Prova de fórmula Baker-Campbell-Hausdorff mais fraca [duplicado]

Primeiro, eu suponho que os operadores dimensionais finitos: caso contrário, você precisa verificar certas condições de limite nos operadores. Como a série CBH está truncada aqui pelos comutadores duplos desaparecidos, as condições para operadores lineares em eg $ \ mathbf {L} ^ 2 (\ mathbb {R}) $ serão moderadas.

Você precisa praticar as operações com $ \ mathrm {Ad} $. Procure o seguinte. No grupo de Lie $ \ mathfrak {G} $ com álgebra $ \ mathfrak {g} $ o vetor tangente ao caminho:

$$ \ sigma: \ mathbb {R} \ to \ mathfrak {G }; \; \ sigma (\ tau) = e ^ A \, e ^ {\ tau \, B} \, e ^ {- A}; \; A, \, B \ in \ mathfrak {g} \ tag {1} $$

na identidade é $ \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B = \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B $. Aqui $ \ mathrm {Ad}: \ mathfrak {G} \ to GL (\ mathfrak {g}) $ é a Representação Adjunta . É um homomorfismo de grupo de Lie do grupo de Lie geral $ \ mathfrak {G} $ para o grupo de Lie de matriz $ GL (\ mathfrak {g}) $. Seu kernel é o centro de $ \ mathfrak {G} $. Por ser um homomorfismo, temos $ \ mathrm {Ad} (\ gamma \, \ zeta) = \ mathrm {Ad} (\ gamma) \, \ mathrm {Ad} (\ zeta); \, \ forall \ gamma , \, \ zeta \ in \ mathfrak {G} $. Outra identidade útil é:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B & = & \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B \\ & = & B + \ mathrm {ad} (A) B + \ frac {\ mathrm {ad} (A) ^ 2} {2!} \, B + \ cdots \\ & = & B + [A, \, B] + \ frac {1} {2!} \, [A, \, [A, \, B]] + \ cdots \ end {array} \ tag {2} $$

e esta série é universalmente convergente se o operador $ B \ mapsto [A, \, B] $ é adequadamente limitado ( por exemplo $ \ left \ | [A, \, B] \ right \ | \ leq K (A) \, \ left \ | B \ right \ | $ para algum $ K (A ) \ in \ mathbb {R} $ – isso certamente é verdade em dimensões finitas).

Agora, por (1) e a propriedade de homomorfismo ($ \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \ , A} \, e ^ {\ lambda \, B}) = \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \, \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) $), você pode descobrir que:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {d} _ \ lambda f & = & A \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, A + B)} \\ & = & \ left (A + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {- \ lambda \, A} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, A} \ right) \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} \\ & = & \ left (A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, ( A + B) \ right) \ right) \, f \ end {array} \ tag {3} $$

Todos os itens acima são perfeitamente gerais. Você precisa se especializar para seu caso truncado. Portanto, use a série universalmente convergente (e aqui truncada em dois termos) (2) para expandir $ A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, (A + B) \ right) $ e truncar para o seu caso especial e acho que você deve fazer algum progresso.

Uma implicância pedante: embora ambas as ordens para o nome sejam bastante comuns, a ordem que reflete com precisão a precedência histórica é “Campbell-Baker-Hausdorff”, pois cada um dos autores fez suas contribuições em 1897/1898 (Campbell), 1905 (Baker) e 1906 (Hausdorff ), respectivamente. Cada um estava ciente do trabalho de seus precursores “, mas, como afirmado no Fascículo 16, Capítulo 1 de Bourbaki (1960),” cada um achou as demonstrações de seus precursores pouco convincentes (!) “. Essa afirmação sempre me faz rir e me consola um pouco. “Não sou o único com uma taxa de compreensão de cerca de 5% na leitura de literatura técnica (acho que preciso ler um artigo cerca de 20 vezes em média para” entendê-lo “). Um fato engraçado é que nenhum desses três realmente deu certo para a série. Em vez disso, eles estabeleceram o teorema de que a série era convergente dentro de algum bairro de $ \ mathbf {0} $ na álgebra de Lie e compreende apenas operações lineares e de colchetes de Lie. A fórmula em si é devida a Dynkin e foi totalmente elaborada em 1947!

Comentários

• muito obrigado por responder! Eu ' farei o meu melhor para estudar sua resposta, apesar do meu pequeno conhecimento de nível introdutório sobre grupos de mentiras e álgebras.
• @quarkleptonboson I ' adicionamos outra etapa à Eq. (3) para ajudá-lo.Pense em todos os operadores como matrizes quadradas $ N \ times N $ e todos os colchetes de Lie e multiplicações tornam-se então multiplicações de matrizes concretas. (2) é sempre uma série de potências de matriz literal, já que o grupo de transformações lineares invertíveis em $ \ mathfrak {g} $ é sempre um grupo de matrizes.