Por que duas (ou mais) linhas de campo elétrico nunca se cruzam?

As linhas de campo elétrico são uma visualização do campo vetorial elétrico. Em cada ponto, a direção (tangente) da linha de campo está na direção do campo elétrico.

Em cada ponto no espaço (na ausência de qualquer carga), o campo elétrico tem uma única direção, enquanto o cruzamento das linhas de campo indicaria de alguma forma o campo elétrico apontando em duas direções ao mesmo tempo no mesmo local.

As linhas de campo se cruzam , ou pelo menos se cruzam, no sentido de que convergem na carga. Se houver um local com carga, as linhas do campo convergirão para esse ponto. No entanto, normalmente dizemos que as linhas de campo terminam na carga em vez de cruzá-las.

As linhas de campo elétrico revelam informações sobre a direção (e a intensidade) de um campo elétrico dentro de uma região do espaço. Se as linhas se cruzam em um determinado local, então deve haver dois valores distintos de campo elétrico com sua própria direção individual naquele determinado local. Isso nunca poderia ser o caso. Cada localização no espaço tem sua própria força de campo elétrico e direção associada a ela. Consequentemente, as linhas que representam o campo não podem cruzar-se em qualquer local do espaço.

Para exemplo, na imagem abaixo, as linhas estão se cruzando e, portanto, há duas direções para campo elétrico.

O campo elétrico em qualquer ponto é a soma de todos os campos devido a cada cobrança individual no sistema. O campo tem uma magnitude e uma direção. As linhas de campo são uma representação da magnitude e direção do campo em uma área ilustrada. As linhas do campo apontam na direção do campo. Se linhas de duas fontes se cruzassem, poderíamos efetivamente somar os dois campos naquele ponto e redesenhar as linhas de campo com a nova direção. Assim, podemos dizer que as linhas de campo nunca se cruzam porque a soma de dois vetores pode ter apenas uma direção (com exceção do vetor zero)

As linhas de campo são uma representação visual de uma construção matemática, como o gráfico de uma função. As propriedades de definição desta representação visual são

1. As linhas do campo correm paralelas ao campo em todos os pontos.
2. A densidade das linhas do campo em uma área é proporcional ao força do campo.

A segunda propriedade informa que as linhas do campo nunca podem se cruzar. Se o fizessem, a densidade no ponto em que eles cruzaram seria infinita e a implicação seria que a intensidade do campo é infinita. Isso não é físico.

Aqui está mais uma maneira de pensar sobre isso. O que significaria se duas linhas de campo se cruzassem em um determinado ponto? Isso significaria que o campo tinha duas direções diferentes naquele ponto. O princípio de superposição nos diz que o campo líquido é simplesmente a soma vetorial dos dois. Assim, o campo total teria apenas uma linha passando pelo mesmo ponto com uma direção que era dada pela soma das duas outras direções.

Uma partícula positiva acelera ao longo das linhas do campo elétrico. Se chegasse a uma interseção, que caminho deveria seguir?

A linha de dois campos elétricos nunca pode se cruzar porque em cada ponto, há uma direção tangencial única de campos elétricos. se tivessem, o campo no ponto de intersecção não teria uma direção única, o que é absurdo.