Aqui, queremos mostrar que o método Box-Muller gera um par de variáveis aleatórias gaussianas padrão independentes . Mas não entendo por que usamos o determinante? Para mim, quando você tem duas variáveis independentes, a função de densidade conjunta é apenas o produto das duas funções de densidade. Alguém pode me explicar o significado do determinante aqui? Por favor.
Comentários
- Há uma " mudança de variáveis " envolvida na passagem de X para Y e, portanto, você para multiplicar pelo Jacobiano da transformação que é o determinante que você vê acima. Veja por exemplo a proposição 8 aqui math.uah.edu/stat/dist/Transformations.html
- Ok, entendo, obrigado Alex por sua resposta.
Resposta
Seja $ Z = \ sqrt {-2 \ ln (X_1)} $, temos
\ begin {align} \ mathbb {P} \ left [Z \ leq z \ right] = \ mathbb { P} \ left [-2 \ ln (X_1) \ leq z ^ 2 \ right] = \ mathbb {P} \ left [\ ln (X_ 1) \ geq – \ frac {z ^ 2} {2} \ right] = 1 – \ mathbb {P} \ biggl [X_1 < \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right) \ biggr] \, \ end {align} $ X_1 $ é uniformemente definido em $ [0, 1] $, portanto $$ \ mathbb {P} [Z \ leq z] = 1 – \ int_0 ^ {\ exp (-z ^ 2/2)} \, dt = 1 – \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right). $$ De fato $$ f_Z (z) = \ begin {cases} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \\ 0 \ qquad \ qquad, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ let $ W = 2 \ pi X_2 $. Portanto, $ X_2 $ é uniformemente distribuído em $ [0,1] $, então $$ f_W (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi}, \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \, \, \, \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Visto que $ X_1 $ e $ X_2 $ são independentes, $ Z $ e $ W $ devem ser independentes. Temos $$ f_ {Z, W} (z, w) = f_ {Z} (z) f_ {W} (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \ quad \ text {e} \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \ qquad \ qquad \ quad \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Definir função $ q: (0, \ infty) \ times ( 0,2 \ pi] \ para \ mathbb {R} ^ 2 $ tal que $ q (z, w) = (z \ cos (w), z \ sin (w)) $ assim $$ \ mathbb {P} _ {Y_1, Y_2} = \ mathbb {P} _ {Z, W} \ circ q ^ {- 1} $$ em outras palavras $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {f_ { Z, W} (q ^ {- 1} (y_1, y_2))} {| \ det (q “(q ^ {- 1} (y_1, y_2))) |} $$ podemos mostrar facilmente $$ z = \ sqrt {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} $$ depois $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} {2} \ right) $$
Resposta
Pode-se ver que $ Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2 = -2 \ log {X_2} $ e que $ Y_2 \ sobre Y_1 $ $ = \ tan (2 \ pi X_1) $ .
Portanto $ X_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {\ arctan {Y_2 \ over Y_1}} $ e $ X_2 = \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ over 2} $ .
Tirando o diferencial para obter $ dX_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {{- Y_2dY_1 + Y_1dY_2} \ over {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2}} $ .
Da mesma forma, $ dX_2 = {\ exp {- {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2} \ over 2} (Y_1 dY_1 + Y_2dY_2)} $ .
Daí Jacobian $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ over {Y_1, Y_2}}) $ = $ 1 \ over {2 \ pi} $ $ \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ over 2 } $ .
Para PDFs, como $ f_ {X_1, X_2} (x_1, x_2) $ $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ over {Y_1, Y_2}}) = $ $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) $ ,
dá $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ over 2} $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ mais de 2} $
mostrando que $ Y_1, Y_2 $ são variáveis aleatórias Gaussianas independentes.
Commen ts
- intervalo de $ X_1 $ deve ser (0,1), mas $ X_1 = \ frac {1} {2 \ pi} \ arctan {\ frac {Y_2 } {Y_1}} $ é $ (- \ frac {1} {4}, \ frac {1} {4}) $