, mas eu ‘ não sou um nativo falante de inglês. Eu ‘ pesquisei no Cambridge Dictionary online : não há paráfrase direta: a locução mais semelhante I ‘ encontramos ” vários de um tipo específico de coisa: decidi não ir, por vários motivos. ” Devemos usar a locução ‘ da Fine como um ” termo técnico “.
• Acho que ” group ” não é o ” definir ” de nossa matemática moderna. Por outro lado, um conjunto é uma coleção de objetos abstratos ” grupo ” é uma coleção de coisas (que não são abstratas). A teoria dos conjuntos não tem nada a ver com minha pergunta.
• Eu não ‘ não li este trabalho, mas como alguém com mais experiência em matemática, a frase ” grupo deve significar uma coleção finita de objetos (coisas) ” me faz estremecer.
• @JamesKingsbery – mas ” group ” aqui não tem a intenção de ser teoria dos grupos ; o significado é ” colelction ” ou ” agregado ” de objetos individuais.

Prefácio

Eu forneci dois respostas a esta pergunta:

• A outra resposta é a melhor resposta e é minha resposta principal. Sugere que o Sr. Fine está se referindo à teoria ingênua dos conjuntos.

• Forneci esta resposta porque o OP insistiu em pensar em {A, A, A} como contendo “três elementos distintos “e postou uma recompensa. Não houve absolutamente nenhum OP convincente do contrário, então por que não concordar e receber a recompensa? 🙂

  As duas respostas se complementam, pois mostram como se pode descrever os mesmos fenômenos matemáticos mudando axiomas, definições e regras em lugares diferentes. Você diz TOE MAY TOE Eu digo TOE MAH TOE. Acontece que esta resposta contém uma” prova matemática “fofa de que o Sr. Fine pensava que {A, A, A} representa três elementos distintos”. Mas sinta-se à vontade para ler uma atitude irônica neste responda.

Anupam,

Você está certo, Sr. Fine considera {A, A, A} = 3.

Estou enviando outra resposta porque descobri isso, mas queria deixar minha antiga resposta pelo bem da história. Você está certo! Henry Burchard Fine quis dizer três coisas concretas, então {A, A, A} é contado como três. Sua afirmação não pode ser um erro porque é sua premissa primária em substanciar toda sua aritmética numérica – a base de todo o seu livro – começando com a adição:

Adição: Se dois ou mais grupos de coisas forem reunidos de modo a formar um único grupo, o símbolo numérico deste grupo é chamado de soma dos números dos grupos separados.

Se a soma for s e o números dos grupos separados abc etc, respectivamente, a relação entre eles é simbolicamente expressa pela equação s = a + b + c + etc onde o grupo de soma é suposto ser formado pela junção do segundo grupo ao qual b pertence ao primeiro o terceiro grupo ao qual c pertence ao grupo resultante e assim por diante

A operação de encontrar s quando abc etc são conhecidos é a adição. A adição é uma contagem abreviada.

6 Adição Se dois ou mais grupos das coisas sejam reunidas de modo a formar um único grupo, o símbolo numérico deste grupo é chamado de soma dos números dos grupos separados Se a soma for s e os números dos grupos separados abc etc, respectivamente, a relação entre eles é simbolicamente expressa pela equação sab c + etc, onde o grupo de soma deve ser formado pela junção do segundo grupo ao qual b pertence ao primeiro, o terceiro grupo ao qual c pertence ao grupo resultante e assim por diante A operação de encontrar s quando abc etc. são conhecidos por adição A adição é a contagem abreviada

• Dado a, b, c são “grupos / conjuntos”,

• If two or more groups of things be brought together so as to form a single group...
  Seja d = a U b U c

• ...the numeral symbol of this group is called the sum of the numbers of the separate groups)
  Soma (d) = Soma (a) + Soma (b) + Soma (c)

• Agora defina os grupos / conjuntos da seguinte maneira:

  • a = {A}
  • b = {A}
  • c = {A}

• Soma (d ) = Soma (a) + Soma (b) + Soma (c) = 1 + 1 + 1 = 3

• d = a U b U c

• Portanto, o operador de união “do Sr. Fine” deve estar criando d = {A, A, A} e soma ({A, A, A}) = 3.

• Se o Sr. Fine “s” operador de união “era uma notação de conjunto normal, então d = {A} e não há como alguém obter” 3 “disso.

Portanto, o Sr. Fine considera {A, A, A} = 3.

Este é o caso quando A representa objetos concretos distintos, como 3 moedas no bolso.

Comentários

• Não ‘ não acho que esta seja a conclusão certa. Acho que Fine apenas assume que, ao ” reunir os grupos ” para fins de soma, o ” groups ” são disjuntos.
• Você está assumindo a letra $ A $ como ” objeto abstrato ” ou ” objeto concreto “. Se $ A $ for assumido como um ” objeto abstrato ” então $ a $, $ b $ e $ c $ todos terão $ 1 , 1,1 $ número de coisas neles, mas $ d $ não terá $ 3 $ número de coisas porque o termo Número de coisas é definido apenas para ” grupos ” tendo coisas distintas . Se você está assumindo $ ” A ” $ como um ” objeto concreto ” então está tudo bem.
• +1 Em seu comentário acima de Anupam!Anupam, essa é provavelmente a melhor pergunta que você ‘ fez nos comentários! Bravo e +1 para essa pergunta! Toda essa minha resposta depende do que eu quis dizer! Isso significa que você não pode ter certeza se isso está correto ou não, a menos que eu diga se eu quis dizer ” abstract ” ou ” concreto “. Excelente! Eu adorei! Acho que isso se assemelha à pergunta original sobre a intenção do que o Sr. Fine quis dizer.
• ” A ” é um objeto concreto.

O trabalho que A primeira coisa que vem à mente é a Filosofia da Aritmética de Edmund Husserl. Ele aborda com alguns detalhes a dificuldade óbvia com o número: para contar as coisas contadas devem ser diferentes (portanto, pode haver mais de um) e o mesmo (você está contando certas coisas). Quando eu digo “três maçãs”, elas são todas iguais em um sentido (são maçãs) e são todas diferentes em outro (há três delas, distinguidas por seu relação se nada mais)

Há “multiplicidade” e “unidade” simultâneas. Isso leva à questão “o mesmo de que maneira e diferente de que maneira”.

A coisa de que mais me lembro neste livro é a discussão sobre diferença e distinção. É algo que vale a pena falar. Existem dois termos que podem ser contrastados, “diferente”, “distinto”.

• Para distinguir entre duas coisas , devemos fazer um julgamento
• Diferente é uma condição necessária, mas não suficiente para que as coisas sejam distinguidas

Na matemática tudo que é diferente é distinto e se considera uma totalidade de coisas distintas. Isso evita a parte complicada: o julgamento humano.

Esse julgamento costuma ser fácil para nós. É claro que percebemos muitas coisas como distintas e que o mundo “se cristaliza” em objetos. Embora essa percepção nem sempre seja tudo o que é necessário para distinguir entre as coisas, na maioria das situações do dia-a-dia é o suficiente.É apenas nos casos extremos em que precisamos ir além de nossa aparência de objetos separados no espaço e usar algum outro modo de julgamento.

A capacidade de distinguir entre as coisas é o principal tópico do campo científico da psicofísica, que realmente começou por volta de 1890 e continua até hoje. Tem havido muitos escritos filosóficos sobre esta capacidade humana também, na verdade, eu “sou da opinião que é a principal questão da filosofia (outros podem não concordar).

Para responder à sua pergunta diretamente: a matemática exclui o julgamento humano, portanto, ao construir um sistema formal, devemos começar após o julgamento ter sido feito – fazemos isso assumindo que seus objetos são todos distinguíveis uns dos outros. Se os objetos em matemática não são distinguíveis, eles são considerados iguais. Isso não é verdade para coisas reais, que podem ser diferentes, mas não distintas.

Nota: Os detalhes de como a aritmética se torna abstraída dos julgamentos humanos são abordados no restante do livro de Husserl. Não sou realmente capaz de articulá-lo aqui. Acho que pode haver alguns problemas com isso à luz de pesquisas científicas recentes “numeridade” . Não sou claro ainda.

Comentários

• O problema de ” One-over-many ” data de Platão; consulte o Argumento do terceiro homem , mas nos dá poucas informações sobre o que são os números e como eles apoiam o ” processo humano div id = “2b22048b23”>

Prefácio

Eu forneci duas respostas para esta pergunta:

• Esta resposta é a melhor resposta e sugere que o Sr. Fine está se referindo à teoria ingênua dos conjuntos. Além disso, não há grande tentativa de rigor aqui, e o Sr. Fine simplesmente pula para o tópico de seu interesse. Esta resposta é minha resposta principal.

• Eu forneci outra resposta em este mesmo tópico porque o OP insistiu em pensar em {A, A, A} como contendo “três elementos distintos” e postou uma recompensa. Não houve absolutamente nenhum OP convincente do contrário, então por que não concordar e receber a recompensa? 🙂

  As duas respostas se complementam, pois mostram como se pode descrever os mesmos fenômenos matemáticos mudando axiomas, definições e regras em lugares diferentes. Você diz TOE MAY TOE Eu digo TOE MAH TOE. Acontece que, a outra resposta contém uma “prova matemática” fofa de que O pensamento do Sr. Fine {A, A, A} representa três elementos distintos. Pode ser interessante ver como eu defendi tal proposição.

1. O livro está fazendo referência à Teoria dos Conjuntos Ingênuos

O seguinte link do Google Livros é mais fácil de consultar: The Number-system of Algebra: Tratado Teoricamente e Historicamente “ (Henry Burchard Fine, Copyright 1890, publicado em 1907). A seguir está o trecho em questão deste livro de 1907:

I. O INTEIRO POSITIVO E AS LEIS QUE REGULAM A ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO DE INTEGRANTES POSITIVOS

1 Número. Dizemos de certas coisas distintas que eles formam um grupo (por grupo queremos dizer grupo finito que é aquele que não pode ser trazido em uma correspondência de um para um 2 com qualquer parte de si mesmo) quando os tornamos coletivamente um único objeto de nossa atenção.

O número de coisas em um grupo é aquela propriedade do grupo que permanece inalterada durante cada mudança no grupo que o faz não destrua os separatenos s das coisas umas das outras ou sua separação comum de todas as outras coisas.

Essas mudanças podem ser mudanças nas características das coisas ou em sua disposição dentro do grupo. Mais uma vez, as mudanças de organização podem ser mudanças na ordem das coisas ou na maneira como estão associadas umas às outras em grupos menores.

Podemos, portanto, dizer: O número de coisas em qualquer grupo de coisas distintas é independente dos caracteres dessas coisas, da ordem em que podem ser organizadas no grupo e da maneira como podem ser associadas umas às outras em grupos menores.

2 Igualdade numérica. O número de coisas em quaisquer dois grupos de coisas distintas é o mesmo quando para cada coisa no primeiro grupo há uma no segundo e reciprocamente para cada coisa no segundo grupo um em primeiro. Assim, o número de letras nos dois grupos A, B, C; D, E, F são o mesmo … [Sr. Fine continua a falar sobre correspondência 1 para 1 – CoolHandLouis] …

É claro para qualquer um que faça um curso de nível inicial “Teoria dos conjuntos 101” que este livro está descrevendo os fundamentos da teoria dos conjuntos. Podemos dizer com segurança que as referências do Sr. Fine a um “grupo” são exatamente e precisamente o que agora é conhecido como “conjunto”, e a “elementos” quando ele estava descrevendo “coisas distintas”. (À parte, este a postagem inteira na verdade se refere ao que é chamado de “Teoria dos conjuntos ingênua”, mas isso é irrelevante para esta pergunta / resposta.)

Dado que o Sr. Fine está se referindo à teoria dos conjuntos, e seu livro foi escrito em 1907 , minha primeira sugestão é que você esqueça completamente o Sr. Fine e procure no Google algumas boas referências para iniciante” teoria dos conjuntos “ e também veja alguns dos vídeos curtos sobre o mesmo assunto.

Nota de rodapé” do Sr. Fine. Por grupo, queremos dizer grupo finito que é aquele que não pode ser levado a uma correspondência com qualquer parte de si mesmo “é uma evidência muito forte de que ele está falando sobre a teoria dos conjuntos (ingênua). Ele está obviamente evitando conjuntos infinitos e, com base na história da Teoria dos Conjuntos, que pode ter sido para pol razões práticas. Não há razão para ele ser contencioso nesse ponto de sua carreira, e todos os motivos para jogar pelo seguro, especialmente com este livro.

Mas essa é uma meta-resposta. Aqui está uma resposta real:

2. Resposta à pergunta – introdução

Primeiro, vamos padronizar o resto da linguagem desta postagem para o século 21: Um conjunto é uma coleção de elementos distintos. Portanto, não falemos mais de “coisas” ou “grupos”. E não importa se eles são concretos ou abstratos, reais ou imaginários.

Alterar os nomes desses termos não em de qualquer forma, altere qualquer um dos problemas que você está encontrando. As novas palavras referem-se exatamente à mesma coisa que o Sr. Fine estava dizendo. É tudo uma questão de definição, e vou definir tudo à medida que avançarmos para mostrar a diferença que está causando confusão.

3. Como você está olhando “distinto” e “importante”

Em primeiro lugar, de certa forma, você está certo. Dentro do seu próprio entendimento pessoal / sistema de crenças / definições de “distinto”, “coleção”, “conjunto de coisas” e “grupo”, e como alguém lida com eles, você é “concludi ng “que” você está certo “. E nem eu nem qualquer matemático pode argumentar contra o seu “direito” neste sentido. Com base em suas definições e métodos de pensamento, você está absolutamente certo. Mas isso é apenas o começo; isso não resolve a confusão.

Vamos criar / inventar um sistema no qual você esteja “certo”. (Lembre-se de que poderíamos muito bem dizer “grupos” e “coisas”, mas estou padronizando para “conjuntos” e “elementos”. As palavras usadas não fazem qualquer diferença contanto que as definamos.

Regras da teoria dos conjuntos não padrão de acordo com o pôster original

• Um conjunto é uma coleção de elementos.
• Cada elemento é representado por um ou mais símbolos (alfanuméricos).
• O tamanho do conjunto é o número total de elementos.
• OP “Definição de distinto: Cada elemento é considerado” distinto “se aparecer em uma posição diferente, então {A , A} contém dois elementos distintos porque eles estão em posições diferentes (posição um e posição dois).

Pergunta: Quantos elementos existem em {A, A, A} de acordo com o acima das regras não padronizadas da Ori poster final? Resposta: 3.

4. Como a Teoria dos Conjuntos de Matemática (Livro do Sr. Fine) define “Distinto” e “Contagem”

Agora vamos considerar isso mais a partir da definição matemática padrão.

Regras matemáticas padrão da teoria dos conjuntos

• Um conjunto é um coleção de elementos distintos.
• Cada elemento é representado por um ou mais símbolos.
• O tamanho de um conjunto é o número total de elementos.
• Definir Teoria Definição de Distinto: Cada elemento é considerado “distinto” se puder ser determinado como diferente de todos os outros elementos. Quando representado por letras e palavras, a só se preocupa quanto à distinção se os elementos têm ou não nomes diferentes. Na matemática escrita, distintos = nomes diferentes.

Para o propósito desta resposta, algo com o mesmo nome não é distinto – refere-se à mesma coisa. Portanto, {A, A} é como dizer: {Índia, Índia}. Refere-se apenas a um país, não a dois países. Refere-se ao mesmo país duas vezes. Então, qual é a contagem? O único país ou as duas vezes em que é mencionado? Na teoria dos conjuntos, é o primeiro.

“Mas por quê?” você pode perguntar. De certa forma, você pode pensar nisso como completamente arbitrário. “É” por definição. (Mas é assim por um bom motivo; faz com que muitas outras coisas na teoria dos conjuntos funcionem bem, mas isso está além desta discussão). Então, você apenas tem que aceitar isso , assim como “temos que aceitar que você está certo com sua definição”.

Pergunta: Quantos países distintos existem na {França, França, França, França, Índia, Índia, Índia, Brasil, Brasil}? Resposta: 3 porque o conjunto se refere apenas a três lugares distintos = {França, Índia, Brasil}.

5. Moedas no seu bolso

É por este motivo e para simplificar, simplesmente adicionamos outra regra à Teoria dos Conjuntos:

• Nenhuma duplicata é permitida nos conjuntos.

Por quê? conjunto é como um “saco de coisas” (concreto ou abstrato). Por exemplo, vamos considerar quatro moedas em seu bolso esquerdo na segunda-feira. Digamos que não saibamos o que são. Então, nós os chamamos de C1, C2, C3, C4.

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = {C1, C2, C3, C4}

Dada essa ideia, faz não faz sentido se referir a isso como {C1, C1, C1, C2, C3, C4}. Por que se referir à primeira moeda três vezes? Já está no seu bolso. Só precisa ser consultado uma vez. Agora vamos atribuir alguns atributos às moedas:

• C1 = Tipo = Moeda; FaceValue = 0,01; Data = 1999; Peso = 2,4993399494 g; Condição = Menta
• C2 = Tipo = Moeda de um centavo; FaceValue = 0,01; Data = 1999; Peso = 2,4990044384 g; Condição = Bom
• C3 = Tipo = Níquel; FaceValue = 0,05; Data = 2002; Peso = 5.0002292833 g; Condição = Muito bom
• C4 = Tipo = Níquel; FaceValue = 0,05; Data = 2003; Peso = 5,0010022229 g; Condição = Muito bom

Agora que sabemos que dois deles são centavos, o conjunto de moedas em seu bolso ainda é o mesmo:

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = { C1, C2, C3, C4}

Mas agora podemos perguntar sobre quantos tipos diferentes (distintos) de moedas existem no seu bolso:

• Monday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Vamos mover as moedas C2, C3 e C4 para o seu bolso direito na terça-feira. O que há no seu bolso na quarta-feira?

• Wednesday_InLeftPocket_AllCoins = {C1}

• Wednesday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny}

• Wednesday_InRightPocket_AllCoins = {C2, C3, C4}

• Wednesday_InRightPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Comentários

• Depois de estudar o conceito de token de tipo Duvido da precisão lógica do livro de Fine ‘. Estou construindo uma nova pergunta relacionada à nota de rodapé dada no ” grupo $ {} ^ 1 $ “.
• Não, espere, por favor para todos ‘ pelo amor de … espere um pouco. não é outra questão, trata-se apenas de uma questão definida. Dê aos respondentes algum tempo para responder à minha resposta e às suas preocupações. ” Grupo ” no livro Fine ‘ é exatamente o conjunto da matemática moderna. Você ‘ sairá por outra tangente inteiramente se levar isso para outra pergunta.
• ” Grupo ” in fine ‘ o livro não é exatamente o mesmo que a matemática moderna. Desta vez, estou certo.
• Ok, o que é a sua prova disso. Dediquei muito tempo a esta resposta, por favor, continue comigo só um pouco, ok?
• Minha opinião pessoal é que os questionadores, com o serviço gratuito de um respondente, devem votar positivamente em todas as respostas que forneça algum valor, mesmo que ‘ não seja a resposta certa. É ‘ uma maneira de dizer: ” Obrigado por contribuir para o processo de encontrar a resposta. ” Da mesma forma, acredito que quem responde a uma pergunta deve votar a favor da pergunta; certamente se eles gastaram tempo respondendo, deve ter algum valor. Seja generoso com votos. São símbolos abstratos e gratuitos de apreciação / valor. Deixe os outros votarem positivamente / negativamente com base em méritos mais restritos. ‘ é sua escolha, mas eu não ‘ votaria contra esse detalhe técnico.

Q1: Como $ A $ e $ A $ não são distintos, apenas $ A $ e $ B $ são distintos (a menos que você seja rabulista e diferencie “a primeira gota de tinta formando $ A $” de “a segunda gota de tinta formando $ A $”, mas isso torna impossível mencionar corretamente qualquer um desses $ A $ s como a letra concreta (borrão de tinta) $ A $ usada para mencionar uma letra específica (borrão de tinta) $ A $ é automaticamente diferente daquele borrão de tinta, ao contrário da intenção. todos esses casos, falamos da “ideia” de $ A $, ou seja, qualquer instância de “$ A $” no texto refere-se ao mesmo objeto, o qual deve ser pensado fora do texto (para torná-lo possível no primeiro lugar para usar “$ A $” para falar sobre $ A $). Somente neste sentido $ A = A $ (pois como bolhas de concreto de tintas no papel elas têm posições diferentes, tornando-as diferentes) e os dois $ A $ s em “$ A, B, A $” carecem de distinção. Seu grupo é, portanto, o mesmo que tem os elementos $ A, B $ (ou $ B, A $ se preferir), ou seja, o número é $ 2 $.

P2: Eles ainda não são idênticos como objetos. Por exemplo. Você pode colocar a primeira e a segunda em seu armário enquanto passa a terceira com quente; você certamente notaria isso se estivesse de fato passando a ferro a quente a mesma camisa que está vestindo. As camisas são indistinguíveis pela propriedade “cor” (como eram antes daquelas já indistinguíveis por exemplo pela propriedade “tamanho”, suponho), mas ainda se distinguem pela propriedade “posição espacial”. Curiosamente, isso nos deixa com o problema de termos dificuldades em identificar as camisas de hoje com as de ontem. É preciso pensar um pouco o que significa “distinto” (em oposição a perhas a “distinguível”) e “mesma coisa”.

Q3: A distinção de elementos (que pode permitir camisas de cores idênticas) é essencial, já que você não deseja contar o mesmo objeto novamente (isso o tornaria um homem rico com apenas uma moeda no bolso). Uma abordagem totalmente (?) Diferente é definir “número” como a classe de equivalência de conjuntos (e parece que o “grupo” de Fine é o que chamaríamos de “conjunto” hoje) em “equinumerabilidade” (ou seja, existência de uma bijeção entre os conjuntos). Desta forma, o conceito de 2 ou dualidade corresponde a (ou de fato é) a classe de todos os conjuntos $ X $ de tal forma que existe uma forma de bijeção $ X $ para qualquer conjunto específico de (o que chamamos ) dois elementos, como $ \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \} \} $. Se você tem horror a classes (adequadas), pode-se notar que cada classe de equivalência contém um conjunto “simples” especial, um ordinal (pelo menos no caso finito, e em geral sob a suposição do axioma de escolha).

Comentários

• O que queremos dizer com número de coisas ? por que dizemos em Q1 que o grupo G: {A, A, B} tem 2 números de coisas, por que não 3 como deveria ser porque há 3 números de coisas no grupo G , mesmo as duas coisas no grupo G são iguais, mas elas existem e devemos contá-las o. Usamos o termo número de coisas de maneira diferente em matemática do que na vida normal? o conceito primitivo de contagem não se preocupa com a distinção de coisas diferentes em um grupo enquanto calcula o número de coisas em um grupo. Por que em matemática fizemos este tipo de definição incomum do termo não. das coisas .
• Senhor, editei minha pergunta para ser mais direto. Você poderia pelo menos explicar o que queremos dizer com Número de coisas .

“Número de coisas” em inglês geral: Não há informações suficientes no termo sozinho para dar uma resposta.

O problema é o termo “coisas”. Em inglês geral, isso se refere a alguns arranjo já definido, por exemplo, número de itens da mesma cor ou número de ovos em uma caixa, ou número do dígito “3” que há em um número de telefone.

Sem isso, o significado de “número das coisas “é múltiplo – é” o número de objetos em um contêiner de qualquer tipo / tamanho, classificados por qualquer método que você queira imaginar.

Comentários

• Suponha que um grupo {A, A, A} esteja lá. Eu pergunto quantas letras há neste grupo ? Qual deve ser a resposta.
• Por favor, consulte Tipos e tokens
• @MauroALLEGRANZA o link que você tem dado é bastante interessante. Eles parecem implicar que ” Type ” = ” Objeto abstrato ” e ” Token ” = ” Concreto “. No livro Me.Fine no início diz: ” Dizemos de certas coisas distintas que elas formam um grupo ” ” Coisa ” = ” concreto ” = ” Token ” estou certo?
• @Mauro, desculpe, mas vocês estão ao contrário. A palavra ” coisa ” não deriva ‘ do significado de ” Filosofia de tipo / token “. A definição de google.com/search?q=definition+thing inclui ” uma entidade ou conceito abstrato: ‘ luto e depressão não são a mesma coisa ‘. sinônimos: característica, qualidade, atributo, propriedade, traço, característica, ponto, aspecto, faceta, peculiaridade …
• @Mauro, também, ” um finito coleção ” não implica coisas concretas. Aqui estão algumas coleções finitas de coisas / elementos abstratos: {1,2,3,4,5}, {amor, guerra, paz}. Mais do que provável, ele evitou conjuntos infinitos porque eram altamente controversos na época: en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor’ s_theory .

Eu sugiro que você compare a definição de Fine com a seguinte discussão, de RL Goodstein, Teoria dos números recursivos (1957) :

A pergunta “Qual é a natureza de uma entidade matemática?” é aquela que interessa pensadores há mais de dois mil anos e tem se mostrado muito difícil de responder. Mesmo a primeira e mais importante dessas entidades, a natural número, tem a ilusão de uma vontade-do-fogo quando tentamos defini-lo.

Uma das fontes da dificuldade em dizer o que são os números é que não há nada para o qual possamos apontar no mundo que nos rodeia quando procuramos uma definição de número. O número sete, por exemplo, não é uma coleção particular de sete objetos, visto que, se fosse, nenhuma outra coleção poderia ter sete membros; pois se identificarmos a propriedade de ser sete com a propriedade de ser uma coleção particular, então ser sete é uma propriedade que nenhuma outra coleção pode ter. Uma tentativa mais razoável de definir o número sete seria dizer que a propriedade de ser sete é a propriedade que todas as coleções de sete objetos têm em comum. A dificuldade dessa definição, entretanto, é dizer exatamente o que todas as coleções de sete objetos realmente têm em comum (mesmo se fingirmos que algum dia poderemos nos familiarizar com todas as coleções de sete objetos). Certamente o número de uma coleção não é uma propriedade dela no sentido de que a cor de uma porta é uma propriedade da porta, pois podemos mudar a cor de uma porta, mas não podemos mudar o número de uma coleção sem mudar a coleção em si. Faz muito sentido dizer que uma porta que antes era vermelha e agora é verde é a mesma porta, mas é um absurdo dizer de uma coleção de sete contas que é a mesma coleção de uma coleção de oito contas. Se o número de uma coleção é uma propriedade de uma coleção, então é uma propriedade definidora da coleção, uma característica essencial.

Isso, no entanto, não nos deixa mais perto de uma resposta à nossa pergunta “O que todas as coleções de sete objetos têm em comum?” Uma boa maneira de fazer progresso com uma pergunta desse tipo é nos perguntar “Como sabemos que uma coleção tem sete membros?” porque a resposta a essa pergunta certamente deve trazer à luz algo que coleções de sete objetos têm em comum. Uma resposta óbvia é que descobrimos o número de uma coleção contando a coleção, mas essa resposta não parece nos ajudar porque, quando contamos uma coleção, parecemos não fazer mais do que “rotular” cada membro da coleção com um número. (Pense em uma linha de soldados sendo numerados.) Claramente, não fornece uma definição de número dizer que o número é uma propriedade de uma coleção que é encontrada atribuindo números aos membros da coleção.

Rotular cada membro de uma coleção com um número, como parece que fazemos na contagem, é, na verdade, estabelecer uma correspondência entre os membros de duas coleções, os objetos a serem contados e os números naturais . Ao contar, por exemplo, uma coleção de sete objetos, estabelecemos uma correspondência entre os objetos contados e os números de um a sete. Cada objeto recebe um número único e cada número (de um a sete) é atribuído a algum objeto da coleção. Se dissermos que duas coleções são semelhantes quando cada uma tem um único associado na outra, pode-se dizer que contar uma coleção determina uma coleção de números semelhantes à coleção contada.

A fraqueza da definição reside nesta noção de correspondência. Como sabemos quando dois elementos correspondem?As xícaras e pires em uma coleção de xícaras em seus pires têm uma correspondência óbvia, mas qual é a correspondência entre, digamos, os planetas e as Musas? Não adianta dizer que, mesmo que não haja correspondência patente entre os planetas e as musas, podemos facilmente estabelecer uma, pois como sabemos isso e, o que é mais importante, que tipo de correspondência permitimos? Ao definir o número em termos de semelhança, meramente substituímos o conceito elusivo de número pelo conceito igualmente elusivo de correspondência.

Alguns matemáticos tentaram escapar da dificuldade em definir números, identificando números com numerais. O número um é identificado com o numeral 1, o número dois com o numeral 11, o número três com 111 e assim por diante. Mas essa tentativa falha assim que se percebe que as propriedades dos numerais não são propriedades dos números. Os numerais podem ser azuis ou vermelhos, impressos ou manuscritos, perdidos e achados, mas não faz sentido atribuir essas propriedades aos números e, inversamente, os números podem ser pares ou ímpares, primos ou compostos, mas não são propriedades dos numerais.

A antítese de “número” e “numeral” é comum na linguagem, e talvez seu exemplo mais familiar seja encontrado no par de termos “proposição” e “sentença”. A sentença é alguma representação física da proposição, mas não pode ser identificada com a proposição, uma vez que sentenças diferentes (em línguas diferentes, por exemplo) podem expressar a mesma proposição. [ver tipos e tokens ]

O jogo de xadrez, como tem sido freqüentemente observado, oferece um excelente paralelo com a matemática (ou, nesse caso, com a própria linguagem). Aos numerais correspondem as peças de xadrez e, às operações da aritmética, os movimentos do jogo.

Aqui, finalmente, encontramos a resposta para o problema da natureza dos números. Vemos, em primeiro lugar, que para uma compreensão do significado dos números devemos olhar para o “jogo” que os números jogam, isto é, a aritmética. Os números, um, dois, três e assim por diante, são personagens no jogo da aritmética, as peças que tocam esses personagens são os numerais e o que faz um sinal o numeral de um número particular é a parte que ele desempenha, ou como podemos dizer em uma forma de palavras mais adequada ao contexto, o que constitui um signo o signo de um determinado número são as regras de transformação do signo. Segue-se, portanto, que o objeto de nosso estudo é NÃO O NÚMERO EM SI MESMO, MAS AS REGRAS DE TRANSFORMAÇÃO DOS SINAIS DE NÚMERO .

Cruzamento, mas discutível …

Mais de 60 anos antes, Frege já havia criticado essa visão; ver Gottlob Frege, Leis Básicas da Aritmética (1893), nova tradução em inglês de Philip Ebert & Marcus Rossberg, Oxford UP 2013, página xiii:

[há uma] tendência generalizada de aceitar apenas o que pode ser sentido como sendo. […] agora os objetos da aritmética, os números, são imperceptíveis; como chegar a um acordo com isso? Muito simples! Declare os sinais numéricos como números. […] Ocasionalmente, parece que os signos de número são vistos como peças de xadrez, e as chamadas definições, como regras do jogo. Nesse caso, o signo nada designa, mas antes a própria coisa. Um pequeno detalhe é esquecido em tudo isso, é claro; a saber, que um pensamento é expresso por meio de “3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2”, enquanto uma configuração de peças de xadrez não diz nada.

Comentários

• Lembro-me da empolgação que senti na primeira vez que li a introdução de Goodstein ‘. Ele ‘ não é Frege, mas é ‘ ótimo obter uma declaração clara de uma visão, de modo que, se alguém discordar, possa diga exatamente com o quê.

Para esclarecer a definição de Fine “de ” número de coisas “, que é bastante diferente da forma ” moderna ” abordagem teórica dos conjuntos, acho que pode ser útil para se referir à tradição filosófica do empreicismo britânico do século XIX.

Em particular, o filósofo John Stuart Mill dedicou parte de seu trabalho Um sistema de lógica, raciocínio e indução (1843) à discussão dos fundamentos da aritmética.

Aqui estão algumas passagens, que – espero – podem esclarecer a definição de Fine:

Três seixos em duas parcelas separadas, e três seixos em um pacote, não causam a mesma impressão em nossos sentidos, – e a afirmação de que os mesmos seixos podem, por uma alteração de lugar e disposição, ser feitos para produzir um ou outro conjunto de sensações, embora um muito proposição familiar, não é idêntica. […]

Todas as verdades fundamentais dessa ciência [a ciência dos Números] repousam na evidência do sentido, – elas são provadas mostrando aos nossos olhos e nossos dedos que qualquer número de objetos, dez bolas, por exemplo, podem por separação e rearranjo exibir aos nossos sentidos todos os diferentes conjuntos de números cuja soma é igual a dez. ( CW VII, 256-57)

Assim, quando dizemos que o cubo de 12 é 1782, o que afirmamos é o seguinte: se, tendo um número suficiente de seixos ou de quaisquer outros objetos, os colocamos juntos em º O tipo particular de parcelas ou agregados chamados doze; e juntá-los em coleções semelhantes – e, finalmente, formar doze dessas parcelas maiores: o agregado assim formado será o que chamamos de 1728; a saber, aquele que (para tomar o mais familiar de seus modos de formação) pode ser feito pela junção do pacote chamado mil seixos, o pacote chamado setecentos seixos, o pacote chamado vinte seixos e o pacote chamado oito seixos. ( CW VII: 611-12)

A abordagem naturalística de Mill “s para os fundamentos de a aritmética é baseada nos ” ” processos básicos de junção e separação que dão origem e decomposição ” agrega ” de objetos físicos.

A visão empirista de Mill foi duramente criticada por Gottlob Frege em seu Die Grundlagen der Arithmetik ( The Foundations of Arithmetic ) (1884).

Para uma exposição da filosofia da matemática de Mill, consulte Philip Kitcher, Mill, mathematics, and the naturalist tradição , em John Skorupski (editor), The Cambridge Companion to Mill (1998), página 57 em diante.

Comentários

• Senhor, obrigado por esta outra resposta muito útil . Levará tempo para eu ler tantos textos relacionados (no momento, estou olhando os livros que você e outros mencionaram anteriormente). Existe um livro definitivo totalmente dedicado à história da aritmética ? Um livro que poderia explicar coisas a partir da história e, finalmente, passar a explicar como a aritmética moderna se estabeleceu. Um livro que explicaria todas as coisas relacionadas, ou seja, quem, como, quando e por que da aritmética. Em um mês, farei duas perguntas muito filosóficas (e técnicas) sobre aritmética. Devo falar com você.
• Sobre a história da ” moderna ” filosofia da aritmética , de Kant em diante (mas JSMill não é discutido) você pode ver Michael Potter, Razão ‘ s Parentes mais próximos: Filosofias da Aritmética de Kant a Carnap (2002).

No livro, o “número de coisas” é efetivamente distinto de sua representação. Suponha que você tenha pessoas que deseja convidar para uma festa. Qual é o número de convidados – coisas que você está convidando?

Se você estiver convidando 5 amigos, vamos chamá-los de John, Fred, Mary, Jill e Barney. Existem 5 amigos convidados – coisas que você está convidando para a festa.

Mas agora, e se a festa for um baile de máscaras e eles estiverem todos disfarçados. John está vestido como um fantasma, Fred como um goblin, Mary como uma bruxa, Jill como uma abóbora e Barney como um dinossauro. Só porque eles agora são fantasmas, goblins, bruxas, abóbora e dinossauros não muda o número de convidados-amigos que você convidou para a festa. Suas características mudaram – eles não se parecem mais com seus amigos, parecem como os disfarces deles.

E se os 5 deles vierem vestidos como fantasmas indistinguíveis. Isso significa que dizemos que apenas um fantasma veio para a sua festa? Não, porque eles ainda podem ser distinguidos pelo seu espaço localidade, hora de chegada, altura, peso, cor da folha, etc.

E se eles usassem exatamente o mesmo traje e você nunca visse mais de um de cada vez – de forma que não houvesse características definidoras separando um amigo de outro. Você pode não ter certeza de quantas coisas de amigo-convidado você teve na sua festa. ESTA transformação destruiu a distinção que os separava antes disso, portanto, não é uma transformação válida para enumerar o número de coisas.

A ideia de “número de coisas” com respeito aos seus convites é especificamente propriedade do grupo, de forma que quaisquer alterações (relativização, renumeração, reordenação, mas NÃO duplicar, eliminar ou contando subconjuntos) que preservam a distinção dos elementos mantém essa propriedade. Não se preocupa se o valor dessa propriedade é ou não 1, 5 ou um milhão de bilhões, apenas que o “número de coisas” é um valor finito que mantém essa propriedade.

Com relação para o inglês simples, o número de coisas é apenas … o número de itens de interesse. Não pode ser mais simples do que isso, e por ser um conceito tão simples, é muito difícil escrever uma definição precisa que não cause problemas em possíveis expressões coloquiais.

Esta pergunta (e muitas das respostas, nesse caso) ignora o propósito da teoria matemática, que é tratar os axiomas como algo dado. Presumimos que temos uma noção de (por exemplo) distinção e, em seguida, exploramos as consequências de ter essa noção.

Em outras palavras, é impossível fazer a pergunta “Quantos elementos estão no conjunto $ \ { A, A, B \} $? “Sem primeiro fornecer axiomas sobre $ A $ e $ B $. De acordo com a sintaxe matemática padrão, devemos realmente fazer esta pergunta apenas após rotular novamente para $ \ {A, A”, B \} $ para evitar confusão, mas isso é uma questão de comunicação e praticidade, não dogma e certamente não algum tipo de verdade sobre conjuntos.

A matemática, nas palavras de Roberto Unger, é uma “exploração visionáriade um simulacro do mundo “. Se você discordar da visão de outra pessoa, tudo bem. Mas se você acha que tem um problema com a matemática em si, é provável que esteja gerando suas próprias contradições ao fazer mau uso da linguagem. Se você está claro sobre quais propriedades sua noção de distinção deve ter, então a teoria dos conjuntos se aplica , é apenas uma questão de como. Não está prescrevendo uma forma particular de distinção, mas sim explorando as semelhanças entre todas as formas de distinção.

Parece que a resposta à sua pergunta está altamente interligada ao que é “uma coisa”. Você deve estar ciente de que, por mais abstrata que seja uma pergunta, ela tem sido feita repetidamente na comunidade da física no contexto da teoria quântica de campos e os fundamentos da mecânica quântica (ver Paul Teller e Chris Isham, por exemplo). Uma das conclusões é que o conceito de uma coisa como uma essência à qual as propriedades “aderem” deve ser rejeitado. Isso é o que Teller descreve como o problema com o “formalismo do espaço de Hilbert do produto tensorial rotulado”, pois ele é incompatível com os comportamentos físicos que são realmente observados. Então, se você quiser uma definição universal de “número de coisas”, você não pode “evitar essas considerações sobre o que é uma coisa e sobre o que é distinguibilidade de um ponto de vista físico. (A menos que você queira uma definição que se aplique a um universo que não é nosso).

Só para dar um exemplo, digamos que você tenha um fóton em sua mão direita e um na esquerda. Você pode distingui-los referindo-se à mão em que estão. Portanto, o “número de maneiras de colocá-los no bolso” é 2 (primeiro o que está em sua mão esquerda, depois o que está em sua mão direita ou vice-versa) . No entanto, uma vez no bolso, eles se tornam fisicamente indistinguíveis e “o número de maneiras de tirá-los” é 1 (sai um, depois o outro).

Comentários

• No exemplo de fótons em um bolso que você deu, o ‘ re parece-me ser dois fótons. Sua identidade (esquerda / direita) é perdida (um, quem sabe qual, é o primeiro, o outro segundo). Ainda há ‘ dois deles, mesmo que você ‘ tenha perdido um pouco de informação. Os dados perdidos são de ” estando na propriedade ” esquerda / direita, que é n ‘ uma propriedade dos fótons em geral. Você parece estar dizendo que todas as propriedades são dispensáveis de maneira semelhante, mas não posso ‘ descobrir se você está dizendo que este é um problema intransponível para um ” definição universal de ‘ número de coisas ‘ “. Ou as coisas são contáveis independentemente?
• Oh, sim, sempre há 2 fótons ao redor. Eu ‘ estou falando sobre a consequência da perda de identidade em nossa capacidade de contagem, e isso é uma consequência da natureza de ‘ uma coisa ‘ como um fóton. O comportamento oposto ocorre com os férmions, que sempre devem ser distinguíveis e isso impede que você amontoe muitos no mesmo local (que é o princípio de exclusão de Pauli).Portanto, contar as coisas (como no exemplo) contando as maneiras como você pode reorganizá-las nem ‘ funciona sempre. Eu não ‘ não sei se este é um problema intransponível, mas certamente uma definição universal não pode ignorá-lo.