Qual é a definição de distribuição simétrica? Alguém me disse que uma variável aleatória $ X $ veio de uma distribuição simétrica se e somente se $ X $ e $ -X $ tem a mesma distribuição. Mas eu acho que esta definição é parcialmente verdadeira. Porque posso apresentar um contra-exemplo $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ {2}) $ e $ \ mu \ neq0 $. Obviamente, tem uma distribuição simétrica, mas $ X $ e $ -X $ têm uma distribuição diferente! Estou certo? Vocês já pensaram sobre essa questão? Qual é a definição exata de distribuição simétrica?
Comentários
- Quando você diz, uma distribuição ” é simétrica “, você tem que especificar em relação a qual ponto é simétrico. No caso da distribuição normal que você apresenta, a simetria é dada em torno de $ \ mu $. Nesse caso, $ X- \ mu $ e $ – (X- \ mu) $ têm a mesma distribuição. Em termos de densidade, isso pode ser expresso como: $ f $ é simétrico em relação a $ \ mu $ se $ f (\ mu-x) = f (\ mu + x) $. Aliás, é uma boa educação aceitar respostas quando você está satisfeito com uma delas.
- Sim, nós pensamos sobre essa questão. Simétrico geralmente significa simétrico em torno de $ 0 $ e, para evitar outros contra-exemplos, a afirmação de que as distribuições são simétricas não é algo verdadeiro sobre a função de distribuição de probabilidade cumulativa . Seu ” contra-exemplo ” tem simetria sobre o ponto $ \ mu \ neq 0 $, não sobre o ponto $ 0 $.
- @Dilip Quando uma definição depende de uma maneira de descrever algo, mas essa definição pode ser considerada uma propriedade intrínseca desse algo, então não faz sentido aplicar a definição a um diferente forma de descrição. Nesse caso, a simetria é uma propriedade de uma distribuição , mas isso não significa que todas as descrições dessa distribuição (incluindo o PDF e o CDF) devem ser ” simétrico ” da mesma maneira. Ao aplicar a simetria do PDF ao CDF, seu comentário confunde a questão em vez de esclarecê-la.
- shijing, @Procrastinator observou que você fez muitas perguntas sem aceitar nenhuma resposta. Isso sugere que você pode não estar familiarizado com o funcionamento deste site. Para esclarecer qualquer mal-entendido, leia a parte relevante de nossas Perguntas frequentes até o fim ? Isso levará apenas alguns minutos e seguir suas orientações aumentará o valor do nosso site para você.
- @whuber O CDF é uma das poucas descrições em que a palavra distribuição realmente ocorre no nome, e eu estava tentando esclarecer que a propriedade de simetria não era válida para o CDF.
Resposta
Resumidamente: $ X $ é simétrico quando $ X $ e $ 2aX $ têm a mesma distribuição para algum número real $ a $. Mas chegar a isso de uma maneira totalmente justificada requer algumas digressões e generalizações, porque levanta muitas questões implícitas: por que esta definição de” simétrico “? Pode haver outros tipos de simetrias? Qual é a relação entre uma distribuição e suas simetrias e, inversamente, qual é a relação entre uma “simetria” e aquelas distribuições que podem ter essa simetria?
As simetrias em questão são reflexos do linha real. Todos são da forma
$$ x \ a 2a-x $$
para alguma constante $ a $.
Então, suponha que $ X $ tenha esta simetria para pelo menos um $ a $. Então, a simetria implica
$$ \ Pr [X \ ge a] = \ Pr [2a-X \ ge a] = \ Pr [X \ le a] $$
mostrando que $ a $ é uma mediana de $ X $. Da mesma forma, se $ X $ tem uma expectativa, então segue imediatamente que $ a = E [X] $. Assim, geralmente podemos fixar $ a $ facilmente. Mesmo se não, $ a $ (e, portanto, a própria simetria) ainda é determinada exclusivamente (se é que existe).
Para ver isso, seja $ b $ qualquer centro de simetria. Em seguida, aplicando ambas as simetrias, vemos que $ X $ é invariável sob a tradução $ x \ para x + 2 (b-a) $. Se $ b-a \ ne 0 $, a distribuição de $ X $ deve ter um período de $ b-a $, o que é impossível porque a probabilidade total de uma distribuição periódica é $ 0 $ ou infinita. Assim, $ ba = 0 $, mostrando que $ a $ é único.
Mais geralmente, quando $ G $ é um grupo que atua fielmente na linha real (e por extensão em todos os seus subconjuntos do Borel), podemos dizer que uma distribuição $ X $ é “simétrica” (em relação a $ G $) quando
$$ \ Pr [X \ em E] = \ Pr [X \ em E ^ g] $$
para todos os conjuntos mensuráveis $ E $ e elementos $ g \ em G $, onde $ E ^ g $ denota a imagem de $ E $ sob a ação de $ g $.
Por exemplo, deixe $ G $ ainda ser um grupo de ordem $ 2 $, mas agora que sua ação seja tomar o recíproco de um número real (e fixar $ 0 $). A distribuição lognormal padrão é simétrica em relação a este grupo. Este exemplo pode ser entendido como uma instância de uma simetria de reflexão onde uma re-expressão não linear das coordenadas ocorreu. Isso sugere focar em transformações que respeitem a “estrutura” da linha real. A estrutura essencial para a probabilidade deve estar relacionada aos conjuntos de Borel e à medida de Lebesgue, sendo que ambos podem ser definidos em termos de distância (euclidiana) entre dois pontos.
Uma preservação de distância map é, por definição, uma isometria. É bem conhecido (e fácil, embora um pouco complicado de demonstrar) que todas as isometrias da linha real são geradas por reflexos. Portanto, quando é entendido que “simétrico” significa simétrico em relação a algum grupo de isometrias , o grupo deve ser gerado por no máximo uma reflexão e vimos que a reflexão é determinada exclusivamente por qualquer distribuição simétrica em relação a ele. Nesse sentido, a análise anterior é exaustiva e justifica a terminologia usual de distribuições “simétricas”.
A propósito, uma série de exemplos multivariados de distribuições invariantes em grupos de isometrias é fornecido considerando distribuições “esféricas”. Eles são invariantes em todas as rotações (em relação a algum centro fixo). Estes generalizam o caso unidimensional: as “rotações” da linha real são apenas os reflexos.
Finalmente, vale a pena apontar que uma construção padrão – média sobre o grupo – dá um caminho para produzir cargas de distribuições simétricas. No caso da linha real, seja $ G $ gerado pela reflexão sobre um ponto $ a $, de modo que consista no elemento identidade $ e $ e nesta reflexão $ g $. Seja $ X $ qualquer distribuição. Defina a distribuição $ Y $ configurando
$$ {\ Pr} _Y [E] = \ frac {1} {| G |} \ sum_ {g \ in G} {\ Pr} _X [ E ^ g] = ({\ Pr} _X [E] + {\ Pr} _X [E ^ g]) / 2 $$
para todos os conjuntos de Borel $ E $. Isso é manifestamente simétrico e “é fácil verificar se permanece uma distribuição (todas as probabilidades permanecem não negativas e a probabilidade total é $ 1 $).
Ilustrando o processo de cálculo da média do grupo, o PDF de uma distribuição Gamma simetrizada (centrado em $ a = 2 $) é mostrado em ouro. O Gamma original está em azul e seu reflexo está em vermelho.
Comentários
- (+1) Gostaria de acrescentar que, na configuração multivariada, a definição de simetria não é único. Neste livro , existem 8 definições possíveis de distribuições multivariadas simétricas.
- @Procrastinator I ‘ estou curioso sobre o que você pode querer dizer com ” não único. ” AFAIK, qualquer coisa que justifique o nome ” simetria ” refere-se basicamente a uma ação de grupo em um espaço. Seria interessante para ver que diferentes tipos de ações os estatísticos acharam úteis. Como esse livro está esgotado e não está disponível na web, você poderia dar um exemplo rápido de dois tipos realmente diferentes de simetria considerados nesse livro?
- Sua intuição está correta, isso está relacionado a recursos estatísticos : Simetria central $ {\ bf X} – \ mu \ stackrel {d} {=} – ({\ bf X} – \ mu) $; Simetria esférica $ X- \ mu \ stackrel {d} {=} {\ bf O} ({\ bf X} – \ mu) $ para toda matriz ortogonal $ {\ bf O} $. Não consigo me lembrar do resto, mas tentarei pegar o livro emprestado nesses dias. Neste link você pode encontrar alguns deles.
- @Procrastinator Obrigado. Observe que os dois exemplos que você oferece são casos especiais da definição geral que forneci: a simetria central gera um grupo de isometrias de dois elementos e as simetrias esféricas também são um subgrupo de todas as isometrias. A ” simetria elíptica ” no link é uma simetria esférica após uma transformação afim, e assim exemplifica o fenômeno que apontei com o lognormal exemplo. As ” simetrias angulares ” novamente formam um grupo de isometrias. A ” simetria de meio-espaço ” [sic] não é uma simetria, mas permite partidas discretas dela: que ‘ s novo.
Resposta
A resposta dependerá do que você quer dizer com simetria. Na física, a noção de simetria é fundamental e se tornou muito geral. Simetria é qualquer operação que deixe o sistema inalterado.No caso de uma distribuição de probabilidade, isso poderia ser traduzido em qualquer operação $ X \ a X “$ que retorne a mesma probabilidade $ P (X) = P (X”) $.
No caso simples do primeiro exemplo, você está se referindo à simetria de reflexão sobre o máximo. Se a distribuição fosse senoidal, então você poderia ter a condição $ X \ to X + \ lambda $, onde $ \ lambda $ é o comprimento de onda ou período. Então $ P (X) = P (X + \ lambda) $ e ainda caberia em uma definição mais geral de simetria.