Considere a seguinte Máquina Atwood simples com uma polia ideal e uma corda ideal
De acordo com meu livro, a tensão na braçadeira que prende a máquina à parede é igual a $ 2T $. Não entendo por que isso acontece. A tensão em $ T $ na corda é igual em magnitude a $ m_1g + m_1a = m_2g – m_2a $, supondo que $ m_1 $ esteja acelerando para cima.
Também , a aceleração das massas em uma máquina atwood é dada por
$$ a = \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} $$
Substituindo isso em , obtemos a tensão igual a
$$ T = m_1g + m_1 \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} = m_1g \ left (1 + \ frac {m_2 – m_1} {m_2 + m_1} \ right) = \ frac {2m_2m_1g} {m_1 + m_2} $$
Então, de acordo com meu livro, a tensão na braçadeira da polia deve ser:
$$ 2T = \ frac {4m_1m_2g} {m_1 + m_2} $$
Mas, não são todas essas forças internas? Se considerarmos toda a máquina de madeira como o sistema (excluindo a braçadeira), as únicas forças agindo sobre ela são a força da gravidade, $ (m_1 + m_2) g $ e a tensão na braçadeira, $ T_c $. Como o sistema está em repouso
$$ T_c = (m_1 + m_2) g $$
Estou certo ou há uma falha em meu argumento?
Comentários
- Você encontrou $ T $ e o livro de texto tem a mesma equação multiplicada por um fator de 2. Não há problema aqui.
- Dica: O sistema não está em repouso.
- A resposta de Nick ' está completa, mas gostei da sua pergunta porque mostra o esforço para entender o PRINCÍPIO em cálculos. Portanto, ' é importante, em minha opinião, entender por que o sistema não está ' em repouso.
- Verdadeiro, cada cálculo não deve apenas verificar matematicamente, mas a interpretação física também é uma parte muito, muito importante! Então, no que diz respeito à questão, eu ' diria bom trabalho e continue o bom trabalho!
- Se ajudar, você pode mostrar que o centro da massa das duas massas $ m_ {1} $ e $ m_ {2} $ está acelerando para baixo e, embora pareça que o suporte está segurando a roda estável, na verdade está deixando o sistema de roda / massa acelerar para baixo por causa disso.
Resposta
Seu resultado se mantém quando as duas massas são iguais, nesse caso $ a = 0 $ e você teria isso:
$ T = m_1 g = m_2 g $.
Ou:
$ 2T = 2m_1 g = 2m_2g = (m_1 + m_2) g $.
No caso de as massas não serem iguais, então ambas as massas estão acelerando, o que por sua vez se aplica produz uma força menor no sistema de polias (e na braçadeira).
Isso pode ser facilmente verificado com sua fórmula da tensão!
$ T = \ frac {2m_1m_2g} {m_1 + m_2}, $
Se eu devíamos definir a massa total como: $ M = m_1 + m_2 $, então eu poderia expressar $ T $ como:
$ T = \ frac {2m_1 (M-m_1) g} {M} = \ frac {2g} {M} (m_1 (M-m_1)). $
Você pode verificar se “d plotar $ T $ como uma função de $ m_1 $, que ele atinge um máximo em $ m_1 = M / 2 $, o que significa que a tensão torna-se máxima se as duas massas forem iguais, a tensão então se torna:
$ T = \ frac {Mg} {2} = \ frac {(m_1 + m_2) g} {2} $,
ou como você estava pensando:
$ 2T = (m_1 + m_2) g $
Para completar o gráfico da tensão em função da massa $ m_1 $ em termos de quantidades adimensionais.
Neste gráfico você pode ver facilmente que se $ m_1 = 0 \ Rightarrow m_2 = M $ ou $ m_1 = M \ Rightarrow m_2 = 0 $, não haveria tensão, pois uma das duas massas estaria livre queda. Nos casos intermediários, haveria tensão, pois há uma “” tração “” em ambos os lados da corda, quanto mais as massas $ m_1 $ e $ m_2 $ iguais uma à outra, menos movimento há e mais tração há a string.
Comentários
- Portanto, se meu argumento estava incorreto, isso só pode significar que o sistema não está em repouso. Mas como você pode dizer que o sistema não está em repouso?
- No caso acima temos uma polia sem atrito, com uma corda sem massa. A única maneira de o sistema estar em repouso é quando as duas massas são iguais (em seu cálculo, ' é o único caso em que a aceleração é igual a zero). Quando este é o caso, ambas as massas estão puxando com força igual nas duas pontas da corda. Observe que isso não ' necessariamente implica que o sistema está em repouso, ele também pode se mover com uma velocidade constante!
- @Gerard Se você fosse adicionar massa a a picada e / ou fricção com o pully, então pode haver outras situações em que o sistema está / fica em repouso.
- ' Não é verdade que ele permanece no mesmo lugar.Seu centro de massa está acelerando porque mesmo se m_1 estiver indo para cima e m_2 para baixo, as massas são diferentes, então elas têm um " peso " diferente no movimento global. Portanto, se m_2 > m_1 e m_2 está acelerando para baixo, então o centro de massa está indo para baixo.
- @Gerard: Certo, observe que para o seu propósito (ou seja força total atuando no sistema) repouso ou movimento não é o que você ' está realmente procurando. Eu ' fui descuidado simplesmente dizendo a você: " o sistema não está em repouso " . O que ' é importante é a aceleração total e, neste caso, ' é diferente de 0. Um movimento com velocidade constante não precisa de força atuando o sistema. Eu ' vou parar por aqui porque ' estamos usando mal o espaço para comentários.
Resposta
O sistema não está em repouso. Se você considerar as massas e a polia como um único sistema, poderá entender o comportamento do sistema pelo comportamento de seu centro de massa. A menos que as massas sejam iguais, o centro de massa do sistema não está em repouso.
Pode ser útil pensar desta forma – Dentro da massa limite do sistema $ m_1 $ desce através de uma distância enquanto a massa $ m_2 $ sobe na mesma distância. Assim, o centro de massa moveu-se para baixo (ou para cima dependendo se $ m_1 > m_2 $).
Assim, a tensão seria dada pela equação:
$$ (m_1 + m_2) a_ {cm} = (m_1 + m_2) g – T_c $$
Você pode descobrir que
$ a_ {cm} = a (m_2-m_1) / (m_1 + m_2) $, onde a é o valor da aceleração da massa $ m_1 $ que você mencionou.
Insira na equação e você descobrirá que:
$ T_c = \ frac {4m_1m_2} {m_1 + m_2} {g} $
Comentários
- É assim que tentarei ensinar este problema. Obrigado.
- Alguma chance de você ou @Nick comentar sobre a solução no formato 4g * mu? Sei que pode estar além do escopo do problema, mas quando vejo conexões como essa, tento entendê-las.
Resposta
Pronto é de fato uma falha em seu argumento. Em suma, a tensão no fecho da polia só é necessária para cancelar a força gravitacional total no sistema quando tudo está em equilíbrio ibrium e não há aceleração. No entanto, se as massas estiverem desequilibradas, uma delas cairá e a outra aumentará, e não está claro se isso manterá a força total no mesmo valor do caso equilibrado.
Na verdade, você pode verificar se quando as duas massas são iguais as respostas coincidem: a tensão correta no fecho da polia é $$ T_ \ text {clasp} = 2T = \ frac {4m ^ 2} {m + m} g = 2mg = (m + m) g. $$