Em muitos lugares da física estatística, usamos a função de partição . Para mim, as explicações de seu uso são claras, mas me pergunto qual é seu significado físico. Alguém pode explicar com um bom exemplo sem muitas complicações matemáticas?
Comentários
- Além de ser um fator de normalização, muitas de suas características significativas para cálculos surgem de sua semelhança com as transformadas Z e Laplace, graças à distribuição de Boltzmann exponencial com energia, que é uma espécie de " co-indidência " porque eles não ' não funcionariam com uma distribuição diferente.
- Você leu o " que significa " seção no artigo da Wikipedia ? Se sim, o que ' não o satisfaz sobre " isso codifica como as probabilidades são particionadas entre os diferentes microestados " ?
- Possível duplicata de A eficácia irracional da função de partição
Resposta
A função de partição é uma medida do volume ocupado pelo sistema no espaço de fase. Basicamente, ele informa quantos microestados estão acessíveis ao seu sistema em um determinado conjunto. Isso pode ser facilmente visto a partir do conjunto microcanônico .
No conjunto microcanônico, onde cada microestado com energia entre $ E $ e $ E + \ Delta E $ é igualmente provável, a função de partição é
$$ Z_ {mc} (N, V, E) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int_ {E < \ mathcal H (\ {p, q \}) < E + \ Delta E } d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {1} $$
onde a integral é apenas o hipervolume da região do espaço de fase onde a energia (hamiltoniana) $ \ mathcal H $ do sistema está entre $ E $ e $ E + \ Delta E $, normalizado por $ h ^ {3N} $ para torná-lo adimensional. O fator $ N! ^ {- 1} $ leva em consideração o fato de que ao trocar o “rótulo” em duas partículas, o microestado não muda.
$$ S = k_B \ log (Z_ {mc}) \ tag {2} $$
informa que a entropia é proporcional a o logaritmo do número total de microestados correspondentes ao macroestado do seu sistema, e este número é apenas $ Z_ {mc} $.
Nos conjuntos canônico e grand-canônico, o significado da função de partição permanece o mesmo, mas como a energia não é mais fixa, a expressão vai mudar.
A função de partição canônica é
$$ Z_c (N, V, T) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int e ^ {- \ beta \ mathcal H (\ {p, q \})} d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {3} $$
Neste caso, integramos todo o espaço de fase, mas atribuímos a cada ponto $ \ {p, q \} = (\ mathbf p_1, \ dots \ mathbf p_N, \ mathbf q_1, \ dots \ mathbf q_N) $ a peso $ \ exp (- \ beta \ mathcal H) $, onde $ \ beta = (k_B T) ^ {- 1} $, de modo que aqueles estados com energia muito maior que $ k_B T $ são menos prováveis. Neste caso, a conexão com a termodinâmica é dada por
$$ – \ frac {F} {T} = k_B \ log (Z_c) \ tag {4} $$
onde $ F $ é a energia livre de Helmholtz .
A grande função de partição canônica é
$$ Z_ { gc} (\ mu, V, T) = \ sum_ {N = 0} ^ \ infty e ^ {\ beta \ mu N} Z_c (N, V, T) \ tag {5} $$
onde desta vez também estamos somando todos os valores possíveis do número de partículas $ N $, ponderando cada termo por $ \ exp (\ beta \ mu N) $, onde $ \ mu $ é o potencial químico .
A conexão com a termodinâmica é dada por
$$ \ frac {PV} {T} = k_B \ log (Z_ {gc} \ tag {6}) $$
Resposta
É “s $ e ^ {- F / T} $, onde $ F / T $ é a energia livre normalizada pela escala de energia termodinâmica relevante, a temperatura. O exponencial é apenas uma reparametrização monotônica, então, moralmente falando, a função de partição é apenas a energia livre que está disponível para fazer um trabalho útil.
Outra interpretação: se você o normaliza de forma que $ E = 0 $ seja o estado fundamental, então falando grosso modo, é o recíproco da “fração do sistema que” está no estado fundamental. Extremamente heuristicamente, seja $ g $ o valor total do sistema que está no estado fundamental, $ e $ o valor total do sistema que está em um estado encerrado, e $ s = g + e $ o quantidade total do sistema. Então $ g / s $ é a fração do sistema que “s no estado fundamental, e seu recíproco é $ s / g = (g + e) / g = 1 + e / g $. O peso de Boltzmann dá que o o peso relativo (ou “quantidade”) de cada estado excitado $ i $ com energia $ E_i $ em relação ao peso do estado fundamental é $ e ^ {- \ beta E_i} $.Somando todos os estados excitados $ i $, obtemos a função de partição $ s / g = 1 + e ^ {- \ beta E_1} + e ^ {- \ beta E_2} + \ dots $.
Resposta
O significado físico da função de partição é o seguinte: expressa o número de estados termicamente acessíveis que um sistema fornece aos portadores (por exemplo, elétrons).