O seguinte é uma pergunta da entrevista de Mark Joshi et al. Quant Job Interview.
Pergunta: Por que o movimento browniano é útil em finanças?
Eu tenho um background de PhD em Matemática Pura (análise funcional, particularmente Teoria Espacial de Banach). Eu gostaria de me aventurar na indústria de finanças quânticas após minha graduação de doutorado.
Portanto, não tenho ideia de como responder à pergunta acima, pois parece que a maioria dos livros de cálculo estocástico envolveria falar sobre o movimento browniano, mas nunca forneceria motivações.
Comentários
- Olá: um motivo é que ele ' é um martingale e alguns concordam em ver os preços das toras como um martingale. Portanto, o BW pode ser um processo razoável a ser usado para modelar mudanças nos preços das toras. Na verdade, toda a estrutura do black scholes é baseada nessa suposição.
- movimento browniano padrão ou movimento browniano geométrico?
- Acho que posso responder a ambos?
- A principal utilidade de BM e Ito Calculus em oposição a coisas como passeios aleatórios discretos é a capacidade de um portfólio de derivativos em tal universo ser continuamente coberto.
Resposta
O movimento browniano é simplesmente o limite de um passeio aleatório em escala (tempo discreto) e, portanto, um candidato natural a ser usado. É muito intuitivo e sem dúvida um dos processos estocásticos de tempo contínuo mais simples e mais bem compreendidos. Além disso, não se esqueça de que você obtém muitos mais processos estocásticos como funções de um movimento browniano (alterado com o tempo). Em muitos livros sobre cálculo estocástico, você primeiro define a integral Ito com relação a um movimento browniano antes de estendê-lo ao geral semimartingales. Supondo que os log-retornos sigam um movimento browniano (com deriva), você pode derivar facilmente soluções de forma fechada para os preços das opções. O movimento browniano é, além disso, markoviano e um martingale que representam propriedades-chave nas finanças.
O movimento browniano foi introduzido pela primeira vez por Bachelier em 1900. Samuelson então usou o exponencial de um movimento browniano (movimento browniano geométrico) para evitar a negatividade de um modelo de preço de ações. Com base neste trabalho, Black e Scholes encontraram sua famosa fórmula em 1973.
Comentários
- Essa parece ser a resposta que eles querem que você dê em uma entrevista. Uma palavra de advertência, já que você tem um background puro de matemática. Todos esses modelos fazer suposições de que várias quantidades são e Gaussiano normalmente distribuído. Os dados da vida real, não. Se os modelos ainda são úteis ou não, é exatamente a questão para a qual eles deveriam contratar um PhD em matemática pura.
- Mas por que um passeio aleatório é um candidato natural para modelagem de ativos? A resposta é uma questão econômica em vez de matemática (se os retornos pudessem ser " previstos ", então a negociação ocorreria de forma que os retornos não seja mais " previsível ")
Resposta
Os objetos físicos se movem de acordo com curvas suaves simples que podem ser representadas por polinômios de ordem inferior: uma linha reta, uma parábola, uma elipse, etc.
Os preços do mercado financeiro se movem de uma forma completamente diferente, como pode ser visto em qualquer gráfico de preços de ações, taxas de juros etc. em um jornal: há flutuações constantes e erráticas, às vezes em uma direção, às vezes na outra, às vezes pequenas e às vezes grandes, que dão à curva uma aparência áspera e aleatória. O movimento browniano é um modelo adequado para esse tipo de curva.