Os números são reais?

Considere a seguinte analogia. O que é uma galinha? As galinhas são reais?

Houve um tempo (na maioria dos lugares da Europa, pelo menos) em que essa pergunta teria parecido ainda mais estúpida do que agora. Todos sabiam exatamente o que era uma galinha. Mesmo um nobre rico teria apenas que caminhar cerca de quinze minutos e apontar para um exemplo de uma galinha. Foi uma parte vibrante e digna de nota da experiência diária de todos. O mesmo aconteceu com nossa experiência com números. Isso (aponte para uma caixa de seis ovos) é seis. Isso (aponte para uma maçã, e outra maçã que foi cortada ao meio e uma das metades removida) tem três metades. E assim por diante.

O fato de que você não pode simplesmente apontar para uma coleção de algo e dizer “ há três negativos “, “ há uma raiz quadrada de cinco ” ou “ há seis mais três -i “são a razão pela qual algumas pessoas que estão frustradas com essas ideias se sentem justificadas em dizer que não são” números reais. “É uma crítica justa, na verdade, e aponta para o fato de que nunca nos sentamos e fale sobre o que os números realmente devem ser. É claro que hoje em dia alguém também poderia passar a vida inteira sem ver uma galinha, e eles aceitam que existe um animal que está vagamente envolvido na criação dos ovos que às vezes comem no café da manhã. Certamente, para aqueles de nós que não cresceram perto de uma fazenda ou zoológico com galinhas, aceitamos a existência de galinhas como um artigo de fé por alguns anos. Da mesma forma, consideramos que existem “números” que não correspondem a coleções de coisas como uma ideia recebida.

Então, se os números não precisam corresponder a coleções das coisas, o que são? Bem, no caso de números irracionais (positivos), eles podem corresponder a comprimentos de linhas ou de áreas — a quantidades contínuas de algo, que é um boa generalização dos tamanhos das coleções. E números negativos podem corresponder a déficits ou diferenças de tais valores. E números complexos, er … bem, eles são … úteis para mecânica quântica e engenharia elétrica …e, hum, quatérnions também … Descobrimos que estendemos a definição de número de “ quantidade de ” para “ sendo útil para “, o que eu acho que é um importante notar.

Não há nenhum lugar óbvio onde devemos simplesmente parar. O fato de que os números complexos não podem mais ser ordenados (não importa os quatérnios, para os quais a multiplicação nem mesmo se desloca ) sugere que só porque algo resolve x ² + 1 = 0 não significa que é “um número (que os números complexos não são “números” em geral). Mas podemos dizer que só porque algo é um limite superior para uma sequência limitada de números, não é “um número (os números reais não são” todos os “números”, e a raiz quadrada de dois ou cinco em particular); ou que apenas porque algo é a diferença de dois números, não é “um número ( números negativos não são todos “números”); ou que apenas porque algo é uma proporção de dois números, n “t torná-lo um número ( números racionais positivos não são todos” números “). Mas isso exclui tudo, exceto os inteiros não negativos; e as pessoas historicamente até olham de soslaio para o zero. Você poderia até argumentar que um não é “um número, se argumentasse que por” um número “você quer dizer uma quantidade plural.

Portanto, é muito importante nos perguntarmos: o que é um número?

O que é uma galinha? É um pássaro pequeno que não voa muito bem. Mas não queremos incluir kiwis ou papagaios-do-mar como “galinhas”, então talvez devêssemos especificar que eles têm bico curto e não nadam bem. Mas e os faisões? Mesmo se conseguirmos isolar galinhas de todas as outras aves vivas por meio de definições, o que dizer dos ancestrais das galinhas que evoluíram para os modernos animais de fazenda? Em algum ponto, não havia galinhas, e então havia . Quando as coisas mudaram?

O problema com as galinhas, e também com os números, é que no final só temos definições para essas palavras por convenção, que são baseadas em exemplos . Aceitamos as galinhas modernas como “galinhas” e não aceitamos kiwis como “galinhas”. Da mesma forma, queremos incluir “seis” e provavelmente “três metades” e talvez “dois negativos” e “raiz quadrada de cinco” como números, mas não queremos incluir a função f :   ℤ → ℤ dado por f (x) = 3 x +2 como um número. Não é o que queremos pensar como um número, porque não pode “ser usado da maneira que queremos usar os números . Os números são ferramentas para entender o mundo .

Quais pássaros aceitamos como galinhas? Aqueles que se comportam de uma maneira particular e, em particular, que podemos entender de uma maneira particular. Seus ovos têm um sabor particular, sua carne tem um sabor particular e eles se comportam de de uma forma particular. Preocupamo-nos com a forma como agem e com o sabor, porque estamos interessados neles como características do ambiente com o qual iremos interagir (talvez para comê-los). O conceito de frango é algo que temos em desabafou para distinguir alguns animais de outros. Se não nos importássemos com a diferença entre uma galinha e um faisão, não teríamos idéias separadas para galinhas e faisões. (Só porque temos palavras diferentes para as coisas não as torna diferentes, mas significa que nos preocupamos com as diferenças que pensamos que elas têm.) O conceito de “frango” é uma ferramenta que usamos para entender alguns dos animais que conhecemos.

Da mesma forma, o conceito de “número” é uma ferramenta que usamos para entender as relações entre os objetos. Mas vai além do conceito de “número “em si: cada número é um conceito que usamos para distinguir de outros números. Raramente pensamos que existe apenas” um número “de algo, para denotar que existe mais do que zero ou um ou dois; nos preocupamos com qual número. A diferença entre seis ovos e sete ovos é importante para nós.

Mas há outra diferença com as galinhas: podemos ver galinhas pequenas ou galinhas grandes (um único tipo de galinha com propriedades diferentes), mas nunca vemos ovo seis ou maçã seis (um único rt de número com atributos diferentes). Vemos seis ovos ou seis maçãs. Nesse caso, o número não desempenha o papel de substantivo, mas de adjetivo . Portanto, toda essa conversa de “galinhas”, que são objetos, tem sido enganosa. O que deveríamos estar pensando é algo como: “O vermelho é real”? “É grande real”?

Bem, as cores são reais e os tamanhos são reais, mas o que torna uma cor “vermelha”? Podemos inventar uma definição arbitrária com base nas frequências da luz, mas então faremos com que a definição da cor dependa dos números, o que não é uma maneira de resolver o problema de como entender os números. No final, novamente acabamos tendo convenções baseadas em exemplos.Mas certamente as coisas para as quais chamamos de números devem existir ? Que realmente existe um número três? Vemos isso o tempo todo, é claro. Da mesma forma, deve existir uma cor vermelha, não deve?

A cor vermelha depende do nosso aparelho sensorial e da maneira como nosso cérebro processa os sinais enviados a nós por nosso olhos. A cor vermelha é uma experiência emergente, resultante da forma como o nosso cérebro e órgãos sensoriais estão estruturados. A noção da cor vermelha é uma forma útil de compreender o nosso mundo, com base na forma como o vivemos. Não há uma forma razoável de negar que haja coisas que brilham luz vermelha ( luz que percebemos como vermelha ); coisas que refletem luz vermelha ( que refletem preferencialmente a luz que percebemos como vermelha ); e que a luz vermelha cai aproximadamente dentro de algumas frequências de luz ( construímos todo um aparato teórico para descrever o eletromagnetismo que é útil o suficiente para construir torres de rádio, pára-raios, máquinas de raio-x, máquinas de RMN e lasers, e em esta teoria, a luz que tendemos a perceber como vermelha afeta certos aparatos fotossensíveis de uma maneira específica, e essas previsões são confirmadas por experimentos ). O conceito de “vermelho” é uma maneira extremamente útil e robusta de descrever como vivenciamos o mundo .

Você pode até dizer que o mundo é descrito de forma “irracionalmente eficaz” pelo noção de cor; não há nenhuma razão particular para que tanto de nossa experiência possa ser descrita em termos de cor. Não falamos todos os dias sobre o cheiro do aço, o som do plástico, o gosto do granito. De alguma forma, o mundo é moldado de tal forma que nosso modo dominante de percepção sensorial passa a ser extremamente útil para descrever grande parte do mundo. Certamente a luz colorida, exatamente na faixa de frequências que podemos ver com nossos olhos, deve desempenhar um papel fundamental no funcionamento do universo! Certamente “vermelho” tem uma realidade fundamental além de nossa própria existência; certamente a cor vermelha tem uma natureza imutável, até platônica!

Eu discordo. A cor vermelha é de fato uma coisa muito útil de se sentir e entender, porque é como percebemos alguns fenômenos físicos úteis. Mas se percebêssemos um espectro um tanto mais amplo que incluísse o que chamamos de infravermelho, isso também seria útil; por que não? Por motivos acidentais, suponho. Talvez em climas quentes haja muito ruído nessas frequências; embora isso não explique por que algumas espécies de cobras podem senti-los enquanto não podemos. A razão pela qual podemos perceber o vermelho entre outras cores é em última análise porque foi um acidente útil .

Se o número três nos parece ter um existência extremamente vital, isso pode ser porque o conceito de número é útil para ser formulado ao reagir ao mundo ao nosso redor, e tanto que está conectado em nossos cérebros em um nível muito profundo. Isso significa que realmente existem quantidades de coisas no mundo, e que algumas noções de “quantidade” são tão simples e importantes que você pode desenvolver criaturas que acreditam que a noção de quantidade é tão vitalmente importante, que pode existir independentemente de qualquer coisa para ter uma quantidade de .

Os inteiros não negativos — os “números naturais” — são apenas o que chamamos de nossas ferramentas mais simples para medir a quantidade. Mas eles são nossas ferramentas , estendidas muito além de nossa capacidade de apreender quantidade imediatamente, chegando a dezenas, centenas e bilhões — assim como temos ferramentas para nos ajudam a sentir o infravermelho, embora não possamos percebê-lo diretamente.

Números são conceitos. Eles são nossas ferramentas para nos ajudar a entender coisas úteis sobre o mundo. Eles são ferramentas muito, muito muito úteis; e versáteis o suficiente para que tenhamos todos os motivos para acreditar que podem ser usados para descrever qualquer padrão que possamos compreender (e muitos que não podemos compreender), independentemente de esse padrão ser alguma vez realizado no mundo material. Mas não há mais razão para acreditar que números (como três) existem independentemente, assim como não há para pensar que existe um Vermelho Platônico que existe independentemente de qualquer objeto vermelho.

Comentários

• Uma resposta excelente. +1
• o que significa ‘ real ‘? … sem essa definição, tudo é mumbo-jumbo;)
• Essa resposta não é ‘ t tão informativa quanto parece; ele requer um monte de questões na filosofia da matemática. Por exemplo, a afirmação de que ” Números são ferramentas para compreender o mundo ” não é nada óbvio e ignora completamente posições como o platonismo matemático , ou intuicionismo ou formalismo.Além disso, afirmações como ” o conceito de número é útil ” são empíricas, mas nenhuma evidência é fornecida para apoiá-las. @OP: Esta não é uma boa resposta. Ele endossa uma visão particular e controversa dos números. Além disso, ele não ‘ cita qualquer pesquisa relevante para apoiar suas afirmações.
• @Niel: Tudo o que o formalismo afirma é que os objetos matemáticos são certas marcas em uma página , manipulado de acordo com certas regras (aproximadamente – dependerá da marca que você escolher). É importante ressaltar que os formalistas não ‘ pensam que as expressões matemáticas expressam proposições, o que está em desacordo com sua afirmação no OP de que os números são conceitos. Re: a alegação de que ” números são úteis “. Eu estava respondendo, talvez não tão claramente quanto poderia, ao seu argumento quase evolucionário a favor de algum tipo de nativismo sobre conceitos numéricos.
• Cont ‘ d. Esta é uma grande questão aberta em psicologia, linguística e filosofia da linguagem, e é falso apresentar a questão como se suas opiniões não fossem ‘ controversas. Aqui ‘ é minha principal reclamação: a pergunta é sobre uma enorme questão em aberto na filosofia, e você apresenta sua própria resposta com quase nenhuma referência ao enorme corpo de literatura dedicado ao tópico . A preocupação é que quem fez a pergunta inicial não ‘ apreciará o quão controversa é sua resposta, modulo as posições que foram exploradas no campo.

Depende do que exatamente você quer dizer com “real”. Em uma visão, os números são tão reais quanto sua mão esquerda; eles são entidades que existem independentemente da mente, a-causal e não espaço-temporalmente (ou seja, fora do espaço e do tempo). Essa seria a visão de pelo menos uma versão do platonismo matemático, e parece apontar para a noção de que estamos descobrindo uma estrutura matemática cada vez mais profunda para o universo.

Na minha opinião, eu teria que dizer – sim; objetos abstratos como a raiz quadrada de 2 são tão reais quanto uma cadeira, por exemplo. Eles são entidades reais, mas são entidades que não estão sujeitas às leis de causalidade ou espaço e tempo.

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• Boa resposta! Pode ser interessante ouvir um pouco mais sobre por que você recomendaria sua resposta aqui, no entanto.
• sua primeira frase afirma o problema, e então você divaga …

A natureza dos números é um problema realmente difícil; de um ponto de vista de “filosofia da matemática”, o melhor ponto de partida ainda é o Grundlagen de Frege (1884 – The Foundations of Arithmetic) – difícil, mas recompensador. A espinhosa questão da “realidade” do abstrato objeto (começando por Platão e Aristóteles) é que pensamos que os objetos são reais quando somos capazes de ver e tocá-los, e não podemos ver e tocar os números. Mas, se eles não são reais, por que são tão … úteis , indispensável para toda a humanidade? Muito trabalho na filosofia da matemática do século XX foi dedicado a encontrar alguma maneira de apoiar a ideia de que os números não são reais (no sentido comum do termo), mas vale a pena estudar matemática. . um jogo com símbolos, um conjunto de afirmações verdadeiras por convenção, uma construção social e assim por diante.

Números são “reais” no sentido de que são uma maneira pela qual o homem organiza o movimento relativo entre os objetos que observa em seu ambiente. (por exemplo, este aqui + aquele ali = dois de se). No entanto, os números não são “reais”. O que significa que eles não podem ser qualificados como existindo fora do contexto de objetos que o homem sente. Se você remover “número” do (s) objeto (s) que lhe atribuem um valor definido, ele só poderá ser definido como “infinito”. O que, na prática, é zero. Assim, os números, como qualquer conceito abstrato, requerem que um observador seja “real” (o homem, neste caso). Isso, é claro, faz com que o fio de prumo de TODOS valorize (verdade) aquele que observa.

Acredito que sua confusão se deva a não perceber que os “rótulos” costumavam categorizar os vários conjuntos de números são apenas isso, rótulos. Os números “reais”, os números “imaginários”, os “números complexos, etc. são todos conjuntos ordenados. Infelizmente, alguns desses rótulos têm outros significados fora da matemática. Fora da matemática,” real “geralmente significa algo tangível que é percebido por pelo menos um dos nossos sentidos, e “imaginário” significa algo intangível e não percebido pelos nossos sentidos. Mas, em matemática, essas palavras são apenas rótulos usados para distinguir diferentes conjuntos de números. As pessoas que rotularam os números poderiam usamos verde em vez de “real” e vermelho em vez de “imaginário” e teríamos o conjunto de números verde, o conjunto de números vermelho, etc.

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• O ” apenas ” problema Vejo em sua explicação o seguinte: em que sentido a redução de números em conjuntos é uma ” explicação ” real? Em que sentido estamos mais confiantes na … realidade, existência … de conjuntos do que na existência de números?
• Eles receberam os nomes por uma razão. Eles ‘ não são apenas rótulos, eles ‘ são bons rótulos. A pergunta que está sendo feita é em parte por que eles são bons rótulos?

Nós os chamamos de “números”, mas na realidade “números” é apenas um rótulo feito pelo homem para regras e princípios que ocorrem naturalmente. No entanto, se os chamávamos de “números”, “contagens” ou qualquer outro nome arbitrário, eles continuariam a desempenhar um papel fundamental na manifestação da realidade, independentemente de nosso conhecimento deles.

Se um estrangeiro raça fosse nos contatar, números e cálculos matemáticos (de alguma forma ou forma) seriam algo que “teríamos em comum. Diferentes civilizações antigas tinham diferentes sistemas numéricos, mas eles eram” números “mesmo assim.” Mesmo hoje em dia, pode-se ver a diferença evidente entre os numerais chineses （零 ， 一 ， 二 ， 三 ， 四 ， 五 ， 六 ， 七 ， 八 ， 九） e numerais arábicos (0-1-2-3-4-5-6- 7-8-9); apesar da diferença nos símbolos, o conceito por trás deles é o mesmo.

O rótulo “números” é a tentativa de descrever o “código do universo”. Então, falando de maneira geral, eu diria que sim, os números existem.

Pergunta antiga. Mas divertido! Eu ” Estou surpreso que ninguém mencionou Principia Mathematica em que mais de 100 páginas (163, se bem me lembro) são dedicadas a definir o número ” 1 “.

Eu jogava um jogo, quando estava no colégio, sugerindo que 2 + 2 = 7, e quando outro os alunos argumentariam que eu simplesmente pediria que provassem que estou errado. Isso geralmente leva a muitos gestos com as mãos começando com 2 dedos mais 2 dedos e geralmente terminando com apenas um dedo.

O summum bonum é simplesmente que os números são ideias (construções mentais que representam uma percepção, e nisso sentido, eles existem platonicamente). Como já foi muito bem explicado, essas ideias são úteis para descrever o mundo ao nosso redor e, portanto, continuamos a usar e melhorar essas ideias. Minha sugestão de que 2 + 2 = 7 quebra as regras descritas por Alfred North Whitehead e Bertrand Russell; mas as regras implícitas em minha sugestão não são menos arbitrárias do que as deles, apenas menos úteis.

Obviamente, você também deve definir ” existência ” quando você faz essa pergunta.

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• seus pensamentos existem? que tal outra pessoa ‘ s (no SEU contexto, não a outra pessoa ‘ s)?
• @slashmais Defina ” exist ” e então ‘ responderei;)
• Vejo o que você fez lá 🙂 Tentei apontar onde acho que a resposta para uma definição de ‘ existe ‘ pode ser encontrado aqui: philosophia.stackexchange.com/a/10552/112 e, nesse sentido, você está completamente correto ao dizer que números são ideias – tudo é . Para responder à minha pergunta sobre as ‘ pensamentos de outra pessoa: ele ‘ exist ‘ em seu contexto apenas quando a outra pessoa expressa o pensamento (em / diretamente) por meio de algum comportamento do qual você pode tomar consciência e a partir do qual você pode inferir tal pensamento.

A introdução de números racionais fracionários e negativos pode ser justificada de dois pontos de vista. Os números fracionários são necessários para a representação da subdivisão de uma unidade de magnitude em várias partes iguais, e os números negativos formam um instrumento valioso para a medição de magnitudes que podem ser contadas em direções opostas. Isso pode ser tomado como o argumento do matemático aplicado. Por outro lado, há o argumento do matemático puro, para quem a noção de número, positivo e negativo, integral e fracionário, repousa sobre um fundamento independente da magnitude mensurável, e em cujos olhos a análise é um esquema que trata apenas de números. , e não tem nenhuma preocupação per se com a quantidade mensurável. É possível basear a análise matemática na noção de número integral positivo. Daí em diante, as definições sucessivas dos diferentes tipos de número, de igualdade e desigualdade entre esses números e das quatro operações fundamentais, podem ser apresentadas abstratamente. (Por h.s carslaw)

Que números encontramos na natureza? você encontrou números negativos?como o nome sugere, os números naturais são encontrados na natureza. digamos que um determinado comprimento (digamos que um stick s ) seja considerado 1 unidade de comprimento (por exemplo, 1m ) agora se houver alguma outra vara ( s2 ) que é igual em comprimento de dois s varas dizemos que seu comprimento é 2 unidades. o comprimento similar pode ser de unidades fracionárias de s . números são rótulos para representar um comprimento específico. a mesma ideia pode ser estendida para todas as quantidades mensuráveis. para números -ve, considere a expressão
(ab) * (cd) = ac-bc-ad? bd

se “a” for comprimento> “b “ comprimento e ” c “ comprimento> ” d “ comprimento então o produto deve ser + ve tente colocar valores na expressão que você verá que a expressão é válida se “?” = “+” faça um quadrado de comprimento a e largura “c” e outro de comprimento “b” e “d” sobrepondo “b” a “a” e “d” em “c” agora considere cada produto expresso como uma área correspondente no diagrama. logo você reconhecerá que “?” deve ser substituído por “+ “ ou você pode criar uma regra de que a lei distributiva seja válida se considerarmos dois números com uma propriedade como (-b * -d) = (+ b * d) imagine a importância da lei distributiva, ela cria uma fórmula como (ab) ^ 2 = a ^ 2 – b ^ 2 + 2ab. esta fórmula nos dá um atalho para realizar cálculos que se tornaram possíveis apenas se tivermos -ve números de tais propriedades (multiplique dois -ve número significa um produto + ve de sua magnitude). certamente, se não definirmos os números -ve, teremos cálculos demorados sempre.

não complexos:

A * sin (wt) = RE [e ^ {jwt}] este conceito é usado muitas vezes para reduzir cálculos como na análise de rede que envolve impedâncias.

você deve ler: Iniciando a Álgebra para Estudantes Universitários, Segunda Edição de Lloyd L. Lowenstein (Autor)

Os números existem fora de nossas cabeças? Não.

O que existe dentro de nossas cabeças é real? Sim.

Existem números? Sim.

Se saber que algo é real é a definição do que é real, então talvez os números sejam tão reais quanto qualquer coisa no universo.

Eu tenho um hamster de estimação, adoro o hamster. O hamster é real? Minha experiência com o hamster é real, mas o hamster pode ser imaginado, tal é a natureza dos sonhos que parecem ser reais. Tal é a natureza dos números que eles nada mais são do que nossos sonhos mais ardentemente sonhados.

Mas o que é mais importante para o universo, um sonho ou uma rocha? Sobre esta rocha construímos nossos sonhos. E sem os nossos sonhos e os sonhos de todas as coisas não haveria nada aqui.

E ainda, como é que eu tenho 2 olhos e 10 dedos dos pés? É porque a natureza pode contar? Ou é acidental? O que é um dedo do pé senão um dedinho deformado preso a um dedo maior? Compromissos carnais incidentais adornando um apêndice carnoso maior, assim chamado e numerado pela coincidência do pensamento observando seu próprio corpo carnudo.

Quem é você com seus dedos e seus olhos lendo isso, e por que você lê senhor ou senhora , é curiosidade, medo, amor ou outra coisa que o move hoje?

Por que você pensou sobre o que era um número e veio aqui para ler sobre ele?

Porque, de alguma forma, você quer saber se VOCÊ é real. Talvez você acredite que é um número. Talvez você precise de algo, qualquer coisa em que se agarrar hoje, para dar-lhe um lugar para descansar sua mente cansada viajando nesta vasta extensão de possibilidades.

Tantas possibilidades!

Isso me faz pensar, o que é real. E as coisas mais reais em que podemos pensar são as coisas em que mais podemos confiar. Penso, logo sou, irrefutável. Mas quem é você? Eu não sei quem eu sou, portanto, “eu” penso?Não posso ter certeza, pois pode ser outro que pensa por mim, talvez eu apenas os observe pensando. E ainda assim eu sei o número 1. Sim, e se eu pegar 1 de uma coisa e outra do mesmo, eu “Terei 2 dessas coisas. E nisto posso confiar para todo o sempre … Mas comecei a me perguntar, adicionar coisas é real? Existe realmente 2 de alguma coisa? Quando eu olho, vejo com meus próprios 2 olhos 2 imagens diferentes? Não, vejo uma imagem, meus 2 olhos funcionam como 1. O que vejo? Vejo 1 imagem, portanto, tenho um olho em minha mente.

Então, o que é um número? É uma construção perceptual? É uma definição?

É uma crença. Assim como todas as coisas, nós acreditamos, eu acredito. EU ACREDITO. VOCÊ é eu. EU ACREDITO EM VOCÊ E EM MIM. Eu acredito em nós. Eu acredito … em números.

Estou apenas adicionando à excelente resposta dada por @Niel de Beaudrap. Ele questionou a dicotomia “real versus artificial” que as pessoas usam em demasia. O objetivo desta resposta é mostrar alguns outros aspectos da questão ainda não abordados.

• Os números são encontrados na natureza? (suponho que seja o que ele quis dizer com real)
• Se não, como podemos aplicá-los para coisas reais ?

E duas questões menores

• Como os números imaginários são mais imaginários do que reais?
• Por que podem “t números complexos recebem uma ordem definida?

Os números são encontrados na natureza?

Não. Os números são não encontrado na natureza. Você pode encontrar “duas maçãs” na natureza, mas não “duas”. Novamente, é interessante notar o que queremos dizer com “duas maçãs”. Queremos dizer dois objetos que são idênticos? Então não podemos falar sobre duas maçãs porque nenhuma maçã é igual à outra. Então, estamos falando de dois objetos que são semelhantes. “Quão semelhante” é a próxima pergunta. Obviamente, queremos evitar contar uma laranja como uma maçã. Mas queremos contá-lo quando contamos os frutos. Também não podemos contar uma maçã quando contamos “maçãs pequenas”. Obviamente, contar é artificial. Mas o mesmo acontece com muitas outras coisas que consideramos certas na vida. E claramente não são apenas números reais ou complexos; até mesmo contar números é artificial. Aceitamos contar números como meio reais e questionamos apenas mais os artificiais, como números reais, porque estamos acostumados a contar números.

Ainda assim, as noções de contar números, frações e quantidade são muito úteis para nossos propósitos hoje, conforme explicado por @Niel de Beaudrap. Portanto, os números não são encontrados na natureza. Os números nos ajudam a capturar a ideia dos padrões que encontramos na natureza . Observe que o que encontramos na natureza não precisa ser o que existe na natureza. É realmente real para nós porque nosso mundo é o que sentimos.

Se não, como podemos aplicá-los para coisas reais ?

Bem, isso “é a parte complicada. Os números são ferramentas da matemática. Ramos da ciência, como a matemática e a lógica, não tratam das coisas reais; não foram feitos para ser. Na verdade, tratam do abstrato. Isso é tanto seu poder quanto sua fraqueza.

Se você der a eles algumas regras de um mundo que pode ou não existir, eles vão te dizer muitas outras coisas sobre aquele mundo. Então, se você der a eles regras (quaisquer regras), eles vão te dizer muitas consequências dessas regras. Esse é o seu poder. É por isso que são aplicáveis em quase todos os lugares. E eles vão te dizer apenas as consequências dessas regras, as crenças pessoais do oráculo não tem lugar aqui. é por isso que eles enfatizam o rigor.

Mas se você estiver interessado em um mundo cujas regras são desconhecidas para você, lá eles estão desamparados. Isso é exatamente verdade em nosso mundo físico como o conhecemos. A física é interessado nas regras do nosso mundo, mas a matemática não pode fornecê-las. (Em contraste, a física teórica e a matemática são amigas íntimas). Portanto, você precisa de uma ponte entre eles para fazer um link. Esta é uma lacuna que somente a filosofia pode preencher. E ferramentas filosóficas como modelos são o caminho usual a seguir.

Questões secundárias

Como os números imaginários são mais imaginários do que os números reais? Bem, os números imaginários não são nem um grama mais imaginários do que os números reais. Em uma palestra sobre números complexos, o professor pediu aos alunos que levantassem a mão caso achassem que os números imaginários são imaginários e os reais são reais. Cerca de treze alunos levantaram as mãos. Então ele disse: “ok, podemos discutir sobre isso. Metade de você vem ao palco”.

Por que os números complexos não podem ter uma ordem definida? Por ordem, eles não significam uma coisa geral; Eles estão falando sobre um conceito específico chamado pedido total .Dizer que os números complexos não podem ser ordenados significa que qualquer que seja a ordem que você fizer, ela ficará aquém de pelo menos uma das condições para a ordem total compatível com as operações de campo usuais de adição e multiplicação. Você pode encontrar mais detalhes nesta questão em stackexchange e nesta página de cut-the-knot . Na verdade, o conjunto {0,1, -1, i, -i} dos próprios números complexos criará problemas quando tentarmos dar uma ordem total que corresponda às operações de campo usuais. Darei detalhes se você estiver interessado (não é difícil, mas acho que não terá nenhum significado filosófico para você).

Comentários

• O conjunto {0,1, -1, i, -i} está totalmente ordenado exatamente como você o escreveu, da esquerda para a direita. Não ‘ s nenhuma ordem nos números complexos compatível com sua estrutura algébrica. Mas há muitos pedidos totais nos números complexos. A ordem lexicográfica em a + bi é uma delas.
• Editado. Obrigado @ user4894. Eu estava tentando manter os detalhes mínimos.
• As definições para ordem (total) e campo ordenado podem ser encontradas na página 246 do livro de Stephen Abbot ‘ ” Compreendendo a análise ”

Se estiver tudo bem para você, gostaria de me concentrar na geometria em vez de nos números. Sinto o mesmo em ambas as áreas, mas a geometria se encaixa um pouco mais bem no meu exemplo.

Considere a declaração:

Os ângulos de qualquer triângulo somam 180 graus.

Se você estiver razoavelmente familiarizado com a geometria básica, isso parecerá obviamente verdadeiro.

E quanto a esta afirmação?

James Kirk é o capitão da USS Enterprise .

Poderíamos alegar que é falso, suponho, mas se estivermos participando de uma convenção de Star Trek , isso simplesmente não é muito educado. Mas fica pior. Se afirmarmos que a afirmação acima é falsa, estamos afirmando que:

James Kirk não é o capitão da USS Enterprise .

E isso ainda sugere que há um Kirk e um USS Enterprise , além de irritar o Trek fãs. Existem maneiras mais complicadas de interpretar o operador de negação, mas isso não é um problema trivial .

Suponha que aceitemos que Kirk é o capitão, para aplacar os fãs. Mas então um deles vem até nós e diz:

Sou um fã de Star Trek: The Next Generation , e Acho que sua declaração Kirk é falsa. O capitão da Enterprise é Picard, não Kirk.

Então, enquanto nós ” o que é mais intrigante, um matemático vem até nós e diz:

Sou um fã de geometria não euclidiana . Acho que sua afirmação do triângulo é falsa.

As afirmações matemáticas são verdadeiras no contexto de seus axiomas. As afirmações sobre ficção são verdadeiras no contexto de suas fontes canônicas. Se você escolher diferentes axiomas ou diferentes fontes canônicas, obterá verdades diferentes (se o exemplo de Kirk / Picard for muito sutil, compare e contraste Drácula com Twilight ). Embora a matemática seja mais rigorosa e, na maioria dos casos, mais diretamente útil do que a ficção, ambas são formas de arte.

Como muitas artes, matemática e ficção, aspiram tanto à verdade quanto à beleza . Mas essas são qualidades estéticas, não realidades objetivas.A matemática é “verdadeira” quando você encontra uma situação do mundo real que ela descreve com precisão e a aplica corretamente. A ficção é “verdadeira” quando você descobre que ela ressoa com suas experiências e objetivos de vida e tenta viver de acordo com seus ensinamentos. Essas verdades não podem existir isoladamente; eles dependem do observador para atualizá-los.

Então, para responder à sua pergunta, números ou triângulos, são tão “reais” quanto o aplicativo que você encontrou para eles. Mas se você está apenas fazendo matemática porque acha que é bonito , então não precisa se preocupar se é “real”. Talvez alguém encontre um aplicativo algum dia, como aconteceu com a teoria dos números e a criptografia. Talvez não. De qualquer forma, preocupar-se com isso seria perder o ponto. Você não está fazendo isso pela verdade. Você está fazendo isso pela beleza.

Leopold Kronecker afirmou que o não inteiros negativos foram feitos por Deus. Qualquer outra coisa é “criada” por humanos. Seguindo essa ideia, sabemos com certeza que os inteiros não negativos são reais. Agora, a declaração “Os números são reais.” é equivalente a “Números existem”. A existência pode ser provada escrevendo um elemento distinto que satisfaça a propriedade dada. Usando que existem inteiros não negativos e aplicando a premissa de que inteiros não negativos são números, concluímos que “os números são reais.”

Editar: O que eu realmente queria apontar é que a questão realmente depende de como os números são entendidos.

Por outro lado, eu faria gostaria de desferir um golpe para o ponto Kroneckers. Em termos mais gerais, ele descreveu uma tendência natural dos seres humanos para contar coisas. Isso não é totalmente irracional. Considere que foram encontrados ossos com marcas de contagem que têm aproximadamente 30000 anos (espero que você não me culpe se eu não der uma verificação bibliográfica) – muito antes de as pessoas falarem sobre axiomas para construir números naturais.

Comentários

• Argumento de autoridade?
• @NieldeBeaudrap, eu não ‘ não é um argumento indutivo. Não é ‘ t o oposto um requisito para o argumento da autoridade?
• ” Leopold Kronecker afirmou que os inteiros não negativos foram feitos por Deus ” [ênfase minha].
• O fato que humanos usaram uma ideia sem axiomatização não significa que ela ” existe ” independentemente dos humanos. A magia é real? A sorte é real?
• Acho que você está se permitindo pensar na palavra ” use ” de maneira diferente para ‘ mágica ‘ e para ‘ números ‘, mas não importa.

1. Números são usados para contagem.

2. Contamos as formas.

3. Uma A forma mais primitiva que contamos é uma linha.

4. A linha é uma forma, que tem o mesmo final do início.

5. Portanto, a linha é um loop unidimensional, e observamos todos os números como 1 se repetindo como um conjunto (ou seja, 7 laranjas é 1 (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) ou 1 conjunto de 1 “s, em que” laranja “é um conjunto e parte do conjunto).

6. Todos os fenômenos são formas à medida que tomam forma. Todos os fenômenos como tendo formas são voltas quando você termina de onde começa ao traçar o contorno.

7. Contar é um loop entre o sujeito e o (s) objeto (s).

8. Portanto, contamos os loops, usando números que ocorrem através de um loop 1 de 1 através do loop do sujeito e do objeto com o objeto como tendo uma forma sendo um loop, bem como o racional do assunto ser um loop.

9. Números são formas espaciais e existem por meio de processos que ocorrem por meio de formas espaciais.