Estou olhando para um modelo GARCH multivariado BEKK.
Em um modelo GARCH padrão, geralmente esperamos,
$$ h_t = \ omega + \ alpha u_ {t-1} ^ 2 + \ beta \ sigma_ {t-1} ^ 2 $$
O coeficiente alfa ( $ \ alpha $ ) deve ser consideravelmente menor que o beta ( $ \ beta $ ), consulte, por exemplo, Verbeeks “Guia para o capítulo da econometria moderna no GARCH”, com cerca de 0,1 alfa e 0,8 beta.
Agora estou passando para uma configuração multivariada, para um BEKK (1 ),
$$ \ left [\ begin {matrix} h_ {11, t} & h_ {12 , t} \\ h_ {21, t} & h_ {22, t} \\\ fim {matriz} \ direita] = \ esquerda [\ begin {matriz} k_ { 11} & k_ {12} \\ k_ {21} & k_ {22} \\\ end {matrix} \ right] + \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22 } \\\ end {ma trix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matriz} \ right] ^ \ prime \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime $$
ie um MV-ARCH (1),
Alguém saberia os parâmetros adequados para a matriz $ A_ {ij} $ , com uma referência? E também o BEKK (1,1) com o termo GARCH,
$$ H_t = C ^ \ ast {C ^ \ ast} ^ \ prime + A_ {11} \ varepsilon_ {t-1} \ varepsilon_ {t-1} ^ \ prime A_ {11} ^ \ prime + B_ {11} H_ {t-1} B_ {11} ^ \ prime $$
Preciso de valores de parâmetro adequados (como seria de se esperar) para A e B . Eu entendo que isso mudará consideravelmente entre os conjuntos de dados etc. Mas, em geral, algum valor que podemos esperar?
Resposta
Infelizmente, existem nenhuma verificação direta no $ a_ {ij} $ “se $ b_ {ij} $ ” Os coeficientes s no caso BEKK, como $ \ alpha + \ beta < 1 $ garantem estacionariedade e fraca dependência de tempo no GARCH (1,1) caso. As condições são um pouco mais complicadas no caso do BEKK.
O processo é estacionário e fracamente dependente do tempo (no sentido de que é uma cadeia de Markov recorrente de Harris geometricamente ergódica), se todos os autovalores do $ k ^ 2 \ times k ^ 2 $ matrix $ A_ {11} \ otimes A_ {11} + B_ {11} \ otimes B_ {11} $ são menor que 1 e $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ é positivo definido, mas esse sempre será o caso com $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ , uma vez que é definido positivo por construção. O $ \ otimes $ denota o produto Kronecker .
Teorema 2 em Comte e Lieberman (2003) diz que esta condição garante que o estimador de máxima verossimilhança é consistente, e se assumirmos ainda que o processo tem momento finito de sexta ordem, que é $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ , então o Teorema 3 em Hafner e Preminger (2009) estabelece a normalidade assintótica de o MLE.
Para meu conhecimento, a literatura não fornece restrições de parâmetros diretos, o que garante momentos finitos de sexta ordem do processo BEKK. O teorema C.1 no apêndice de Pedersen e Rahbek (2014) fornece condições suficientes para a versão ARCH do processo BEKK gaussiano ( $ B_ {11} = 0 $ ), para ter $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ . Esta condição é que todos os valores próprios de $ A_ {11} ⊗ A_ {11} $ devem ser menores que $ 15 ^ {- 1/3} \ aproximadamente 0,4055 $ .
- F. Comte e O. Lieberman. Teoria assintótica para processos GARCH multivariados. Journal of Multivariate Analysis, 84 (1): 61 – 84, 2003.
- C. M. Hafner e A. Preminger. Sobre a teoria assintótica para modelos GARCH multivariados. Journal of Multivariate Analysis, 100 (9): 2044 – 2054, 2009.
- R. S. Pedersen e A. Rahbek. Direcionamento de variância multivariada no modelo bekk -garch. The Econometrics Journal, 17 (1): 24–55, 2014.
Comentários
- Não tenho certeza se isso se aplica à forma específica de BEKK estudada aqui, mas McAleer " O que eles não disseram sobre a (não) existência algébrica, (ir-) regularidade matemática e propriedades (não-) assintóticas do condicional dinâmico BEKK completo modelo de covariância " (2019) mostra que BEKK pode nem existir, exceto em condições restritivas, puxando o tapete de mais de 4.500 artigos citando BEKK.
- @Duffau uma ótima resposta, mas você tem alguma ideia sobre qual deveria ser a diferença entre A e B?
- Obrigado @FrancisOrigi! Portanto, lembre-se de que A e B são matrizes, portanto não há uma noção clara de " gap ". Em sistemas dinâmicos onde o processo é definido por matrizes, freqüentemente algum tipo de autovalor determina a estabilidade do sistema. Como para o BEKK, a estabilidade (estacionariedade e dependência fraca) é governada pelos autovalores das matrizes transformadas que descrevi acima. Se você quiser saber mais, eu examinaria as autorregressões vetoriais lineares; elas são o tipo mais simples com dinâmica multivariada. Eles são equivalentes aos modelos AR no mundo univariado.