Por que o campo elétrico é zero onde as superfícies equipotenciais se cruzam?

Em primeiro lugar, vamos limpar o ar com um exemplo simples que mostra o comportamento desejado (e que é essencialmente isomórfico para a maioria dos casos não triviais). Considere em particular, a seguinte afirmação:

O potencial $ V (x, y, z) = V_0 \, xy $ é um potencial eletrostático perfeitamente válido, e pode muito naturalmente ser visto como tendo duas superfícies equipotenciais (o plano $ yz $ e o plano $ xz $) que se cruzam ao longo de uma linha.

Esse exemplo pode ser chocante para a intuição usual de que superfícies equipotenciais, como linhas de campo, nunca se cruzam, mas verifica-se perfeitamente – e é consistente com a afirmação de seu professor de que o campo elétrico, $$ \ mathbf E = – \ nabla V = -V_0 (y \, \ hat {\ mathbf x} + x \, \ hat {\ mathbf y}), $$ van ishes na interseção $ x = y = 0 $.

(Para aqueles que gostariam de estender o envelope um pouco mais: isto naturalmente generaliza para a interseção de qualquer número $ n $ de superfícies equipotenciais ao longo de um , simplesmente mudando para o potencial $ n $ -polar $ V (x, y, z) = V_0 \, \ mathrm {Re} \ mathopen {} \ left [\ left (x + iy \ right) ^ n \ right] \ mathclose {} $.)

Então, o que está acontecendo, ou como fornecemos alguma carne matemática real para a declaração em questão?

Bem, vamos começar definindo superfícies equipotenciais: uma superfície $ S: (D \ subseteq \ mathbb R ^ 2) \ to \ mathbb R ^ 3 $ é uma equipotencial do potencial eletrostático $ V : \ mathbb R ^ 3 \ to \ mathbb R $ sse $ V (S (u, v)) = V_0 $ é constante para todos $ (u, v) \ em D $. Além disso, sabemos que em qualquer ponto $ \ mathbf r = S (u, v) $ na superfície, o campo elétrico $ \ mathbf E = – \ nabla V $ tem um produto interno zero com qualquer vetor que se encontra dentro do plano tangente $ TS_ \ mathbf r $ ao superfície em $ \ mathbf r $, como consequência de tomar as curvas $ \ gamma: (a, b) \ para D $ e diferenciar a relação de constância $ V (S (\ gamma (t))) \ equiv V_0 $ com respeito ao parâmetro $ t $, dando $$ – \ dot \ gamma (t) \ cdot \ nabla V = \ dot \ gamma (t) \ cdot \ mathbf E = 0 $$ para todos os vetores $ \ dot \ gamma \ in TS_ \ mathbf r $. Como esse plano é bidimensional e o espaço é tridimensional, inferimos que há uma direção normal única $ \ hat {\ mathbf n} $ para a superfície e que $ \ mathbf E $ precisa ser paralelo ao normal (ou, possivelmente, zero), mas o resultado principal é que o componente $ \ mathbf E $ “s ao longo de qualquer direção dentro do plano tangente deve desaparecer.

OK, então vamos levantar a aposta e considerar duas superfícies diferentes $ S_i : D_i \ to \ mathbb R ^ 3 $, $ i = 1,2 $, que se cruzam em algum ponto $ \ mathbf r_0 $, e vamos também estipular que ambas as superfícies são equipotenciais de $ V $.

De cara, podemos inferir que o potencial em todos os pontos em ambas superfícies deve ser igual à mesma constante, porque $ V = V (\ mathbf r) $ é um (valor único ) função. Se for igual a $ V (\ mathbf r_0) = V_1 $ para $ \ mathbf r_0 \ em S_1 $, então deve ser igual a $ V_1 $ em $ S_1 $ – mas $ \ mathbf r_0 $ também está em $ S_2 $, então $ V $ também deve ser igual a $ V_1 $ em $ S_2 $. Isso é provavelmente o que seu professor estava falando na afirmação que você relata como

Ele também afirmou que duas superfícies equipotenciais não podem se cruzar, pois isso daria dois potenciais diferentes no mesmo ponto,

mas que provavelmente estava muito mais perto de

duas superfícies equipotenciais com um potencial diferente não podem se cruzar, pois isso daria dois potenciais diferentes no mesmo ponto.

Essa é a parte fácil.Vamos agora dizer algo não trivial: e o campo elétrico na interseção?

Vamos começar com o caso fácil primeiro, e assumir que os equipotenciais têm uma interseção de dimensão um adequada ao longo de um curva, o que implica que, em qualquer ponto $ \ mathbf r $ ao longo da interseção, os planos tangentes às duas superfícies se cruzarão em uma linha, e cada um deles terá uma direção separada e linearmente independente que não pertence ao outro plano.

Isso nos permite trazer as ferramentas que desenvolvemos anteriormente: sabemos que $ \ mathbf E $ precisa ter produto interno desaparecido com qualquer vetor que esteja dentro de qualquer plano tangente, exceto que agora nós têm três vetores linearmente independentes $ \ mathbf e_1, \ mathbf e_2 $ e $ \ mathbf e_3 $ para desaparecer, um ao longo da interseção e um outro vetor independente ao longo de cada plano. A única maneira de qualquer vetor $ \ mathbf v \ mathbb R ^ 3 $ satisfazer $ \ mathbf v \ cdot \ mathbf e_i = 0, $ para linearmente independente $ \ mathbf e_i, $ é para $ \ mathbf v = 0 $ . É daí que vem a afirmação do seu professor.

Finalmente, vamos abordar o caso um pouco mais patológico que você mencionou no final da sua pergunta:

Por que não pode haver apenas duas superfícies equipotenciais diferentes com o mesmo potencial […] que se tocam?

Esta não é uma “pergunta ruim, e a resposta é essencialmente que isso pode acontecer, mas as circunstâncias em que acontece são tão patológicas que estamos prontos para jogar aquele bebê fora com o banho de água. Quando dizemos “duas superfícies se cruzam”, normalmente queremos dizer que elas têm uma interseção de dimensão um ao longo de uma curva; se quisermos permitir que as superfícies se toquem ou tenham algum comportamento patológico semelhante, então iremos notar explicitamente que . (Os matemáticos são um pouco mais cuidadosos com sua linguagem, mas os físicos fazem coisas mais interessantes e você não pode perder tempo mexendo em pequenos detalhes.)

De qualquer forma, se você quiser um potencial com dois equipotenciais que toque em um único ponto, o exemplo mais limpo que posso pensar é $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2, $$ onde os equipotenciais $ V (\ mathbf r) = 0 $ são dois parabolóides circulares que se tocam no ápice. Isso não é uma solução da equação de Laplace, o que significa que não é um potencial razoável no espaço livre, mas você pode apenas definir a densidade de carga $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V $, e você obterá uma distribuição razoável. Se você quiser economizar nisso, então é melhor escolher $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) z, $$ para o qual a densidade de carga $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V = 2-4z $ é extremamente razoável, e que troca um dos parabolóides pelo plano $ z = 0 $.

Agora, para ambos os exemplos, você tenha um polinômio de ordem muito alta como seu potencial, e o campo elétrico desaparece no ponto de interseção dos equipotenciais. Se você quiser ter algo com equipotenciais tocantes e um campo elétrico diferente de zero, o mais próximo que eu cheguei de uma forma limpa é combinar os dois exemplos acima, dando três equipotenciais (os dois parabolóides e o plano $ xy $) encontrando em um ponto, $$ V (x, y, z) = \ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z, $$ com a $ V (0,0, z ) = z ^ 3 $ dependência ao longo do eixo $ z $, e então fatorar isso tomando uma raiz cúbica, dando $$ V (x, y, z) = \ left [\ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z \ right] ^ {1/3}, $$ que tem os mesmos equipotenciais de toque que acima, mas agora tem um campo elétrico constante $ \ nabla V = (0,0 , 1) $ em todos os pontos $ (0,0, z) $ com $ z \ neq 0 $. Infelizmente, no entanto, você não pode “ realmente concluir que o campo elétrico lá é diferente de zero, porque os limites de $ \ mathbf r \ to0 $ ao longo do eixo $ z $ e ao longo do plano $ xy $ não “t commute – e, de fato, $ \ nabla V $ diverge em todos os lugares no plano $ xy $.

Vou desenhar aqui a paisagem equipotencial quando cortada ao longo do plano $ xz $, para dar uma ideia do tipo de estrutura patológica que “você será empurrado considerando este tipo de casos:

^{Fonte: Importar [“ http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m “] [“ http://i.stack.imgur.com/0snLs.png “]}

O penhasco agudo está voltado para os equipotenciais na visualização 3D de $ V (x, 0, z) $ são marcadores claros do fato de que o campo elétrico é infinito em qualquer lugar nos equipotenciais $ V = 0 $, com a única exceção da origem quando aproximado do eixo $ z $.

De qualquer forma, esse é o tipo de preço que você precisa pagar para ter Os equipotenciais que se tocam sem que exijam um campo elétrico nulo no ponto de contato para manter tudo bonito e suave. Em geral, porém, você apenas descarta esses casos por decreto, exigindo uma interseção regular.

O campo elétrico está definido como o gradiente (negativo) de potencial eletrostático.Portanto, não pode haver campo elétrico ao longo da linha / superfície definida por um equipotencial.

Isso significa que o único campo elétrico permitido em um ponto em um equipotencial deve ser perpendicular ao superfície equipotencial, caso contrário, teria um componente diferente de zero ao longo da superfície.

Se houver dois equipotenciais de interseção diferentes, então o único campo elétrico válido é zero, uma vez que qualquer campo diferente de zero teria um não componente -zero ao longo de pelo menos um dos equipotenciais.

Uma exceção parece ser onde as superfícies equipotenciais são paralelas em sua interseção.

Comentários

• Eu ‘ tentei, e até agora não consegui, produzir um potencial com equipotenciais que tocam em um único ponto com normais paralelos e que, no entanto, produz um elétrico diferente de zero campo lá. Consegue ver através disso?
• @ Rob risca isso, encontrei um exemplo – mas ‘ não é exatamente a função mais simples que ‘ que já vi. Suspeito que se possa mostrar que tocar equipotenciais com um campo elétrico diferente de zero requer esse tipo de comportamento patológico, mas não ‘ não consigo ver como você ‘ d provar isso (ou, na verdade, por que você ‘ d se importaria o suficiente para gastar muito tempo tentando fazer isso).

Duas superfícies equipotenciais não podem se cruzar. A direção do campo elétrico em qualquer ponto de uma superfície equipotencial é perpendicular ao superfície nesse ponto. Se duas superfícies equipoenciais se cruzassem, o campo elétrico nos pontos de intersecção seria perpendicular à primeira superfície e à segunda superfície nesses pontos … em outras palavras, se duas superfícies equipotenciais pudessem se cruzar, você teria o campo elétrico apontando em duas direções em cada ponto de intersecção … uma apontando perpendicular à primeira superfície, a outra apontando perpendicular à segunda superfície. Isso é impossível.

Comentários

• A menos que o campo seja zero no ponto de intersecção?
• O potencial $ V ( x, y, z) = V_0 xy $ é um potencial eletrostático perfeitamente válido e pode muito naturalmente ser visto como tendo duas superfícies equipotenciais (o plano $ yz $ e o plano $ xz $) que se cruzam ao longo de uma linha.
• Muito interessante … Eu ‘ terei que pegar o ‘ livro de Griffith no fim de semana e fazer um pouco de revisão … Haven ‘ t estudei eletrostática desde que me formei em maio.

Porque se eles se cruzassem, a direção do campo elétrico é ambígua, portanto não é possível.

Comentários

• Não ambíguo ? Por que isso é um problema?
• Sim, é ambíguo e não inequívoco como sua resposta diz.

Ele também afirmou que duas superfícies equipotenciais não podem se cruzar, pois isso daria dois potenciais diferentes ao mesmo ponto.

Considere o campo elétrico e as superfícies equipotenciais de um dipolo elétrico

Crédito da imagem

Nenhuma das superfícies equipotenciais se cruzam. Além disso, a densidade das superfícies é maior ao longo da linha entre e através das duas cargas.

Agora, considere aquelas superfícies equipotenciais no limite de um dipolo elétrico ideal.

Crédito da imagem

Para o momento dipolar constante, a carga (mais / menos) deve aumentar conforme a distância de separação diminui, a densidade das superfícies equipotenciais ao longo da linha através do a superfície deve divergir no limite; parece que todas as superfícies equipotenciais devem se cruzar na localização do dipolo ideal e o campo elétrico é singular lá.

Comentários

• Eu entendo seu ponto de vista, uma vez que as esferas não são equipotenciais, não é óbvio que existam infinitas superfícies equipotenciais passando pelo ponto de contato … Não sei ….
• @ValterMoretti, OK, então duas esferas não condutoras, cada uma com densidade de carga fixa e uniforme de sinal oposto e raios idênticos e simetricamente posicionadas acima e abaixo do plano xy ao longo do eixo z, mas não tocando o plano. Isso cheira a um problema do tipo método de imagens e, em caso afirmativo, o plano x-y é a superfície potencial zero?Então, as superfícies equipotenciais positivas (negativas) circundam a esfera carregada positivamente (negativamente) e, à medida que as esferas são aproximadas, essas superfícies são ‘ comprimidas ‘ juntos ao longo da linha através do centro das esferas finalmente se tocando?
• Bem, agora eu acho que as superfícies equipotenciais diferentes do plano de separação entram nas esferas (não condutoras) e meu exemplo não trabalho: quando as esferas se tocam, há apenas uma surata equipotencial através do ponto de contato. Portanto, meu exemplo não funciona.
• @ValterMoretti, eu estava pensando se os equipotenciais poderiam entrar nas esferas e comecei a olhar através de Jackson quando seu comentário chegou.
• Sim, superfícies equipotenciais devem entrar nas esferas: tome qualquer ponto dentro da esfera esquerda, lá o campo elétrico devido à própria esfera desaparece. O campo elétrico dentro do campo da esfera esquerda é, portanto, totalmente devido à esfera direita e é o mesmo de uma carga pontual centrada fora da esfera esquerda. É evidente que as superfícies equipotenciais entram nas esferas esquerdas desta forma. Eu estava pensando aqui em esferas com carga superficial! Se a carga está no volume? Eu não sei