Os sete números de referência?

Um volume decente sobre matemática elementar é Matemática para professores do ensino fundamental (Beckmann, 2010). O livro pretende ajudar a fortalecer o conhecimento dos professores sobre a matemática por trás das ideias nos currículos elementares (especialmente reformar os currículos, acho). Como tal, muitas vezes é um bom lugar para verificar coisas como esta.

Benchmarks (também chamados de “pontos de referência”) são introduzidos no contexto de comparação de frações. Quando os alunos estão tentando determinar qual fração é maior, $ \ frac {4} {9} $ ou $ \ frac {3} {5} $, uma estratégia sugerida é que os alunos raciocinem sobre sua relação com algum outro número, como a fração $ \ frac {1} { 2} $:

Quando comparamos $ \ frac {4} {9} $ e $ \ frac {3} {5} $ comparando ambos frações com $ \ frac {1} {2} $, usamos $ \ frac {1} {2} $ como um benchmark (ou ponto de referência) . As frações $ \ frac {1} {2} $, $ \ frac {1} {4} $, $ \ frac {3} {4} $, $ \ frac {1} {3 } $ e $ 1 $ são bons para usar como benchmarks. (p. 73)

É claro a partir deste texto que os números são um tanto arbitrários ; não deve haver uma lista definitiva de números de benchmark. Os alunos escolheriam um benchmark de fração que os ajudasse a comparar.

Não posso dizer se outros usam benchmarks da mesma maneira (uma olhada rápida em alguns outros livros que tenho ao alcance do braço não mostram o termo). No entanto, o uso aqui é claro: uma referência number é um número útil para raciocinar sobre um problema. Neste caso, o benchmark é usado como um ponto de referência para comparação de frações.

A intenção é encorajar o raciocínio em vez de procedimentos. Existem algoritmos para alguns alunos são ensinados a usar para comparação de frações, o que lhes permite substituir o raciocínio matemático por algumas etapas memorizadas e alguma aritmética. Mas o raciocínio permite que eles pratiquem conjecturas, trabalhem para encontrar uma justificativa para sua resposta e, eventualmente, tenham uma maneira de defender sua resposta diferente de “isso é o que o procedimento produziu.”

Eu deveria tinta qualquer número útil usado no raciocínio pode ser chamado de referência. Por exemplo, em minha resposta a outra pergunta (visto aqui) , eu escrevi sobre o raciocínio dos alunos que transforma um subtraendo no número $ 2.000 $. Nesse caso, $ 2.000 $ é útil.

Outro tipo de raciocínio matemático que pode se beneficiar de um benchmark é a estimativa. Os números podem ser substituídos por benchmarks próximos que tornam o cálculo mais rápido, se o objetivo for apenas estimar uma resposta (uma estratégia frequentemente bastante útil para muitas aplicações do mundo real).

Em resumo, Não acho que haja suporte para uma lista definitiva de benchmarks . algumas das que o Dr. Beckmann fornece são sugestões (“boas de usar”), mas o verdadeiro teste é se elas são úteis para o pensador no meio de seu raciocínio matemático.

Trabalhos citados:

Beckmann, S. (2010). Matemática para professores do ensino fundamental. Nova York: Pearson Addison-Wesley.

Comentários

• talvez ' Sou apenas preguiçoso, mas quando criança, acho que calcularia a expansão decimal para comparar duas frações. Eu ' li um pouco de história da física que reflete esse sentimento … que o sistema numérico decimal era extremamente importante para o aspecto de aproximação do pensamento de Newton ' … mas, eu ' não sou especialista.
• @ JamesS.Cook It ' não é preguiçoso para usar a representação que é t se adapta às suas habilidades e à aplicação em questão. O trabalho em sala de aula tem uma meta de aprendizado adicional, é claro. Nesse caso, voltando-se para o raciocínio para a comparação (nisso, ela contrasta com alguns outros métodos " truque "). Por curiosidade, quando você comparava frações com decimais quando criança, que raciocínio ligava as representações fracionárias e decimais? Em outras palavras, como você provou informalmente para si mesmo que a representação decimal era realmente o mesmo número?
• Se bem me lembro, e isso é discutível, acredito que era o significado padrão. Por exemplo, $ 1/4 = 0,2 + 0,05 $, portanto, construímos os decimais adicionando múltiplos inteiros de $ 10,1,1 / 10, 1/100 $ … juntos. A necessidade de séries só foi avaliada muito mais tarde, aproximações bastaram para meus objetivos quando criança, eu não ' não me lembro de ponderar sobre convergência no playground.
• @JamesS .Cook Então, o tipo de conhecimento " atômico " aqui é que $ \ frac {1} {10} = 0,1 $ (e assim para outras frações envolvendo potências de dez). Mas também, você teria que justificar que $ \ frac {2} {10} + \ frac {5} {100} = \ frac {1} {4} $. À primeira vista, isso parece mais sofisticado do que comparar duas frações com base em um benchmark (ou seja, você ' não precisaria dessa estratégia de benchmark neste momento). Suas frações denominadoras com potência de dez são obviamente uma parte vital para entender como o valor posicional se aplica aos valores fracionários.