Por que a energia potencial gravitacional é negativa e o que isso significa?

Sobre as energias negativas: elas não apresentam nenhum problema:

Neste contexto, apenas as diferenças de energia têm significado. A energia negativa aparece porque quando você fez a integração, estabeleceu um ponto onde definiu o seu energia para 0. Neste caso, você escolheu $ PE_1 = 0 $ para $ r = \ infty $. Se você “definiu $ PE_1 = 1000 $ em $ r = \ infty $, a energia foi positiva para algum r .

No entanto, o sinal de menos é importante, pois indica que a partícula de teste está perdendo energia potencial ao mover-se para $ r = 0 $, isso é verdade porque está acelerando, causando um aumento em $ KE $:

vamos calcular o $ \ Delta PE_1 $ para uma partícula se movendo em direção de $ r = 0 $: $ r_i = 10 $ e $ r_f = 1 $:

$ \ Delta PE_1 = PE_f – PE_i = Gm (-1 – (-0,1)) = -Gm \ times0 .9 < 0 $

como esperado: perdemos $ PE $ e ganhamos $ KE $.

Segundo marcador: sim, você estão certos. No entanto, só é verdade SE forem partículas pontuais: se normalmente têm um raio definido, elas colidem quando $ r = r_1 + r_2 $, causando uma colisão elástica ou inelástica.

Terceiro marcador : você está certo com $ PE_2 = mgh $, porém, novamente, você está escolhendo um determinado referencial: você está assumindo $ PE_2 = 0 $ para $ y = 0 $, o que, na notação anterior, significa que você estava definindo $ PE_1 = 0 $ para $ r = r_ {earth} $.

O máximo i A diferença importante agora é que você está dizendo que um aumento em h está avançando em r (se você for mais alto, você está mais longe do centro da Terra).

Fazendo a analogia com o problema anterior, imagine que você deseja obter $ \ Delta PE_2 $. Neste caso, você começa em $ h_i = 10 $ e deseja mover para $ h_f = 1 $ (movendo-se em direção ao centro da Terra, como $ \ Delta PE_1 $:

$ \ Delta PE_2 = PE_ {f} – PE_ {i} = 1mg – 10mg = -9mg < 0 $.

Como esperado, porque estamos caindo, estamos perdendo $ PE $ e ganhando $ KE $, o mesmo resultado tem $ PE_1 $

Quarto ponto: ambos representam a mesma coisa. A diferença é que $ gh $ é o primeiro termo no Série de Taylor da expansão de $ PE_1 $ perto de $ r = r_ {Earth} $. Como exercício, tente expandir $ PE_1 (r) $ em uma série de Taylor e mostre que o o termo linear é:

$ PE_1 = a + \ frac {Gm (r-r_ {terra})} {r_ {terra} ^ 2} $.

Eles calculam $ numericamente Gm / r_ {earth} ^ 2 $ (lembre-se de que $ m = m_ {earth} $). Se você ainda não fez isso, acho que ficará surpreso.

Então, pelo que eu entendida, sua lógica está totalmente correta, exceto por dois pontos-chave:

• energia é definida separadamente de um valor constante.

• no dia e $ PE_1 $, aumento r significa diminuição $ 1 / r $, o que significa aumento $ PE_2 = -Gm / r $. Em $ PE_2 $, aumento h significa aumento $ PE_2 = mgh $.

Comentários

• Ah, entendo, o truque é que ‘ um valor relativo – Eu continuo pensando em energia como algo absoluto (embora eu ache que até a energia cinética muda, dependendo do seu referencial) . Suponho que ‘ d gostamos de definir PE = 0 quando r = 0, mas infelizmente, de acordo com a equação, seria necessária uma energia infinita para puxar as partículas separado! Então eu acho que PE = 0 quando r = ∞ é a única outra escolha razoável. Tudo faz sentido agora – obrigado!
• Além disso, a fórmula muda dentro de uma massa não pontual, então o limite de $ r \ a 0 $ é finito.

Primeiro (1) resumirei as diferenças entre as definições de PE1 e PE2 e, em seguida, (2) igualarei as duas.

(1) Primeiro, como esta resposta para “Por que a energia gravitacional é negativa?” diz , PE1 define a energia potencial de um corpo de massa m no campo gravitacional de uma massa M como a energia (trabalho) necessária para retirá-la sua posição atual $ r $ ao infinito. PE1 assume que $ r = \ infty $ é $ PE = 0 $ $$ PE1 = \ frac {−GMm} {r} $$

PE2, por outro lado, é definido como o negativo de trabalho realizado pela gravidade para erguer um corpo de massa m da superfície de um planeta até uma altura h acima do planeta.

$$ PE2 = -W = -Fdcos \ theta = mgh $$

PE2 tem um quadro de referência diferente de PE1 , pois assume $ PE = 0 $ em $ r = R $, ou na superfície do planeta. Além disso, e muito importante, PE2 só é usado quando um objeto está próximo à superfície de um planeta , quando $ h < < < R $ (R é o raio do planeta) e g pode ser considerada constante:

$$ g = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} \ approx \ frac {GM} {R ^ 2} $$

(2) OK, agora vamos equacionar os dois. Embora os quadros de referência para PE1 e PE2 sejam diferentes, $ | \ Delta PE | $ entre dois pontos deve certamente ser o mesmo. Para fins de exemplo, digamos que os dois pontos sejam a superfície do planeta e a altura h acima do planeta.

PE1 diz $ | \ Delta PE | = mgh -mg (0) = mgh $

PE2 diz $ | \ Delta PE | = \ frac {-GMm} {R + h} – \ frac {-GMm} {R} = GMm \ left ( \ frac {1} {R} – \ frac {1} {R + h} \ right) = GMm \ left (\ frac {h + RR} {(R) (h + R)} \ right) = \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} $

e porque $ h < < < R $, $ \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} \ approx \ frac {GMmh} {R ^ 2} = mgh $

E assim, PE1 e PE2 representam a mesma forma de energia, mas devemos ter em mente os quadros de referência e as condições de uso quando os usamos.

Espero que ajude !! Paz.

É porque a força gravitacional é atrativa e o trabalho é feito pela própria força gravitacional. Quando o sistema funciona por si mesmo, a energia é considerado negativo e quando o trabalho é feito por uma agência externa na energia do sistema é considerado positivo.

Acho que é apenas uma preferência.

Podemos ver a energia potencial gravitacional como sendo positiva , representando a energia “investida” em nossa posição em relação a um objeto massivo. Podemos “recuperar” essa energia (aumentar a energia cinética) movendo-nos para mais perto do objeto, ponto em que reduzimos a quantidade de energia que poderíamos ganhar ao nos movermos adicional.Portanto, a energia potencial diminui à medida que nos aproximamos (aproximando-nos da energia zero à distância zero), aumenta à medida que nos afastamos e a soma de PE e KE é constante.

Mas qual valor é a constante? Quando estamos muito distantes do objeto massivo, devemos ter uma energia potencial muito grande. Mas mesmo quando estamos muito próximos do objeto massivo, estamos muito, muito longe de todos os outros objetos massivos no universo e, portanto, devemos ter energias potenciais gravitacionais muito grandes em relação a todos esses objetos. Podemos calcular aproximadamente um valor para KE + PE considerando apenas os objetos mais relevantes (os mais próximos e / ou maiores), mas nosso valor aproximado apenas cresce e cresce conforme tentamos obter aproximações mais precisas incluindo menores e mais -objetos distantes em nossa categoria de objetos “relevantes”. Portanto, nossa constante KE + PE é algum valor impossivelmente grande que nunca podemos calcular ou estimar como algum valor específico. De certa forma, não importa que nunca possamos reivindicar um valor, uma vez que as diferenças de energias são tudo o que realmente precisamos para trabalhar, e ainda podemos calcular aqueles (assumindo que nosso PE em relação a tudo o mais no universo só mudou insignificantemente quando nos movemos perto do objeto massivo que estamos considerando). Mas parece insatisfatório.

Por outro lado, em vez disso de considerar PE como uma quantidade positiva de energia “investida” em nossa posição (energia que já “gastamos” se estivéssemos nos afastando do objeto massivo, que poderíamos ganhar nos aproximando), podemos, em vez disso, considerá-la negativa quantidade de energia que “devemos” por causa de nossa posição (energia que “ganhamos” de graça “se nos movermos para mais perto do objeto do infinito, que teríamos que” gastar “para escapar novamente ao infinito).

Todos os cálculos de diferenças de energia funcionam da mesma forma. Mas agora nosso PE em relação a um objeto vai para zero à medida que nos distanciamos muito de o objeto. Isso significa que como podemos calcular uma aproximação de nossa constante KE + PE considerando apenas os objetos mais relevantes, e conforme tentamos obter melhores aproximações incluindo objetos menores e mais distantes em nosso cálculo, os efeitos desses objetos adicionais ficam mais próximos e mais perto de zero. Assim, chegamos a um número real que podemos dizer com razão é o valor de nossa constante KE + PE.

O O fato de que a energia potencial gravitacional, assim como todas as energias potenciais das forças de atração, são negativas é baseado no fato de que queremos assumir que quando as partículas estão no infinito em relação umas às outras e em repouso o sistema tem energia total zero. Imagine se este não fosse o caso e um sistema de duas partículas em separação infinita em repouso fosse considerado como tendo uma energia líquida, então surgiria alguma confusão quanto à energia associada com a massa restante. A energia total do sistema não seria $ E = Mc.c $ onde $ M $ é a soma de duas massas. De onde então viria essa energia extra?

É errado considerar a energia potencial gravitacional negativa – embora comum.

O grande erro é atribuir o PE no infinito = 0. Isso está claramente errado – P.E. é claramente 0 em 0 separação e grande em grandes separações. O P.E. de objetos distantes uns dos outros teria que ser a soma do P.E. para o primeiro, diga 100 “de separação mais o P.E. para o segundo 100” de separação mais — o P.E. para cada 100 “até que toda a separação foi contabilizada. (Vou expressar isso como uma integral depois de retocar meu cálculo.) Viz, PE INCEASES conforme a separação aumenta – começando em 0 sem separação.

Muitas pessoas estão cometendo um grande erro ao considerar a energia potencial gravitacional negativa!

Comentários

• Com o campo de uma fonte pontual obedecendo ao inverso – lei quadrada, a força é proporcional a $ r ^ {- 2} $ e o potencial (e a energia potencial) é, portanto, proporcional a $ r ^ {- 1} $. O linear $ P = mgh $ é apenas uma aproximação para pequenas mudanças na distância.
• @ HDE226868 Você queria comentar uma resposta diferente?
• @diracula Não – eu deveria ter sido mais claro. Estava mostrando matematicamente por que o potencial a energia desaparece no infinito em vez de crescer até o infinito; à medida que $ r \ to \ infty $, $ r ^ {- 1} $ vai para $ 0 $.