Os números são realmente infinitos? [fechado]

Você não é o único a questionar a infinita miríade de números. Na verdade, existem escolas inteiras de pensamento explorando o espectro infinito de números, escolas inteiras de pensamento explorando os números transfinitos além do espectro infinito e escolas inteiras de pensamento explorando como fazer matemática onde infinitos não existem (conhecidas como escolas finitistas de pensamento)!

Fundamental para a discussão dos números infinitos é o conceito de aritmética de Peano. Giuseppe Peano desenvolveu um conjunto de axiomas para os chamados “números naturais”, que são informalmente definidos como a sequência 0, 1, 2, 3, 4. .. Os axiomas são:

• 0 é um número natural (declaramos que existe, é uma constante)
• Para cada número natural x, x = x (reflexivo: tudo é” igual “a si mesmo)
• Para todos os números naturais x e y, se x = y então y = x (propriedade simétrica de igualdade)
• Para todos os números naturais x, y, z, se x = y e y = z e x = z (propriedade transitiva de igualdade)
• Para todos a e b, se b for um número natural e a = b então a é um número natural (a igualdade é “fechada”)

Precisamos então definir uma função S, conhecida como função sucessora, para que possamos ter números maiores que 0. Informalmente, S(0)=1, S(1) = 2 e assim ativado.

• Para cada número natural n, S(n) também é um número natural
• Para todos os números naturais m e n, m = n se e somente se S(m) = S(n) (S é uma injeção)
• Para cada número natural n, S(n) = 0 é falso (o sucessor de um número nunca é 0 … também conhecido como 0 é o “primeiro” número natural)

Agora precisamos do axioma que torna sua pergunta tão extraordinariamente interessante, o axioma da indução:

• se f é uma função tal que t f(0) é verdadeiro e, para cada número natural n, se f(n) for verdadeiro, então f(S(n)) é verdadeiro, então f(n) é verdadeiro para todos os números naturais.

Esse último axioma é o um que faz com que ocorra tanto comportamento interessante. É aquele que tenta alcançar o infinito e afirma oferecer maneiras de apreendê-lo. E, como todos os axiomas, não afirma necessariamente que é “correto”, apenas que é declarado verdadeiro dentro dos limites das regras da aritmética (conforme definido por Peano).

Muito da aritmética foi formalizada no que é conhecido como “teoria dos conjuntos”, que é a base de grande parte de nossa matemática porque parece ser fundamental para a organização do universo. Conjuntos lidam com coleções particulares de coisas, como “o conjunto de números naturais menores que 5”, que é escrito como {0, 1, 2, 3, 4}.A aritmética de Peano é mais comumente mapeada na teoria dos conjuntos usando a seguinte construção:

• O conjunto vazio {} é declarado como a constante 0 nos axiomas de Peano”
• A função sucessora S(n) é definida como `S (n) = {{}, {n }} (O sucessor de qualquer número é definido como a união do conjunto vazio e um conjunto contendo o número anterior)

Essa definição parece um pouco obtusa, mas foi escolhida porque é fácil mapear todos os outros axiomas de Peano nessas duas definições. Com isso, ganhamos a capacidade de usar os axiomas da teoria dos conjuntos para manipular “números” de maneiras muito poderosas e fundamentais. Um dos mais importantes deles é o conceito de cardinalidade de um conjunto. Este é o “número” de coisas em um conjunto. Informalmente {1, 2, 3}, {3, 4, 5} e {maçã, laranja, orangotango} têm cardinalidade 3 porque tem 3 elementos, mas {2, 4, 6, 8} tem uma cardinalidade de 4.

Isso é onde fica complicado, porque acontece que “o conjunto de todos os números naturais” é um conjunto válido, normalmente representado com maiúscula N, então podemos perguntar “qual é a cardinalidade de o conjunto de todos os números naturais? ”A resposta é“ infinito ”, e essa afirmação é feita como uma definição. Definimos a cardinalidade de N como um número específico, conhecido como ℵ₀, que recebe o nome em inglês “infinito contável”. Sim, para os matemáticos, o infinito é contável, porque você pode teoricamente começar em 0, contar para cima 1, 2, 3, 4, 5 … e “alcançar” ℵ₀ de acordo com o axioma da indução. Existem também infinitos incontáveis, como ℵ₁, conhecido como a cardinalidade do contínuo ou o número de números reais (assumindo que a hipótese do contínuo seja verdadeira … existem até opiniões diferentes sobre isso). Existe até uma escola de Pensei em números “transfinitos” que podem lidar com frases como “Eu te desafio o infinito mais uma vez!”

Bem-vindo à toca do coelho do infinito na matemática. Nós definimos a palavra para significar algo aqui. Ela é definida com relação a um conjunto de axiomas. Esses axiomas são válidos na “vida real”? A maioria dos matemáticos acha conveniente presumir que sim. O computador em que você está lendo isto hoje foi desenvolvido usando muitos modelos de cálculo, e as raízes do cálculo são encontradas profundamente no infinito (em particular seu conceito de “limites). Até agora, essa suposição tem nos feito muito bem. Essa suposição é” verdadeira? “. Isso é mais complicado pergunta. Existem escolas finitistas de pensamento que partem do pressuposto de que o número de números naturais é finito, geralmente relacionado à capacidade finita da mente humana ou do universo de uma forma ou de outra. Se o tempo é finito, e a computação é finita, então não se pode teoricamente computar o “infinito”, então eles argumentam que ele não existe. Eles estão certos? Bem, sim … por suas definições, assim como a afirmação oposta é verdadeira por as definições dos axiomas de Peano e da teoria dos conjuntos. Ambas podem ser verdadeiras porque cada uma delas define a palavra “infinito” para significar algo ligeiramente diferente.

Para encerrar, pode valer a pena mergulhar em linguística escolha: “Então, devemos dizer que os números são infinitos?” Podemos dizer um grande número de coisas. Se essas coisas atendem ao ideal de verdade (em si uma palavra muito difícil de descrever formalmente) depende muito dos significados individuais de cada um para palavras. Se você aceitar a definição de “infinito” dada pela matemática dominante, então “os números são infinitos” é verdade, literalmente porque a matemática dominante define “infinito” como tal. Se você aceitar a definição dada pelos finitistas, então “os números são infinitos” é falso, literalmente porque os finitistas definem “infinito” como tal. Você pode escolher sua própria definição. Pode até ser contextual (não é incomum encontrar matemáticos cristãos que definem “infinito” dentro de sua religião de forma ligeiramente diferente do que definem dentro da matemática, sem efeitos nocivos além de dois conceitos muito semelhantes sendo atribuídos à mesma palavra em seu vocabulário) .

Comentários

• " existem escolas inteiras de pensamento explorando o espectro infinito de números ". Ninguém pode explorar a quantidade infinita de números porque eles são infinitos. Você precisaria de uma quantidade infinita de anos e de uma quantidade infinita de estudiosos.
• Esta resposta contém o que presumo ser um erro inocente. O valor da cardinalidade do continuum é uma das grandes incógnitas da teoria dos conjuntos. ZFC não é forte o suficiente para responder a estabelecer um valor. Dizer que " c " é igual a aleph-1 é assumir a verdade da hipótese do contínuo.
• Eu realmente gosto desta resposta.Por mais que qualquer coisa seja o que dizemos quando há concordância popular, essa resposta vai ainda mais longe para dar de forma muito rápida e clara a estrutura matemática pela qual ambos definimos os termos e especificamente como o infinito é definido usando os mesmos. +1
• @NickR Obrigado pela pegadinha! Uma edição foi colocada em prática!
• @JohnAm Você pode explorá-los em um tempo finito, contanto que você calcule uma quantidade de tempo infintessimal em cada número 😉 Isso levanta a questão de quão completamente nós explore alguns dos números maiores, não ' o faz!

É geralmente aceito que os números naturais satisfaçam os Axiomas de Dedekind-Peano (geralmente nomeados apenas em homenagem a Peano porque Dedekind fica rígido). Esses axiomas implicam que existem infinitos números naturais. E não é difícil perceber porquê: não pode haver um maior número natural n, uma vez que n + 1 é um número natural maior.

De forma mais geral, em os axiomas padrão (ZFC) para a teoria dos conjuntos , podemos provar a existência de alguns conjuntos infinitos. Isso é um pouco menos útil para seus propósitos, uma vez que a existência de um conjunto infinito está embutido no ZFC como um axioma, mas como o ZFC é amplamente aceito por matemáticos e filósofos, vale a pena ressaltar.