Onde está o teorema do índice Atiyah-Singer usado na física?

As equações de movimento, ou as equações de instantons, ou solitons, ou as equações de Einstein, ou praticamente qualquer equação da física, são equações diferenciais. Em muitos casos, estamos interessados no espaço de soluções de uma equação diferencial. Se escrevermos a equação diferencial total (possivelmente não linear) de interesse como $ L (u) = 0, $ podemos linearizar perto de uma solução $ u_0, $ ie escrever $ u = u_0 + v $ e expanda $ L (u_0 + v) = 0 + L ‘ | _ {u_0} (v) + … =: D (v) $ para construir uma equação linear $ D (v) = 0 $ no deslocamento $ v. $

Uma equação diferencial linear é como uma equação matricial. Lembre-se de que uma matriz $ n \ times m $ $ M $ é um mapa de $ R ^ n $ a $ R ^ m $, e $ dim (ker (M)) – dim (ker (M ^ *)) = nm , $ independente da matriz particular (ou transformação linear, mais geralmente). Esse número é chamado de “índice”. Em dimensões infinitas, esses números não são geralmente finitos, mas frequentemente (especialmente para equações diferenciais elípticas) eles são e dependem apenas de certas informações “globais” sobre os espaços nos quais atuam.

O teorema do índice informa qual é o índice de um operador diferencial linear ($ D, $ acima). Você pode usá-lo para calcular a dimensão do espaço de soluções para a equação $ L (u) = 0. $ (Quando o espaço de solução é uma variedade [outra história], a dimensão é a dimensão do espaço tangente, que a equação $ D (v) = 0 $ descreve.) Ele não diz a você qual o espaço real de soluções. Essa é uma pergunta difícil e não linear.

Comentários

• Acho que ‘ é uma boa resposta matemática para físicos que não ‘ já sabem a afirmação do teorema do índice. Mas não consigo ver nenhum exemplo físico real. O que é uma pena, estou certo de que Eric deve conhecer muitos deles . Sei que as pessoas a usam na teoria das cordas o tempo todo. Mas não ‘ não sei o suficiente para fornecer uma resposta minha.
• O teorema do índice é muito geral e se aplica a todos os exemplos que citei (instantons, solitons, equações de Einstein ‘ s). Por exemplo, o espaço de módulos de $ SU (2) $ instantons nos quatro -sfera $ S ^ 4 $ ($ R ^ 4 $ com comportamento constante no infinito) com número instanton $ k $ é igual a $ 8k – 3 $ pelo teorema do índice.
• Bem, você disse ” quase todas as equações da física “, o que está em contradição direta com meu dia a dia observação 🙂 O que eu esperava eram alguns exemplos concretos como os que Steve deu. Ou algo como seu exemplo instanton (acho que você quis dizer $ S ^ 3 $ embora?). Eu adoraria ver mais desses, especialmente relacionados a alguma interpretação física. Agradecemos antecipadamente 🙂
• É verdade que praticamente qualquer equação na física é uma equação diferencial! Porém, nem todos levam a problemas de índice. (Eu quis dizer S ^ 4. Instantons são configurações de campo dependentes do tempo.) Um exemplo da teoria das cordas, cujos diagramas de Feynman são amplitudes QFT bidimensionais. Essa teoria de 2d campos descreve mapas de uma superfície a um espaço-tempo, e os instantons dessa teoria são mapas holomórficos. A dimensão do espaço de tais mapas é encontrada por uma fórmula de índice. Para um CY, esta dimensão é zero, o que significa que você pode contar soluções (isso está relacionado à teoria das cordas topológicas).
• +1 na boa resposta e menção aos instantons. Mas existe realmente uma aplicação para a equação de Einstein ‘ s? AFAIK, o teorema do índice é aplicável a operadores elípticos lineares …

Eric e outros deram boas respostas sobre por que se espera que o teorema do índice surja em vários sistemas físicos. Uma das primeiras e mais importantes aplicações é a resolução “t Hooft” do problema $ U (1) $. Isso se refere à falta de um nono bóson pseudo-Goldstone (como os píons e Kaons) no QCD que se esperaria ingenuamente da quebra da simetria quiral. A resolução tem duas partes. O primeiro é o fato de que o quiral $ U (1) $ é anômalo. A segunda é a constatação de que existem configurações de ação finita (instantons) que contribuem para funções de correlação envolvendo a divergência da corrente axial $ U (1) $. A análise depende fortemente do teorema do índice para o operador Dirac acoplado ao campo de medida $ SU (3) $ de QCD. Para uma explicação mais completa, veja S. Coleman “s Erice lectures” The uses of instantons.”Existem também aplicações importantes para a dualidade S de $ N = 4 $ SYM que envolvem o teorema do índice para o operador de Dirac em espaços de módulo monopolo.

Comentários

• Jeff, fique na linha! Acho que Physics Stack Exchange pode ser útil para a comunidade da física se for usado de forma tão ampla e sábia quanto o Math Overflow – por exemplo, por pessoas como você!
• Obrigado, Eric. Percebi que isso acabou de ser reiniciado. Espero que funcione. Há alguns caminhos a percorrer antes de se tornar a qualidade do MO.
• Certamente. Acho que há ‘ s agora um site em desenvolvimento (Theoretical Physics Stack Exchange) que terá como objetivo ser mais parecido com o Math Overflow, mas este tem a vantagem de existir.

Primeiro, deixe-me explicar a que o índice em questão se refere . Se a matemática ficar muito cheia de jargões, deixe-me saber nos comentários.

Em física, muitas vezes estamos interessados em espectro de vários operadores em alguns manifolds com os quais nos preocupamos. Ex: o operador Dirac no espaço-tempo 3 + 1. Em particular, a física de longa distância de baixa energia está contida nos modos zero (estados do solo).

Agora, o que o “índice” mede, para o operador de Dirac $ D $ e uma determinada variedade $ M $, é a diferença entre o número de modos zero para canhotos e o número de modos zero para destros. Mais tecnicamente:

$$ ind \, D = dim \, ker \, D – dim \, ker \, D ^ {+} $$

onde $ D $ é o operador em questão; $ ker \, D $ é o núcleo de $ D $ – o conjunto de estados que são aniquilados por $ D $; e $ ker \, D ^ {+} $ é o núcleo de seu adjunto. Então, como você pode ver, $ ind \, D $ conta a diferença entre as dimensionalidades desses dois espaços. Este número depende apenas da topologia de $ M $.

Em suma, o teorema ASI relaciona a topologia de uma variedade $ M $ aos modos zero ou estados fundamentais de um operador diferencial $ D $ agindo sobre $ M $. Esta é obviamente uma informação de relevância para os físicos.

Talvez outra pessoa possa elaborar mais sobre os aspectos físicos.

A melhor referência para este e outros tópicos de física matemática, na minha opinião, é Nakahara .

No caso de um Operador de Dirac, o índice é a dimensão em excesso (com sinal) do espaço dos modos de vácuo de uma quiralidade w / r / t a outra: ou seja, o número de estados “fantasmas” anômalos em uma teoria de campo quiral.

Anomalias surgem quando a correspondência de simetria clássica / quântica quebra sob renormalização (uma anomalia global pode ser responsável pela massa do quark em QCD; resolver a anomalia quiral local nas contas SM para quarks e léptons; resolvê-la na teoria das supercordas fixa o medidor grupo [para SO (32) ou E8 x E8], e a resolução de uma anomalia conformada fixa a dimensão do espaço-tempo e o conteúdo de férmions). Ao tentar transformar a teoria das cordas em física real, pergunta-se

• Ela pode explicar três gerações de férmions quirais?
• Ele pode explicar os resultados experimentais sobre o decaimento do próton?
• Ele pode explicar a pequenez da massa do elétron?
• Ele pode explicar [coisas sobre a constante cosmológica]?

e AST ajuda a responder a essas perguntas.