Eu estava fazendo esta pergunta sobre como calcular o campo elétrico em um determinado ponto de uma esfera (comprimento $ r $ longe do centro), onde a densidade de carga é dado por uma equação. Quando verifiquei a solução para esta questão, disse para calcular a carga elementar $ dQ $ para o volume elementar da esfera $ dV $, usando a equação de densidade de carga. Diz que o volume entre duas camadas concêntricas dentro da esfera, nas distâncias $ r $ e $ r + dr $ é
$$ dV = \ frac {4 \ pi (r + dr) ^ 3} {3} – \ frac {4 \ pi (r) ^ 3} {3} = \ frac {4 \ pi (3r ^ 2dr + 3rdr ^ 2 + dr ^ 3))} {3}. $$
Agora, por que isso é igual a $ 4 \ pi r ^ 2dr $?
Comentários
- A heurística empregada neste cálculo é que , uma vez que $ dr $ é muito pequeno, ao quadrado ou ao cubo torna-o muito menor. Conseqüentemente, os termos $ 3rdr ^ 2 $ e $ dr ^ 3 $ são desprezíveis e podem simplesmente ser descartados.
- Isso não tem absolutamente nada a ver com física! Pergunte em um q & um site de matemática. Na verdade, @sourisse deu a você a resposta correta.
- Acho que isso é bastante relevante para a física, na verdade, é uma aproximação / método / ferramenta muito usada muito na física, por ex. eletrostática, gravitação, estado sólido etc etc etc
- BTW, você também pode pensar em $ 4 \ pi r ^ 2 dr $ como o volume de uma concha esférica com raio $ r $ e espessura $ dr $ – apenas superfície área multiplicada pela espessura
- @FraSchelle Acho que se você perguntasse isso em math.stackexchange, seria direcionado aqui …
Resposta
O comentário de Sourisse responde à sua pergunta, mas apenas para registro, vou expandi-lo aqui como uma resposta Wiki. Observe que esta é a resposta de um físico – qualquer matemático presente faria bem em desviar seu olhar agora.
Lembre-se de que quando dizemos que o elemento de volume é:
$$ dV = 4 \ pi r ^ 2 dr \ tag {1} $$
Estamos falando sobre o limite em que $ dr \ rightarrow 0 $. Se $ dr $ for extremamente pequeno, então $ dr ^ 2 $ é extremamente extremamente pequeno e $ dr ^ 3 $ é extremamente extremamente extremamente pequeno. Portanto, no limite de $ dr \ rightarrow 0 $, podemos simplesmente ignorar as potências superiores e sua equação completa se transforma na equação (1).
Comentários
- Senhor, esta é a mesma coisa que nos foi ensinada, mas há alguma maneira de usar os termos de $ (dr) ^ 2 $ ou superior poder em cálculo ou integração? Muito obrigado!
Resposta
$ v = \ dfrac {4} { 3} \ pi r ^ 3 $
Diferenciando em relação a $ r $
$ \ dfrac {dv} {dr} = 4 \ pi r ^ 2 $
$ dv = 4 \ pi r ^ 2 dr $
Comentários
- certo! este é o tipo de elemento entary " truque " esquecido com muita frequência. Pena que você não pode ' obter o fator $ \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi $ de $ 4 \ pi $ desta forma.