Qual é a diferença entre escores Z e valores p?

Eu diria, com base na sua pergunta, que não há diferença entre os três testes. Isso ocorre no sentido de que você sempre pode escolher A, B e C de forma que se chegue à mesma decisão, independentemente do critério que estiver usando. Embora seja necessário que o valor p seja baseado na mesma estatística (ou seja, o Z-score)

Para usar o Z-score, a média $ \ mu $ e a variância $ \ sigma ^ 2 $ são considerados conhecidos e a distribuição é considerada normal (ou assintoticamente / aproximadamente normal). Suponha que o critério do valor p seja o usual 5%. Então temos:

$$ p = Pr (Z > z) < 0,05 \ rightarrow Z > 1,645 \ rightarrow \ frac {X- \ mu} {\ sigma} > 1,645 \ rightarrow X > \ mu + 1,645 \ sigma $$

Portanto, temos o $ triplo (0,05, 1,645, \ mu + 1,645 \ sigma) $, que representam os mesmos pontos de corte.

Observe que a mesma correspondência se aplicará ao teste t, embora os números sejam diferentes. O teste de duas caudas também terá uma correspondência semelhante, mas com números diferentes.

Comentários

• Obrigado por isso! (e obrigado aos outros respondentes também).

Uma pontuação de $ Z $ descreve o seu desvio da média em unidades de desvio padrão. Não é explícito se você aceita ou rejeita sua hipótese nula.

Um valor $ p $ é a probabilidade de que, sob a hipótese nula, possamos observar um ponto tão extremo quanto sua estatística. Isso diz explicitamente se você rejeita ou aceita sua hipótese nula dado um tamanho de teste $ \ alpha $.

Considere um exemplo onde $ X \ sim \ mathcal {N} (\ mu, 1) $ e o a hipótese nula é $ \ mu = 0 $. Então você observa $ x_1 = 5 $. Seu $ Z $ -score é 5 (que apenas informa o quanto você se desvia de sua hipótese nula em termos de $ \ sigma $) e seu $ p $ -valor é 5,733e-7. Para 95% de confiança, você terá um tamanho de teste $ \ alpha = 0,05 $ e, como $ p < \ alpha $, você rejeitará a hipótese nula. Mas, para qualquer estatística, deve haver alguns $ A $ e $ B $ equivalentes, de modo que os testes sejam iguais.

Comentários

• @ Gary – um valor p não ' diz a você para rejeitar ou não mais do que um Z-score. Eles são apenas números. É apenas a regra de decisão que determina a aceitação ou rejeição. Esta regra de decisão poderia igualmente ser definida em termos de um Z-score (por exemplo, a regra $ 2 \ sigma $ ou $ 3 \ sigma $)
• @probabilityislogic Concordo com você. Na verdade, você poderia construir algum teste com base no limite de pontuação de $ Z $, mas não permite definir explicitamente um tamanho de teste no sentido clássico (ou seja, em termos de probabilidade). Este tipo de critério pode ser problemático se a sua distribuição tiver caudas grossas. Quando você constrói um teste, você define explicitamente um tamanho de teste e, portanto, o valor $ p $ imediatamente diz se você aceita ou rejeita, que é o que eu estava tentando fazer.
• @gary – not realmente, pois o valor p não faz referência a alternativas. Portanto, ele não pode ' ser usado para comparar alternativas diretamente. Por exemplo, tome $ H_0: \ mu = 0 $ vs $ H_A: \ mu = -1 $. O valor p para $ H_0 $ permanece o mesmo $ 5 \ vezes 10 ^ {- 7} $. Então você diz " rejeitar o " nulo, o que significa " aceitar a alternativa " e declara $ \ mu = -1 $. Mas isso é um absurdo, ninguém faria isso, mas a regra do valor p que você usa aqui faz isso.Dito de outra forma, a regra do valor p que você descreveu não é invariável em relação ao que é chamado de " hipótese nula " (resolução chegando )
• (cont ' d) A resolução do aparente absurdo é observar que o valor p não é um " teste " absoluto, mas relativo, definido com uma hipótese alternativa implícita. Nesse caso, a alternativa implícita é $ H_ {imp}: \ mu = 5 $. Você pode ver isso observando que, se eu calcular o valor p de $ H_A $, obtenho $ 1 \ vezes 10 ^ {- 9} $, que é menor do que o valor p de $ H_0 $. Agora, neste exemplo, a " alternativa implícita " é fácil de encontrar por intuição, mas é muito mais difícil de encontrar em problemas mais complexos , onde parâmetros incômodos ou nenhuma estatística suficiente.
• @Gary – o valor p não é mais rigoroso apenas porque é uma probabilidade. É uma transformação monotônica de 1 para 1 do Z-score. qualquer " rigor " possuído pelo valor p também é possuído pelo Z-score. Embora, se você estiver usando um teste bilateral, o equivalente é o valor absoluto do Z-score. E para comparar $ H_1: \ mu \ neq 0 $ com o nulo, você deve adotar uma abordagem " minimax ": que é escolher a hipótese precisa que é mais apoiada pelos dados e consistente com $ H_1 $. A menos que você possa demonstrar como calcular $ P (X | \ mu \ neq 1) $

$ p $ -value indica o quão improvável a estatística é. $ z $ -score indica o quão longe da média está. Pode haver uma diferença entre eles, dependendo do tamanho da amostra.

Para grandes amostras, mesmo pequenos desvios da média tornam-se improváveis. Ou seja, o valor de $ p $ pode ser muito pequeno, mesmo para um baixo valor de $ z $. Por outro lado, para pequenas amostras, mesmo grandes desvios não são improváveis. Ou seja, um grande valor de $ z $ não significa necessariamente um pequeno valor de $ p $.

Comentários

• se o tamanho da amostra for grande, então o desvio padrão será pequeno, portanto, o Z-score será alto. Acho que você pode descobrir isso se tentar um exemplo numérico.
• Na verdade, não. Suponha que você faça uma amostra de N (0, 1). Então, seu padrão será cerca de 1, independentemente do tamanho da amostra. O que ficará menor é o erro padrão da média, não o desvio padrão. Os valores p são baseados no SEM, não no padrão.
• O Z-score é (média observada) / (desvio padrão). Mas a média e o desvio padrão são da estatística observada, não da população da qual seus componentes foram extraídos. Minha terminologia frouxa foi capturada aqui. No entanto, se você estiver testando a média, o desvio padrão apropriado no Z-score é o erro padrão, que fica menor na mesma taxa que o p-value.