Quão longe os papagaios podem voar sem precisar pousar?

Os pássaros voadores foram a inspiração original para o projeto de uma máquina que poderia voar e transportar uma pessoa no alto, portanto, não é É surpreendente que a aerodinâmica do voo e da aeronave aviária tenha muito em comum. Especificamente, ambos consomem massa como fonte de energia para manter o voo; combustível de aviação ou gasolina no caso de aviões e gordura corporal armazenada em pássaros, e ambos têm asas que fornecem sustentação aerodinâmica conforme o ar se move sobre eles durante o vôo. Além disso, ambos compartilham outra característica do vôo, a capacidade de planar , para continuar o vôo sem fornecer qualquer energia para manter esse vôo. Esta energia é fornecida pela própria atmosfera na forma de correntes de ar crescentes causadas por uma diferença de temperatura de um “bolsão” local de ar; uma bolsa de ar que é mais quente do que o ar circundante aumentará porque tem densidade mais baixa, o Princípio de Arquimedes em ação. Um processo semelhante ocorre quando uma parcela de ar úmido é circundada por ar seco à mesma temperatura do ar úmido, portanto, menos densa que o ar seco. A terceira fonte de ar ascendente se deve à topografia local; o ar no lado de barlavento de uma crista ou montanha é forçado para cima e é frequentemente usado por pássaros como fonte de sustentação.

Qualquer discussão sobre vôo planado inevitavelmente envolverá alguns aspectos da física atmosférica (também conhecida como clima), não é diferente aqui. Como afirmado acima, uma parcela de ar úmido cercado por ar seco (er) em a mesma temperatura aumentará. Enquanto essa temperatura estiver acima da temperatura de saturação (o ponto de orvalho) para aquela parcela de ar, a água permanecerá na forma de vapor. Todos nós sabemos que à medida que subimos na atmosfera a temperatura cai; é mais frio no topo de uma montanha do que em sua base. Portanto, à medida que nossa parcela de ar úmido aumenta, sua temperatura cai e, eventualmente, essa temperatura é a mesma que o ponto de orvalho nessa parcela, levando à condensação dessa umidade, ou seja, uma nuvem se forma. Como uma superfície de temperatura constante na atmosfera é quase uma superfície plana, vemos nuvens no céu cujas bases estão todas no mesmo nível, o nível onde essa condensação começa. Agora, um pouco de termodinâmica; quando fervemos água adicionando calor (ou seja, energia), estamos transformando água líquida em vapor (vapor).Aqui está o problema, quando nós resfriamos o vapor até o ponto de orvalho, ele se condensará de volta em água líquida e, ao fazer isso, obtemos o calor (que foi colocado para fazê-lo ferver) de volta novamente ! Esse calor recuperado mostra-se como um aumento da temperatura do ar que acabou de ceder o vapor de água. Este aumento de temperatura faz com que o ar continue a subir, agora devido a uma diferença de temperatura com o ar circundante, em vez de uma diferença de pressão do vapor de água ; a nuvem continua a crescer. Esta é a origem das nuvens cúmulos-nimbos que vemos no céu que podem eventualmente formar tempestades. Esta discussão ilumina um fato fundamental sobre o clima que se relaciona diretamente à nossa discussão sobre vôo planado; se não houver correntes de ar, não há nuvens. Isso está correto, para uma nuvem se formar, deve haver correntes de ar contendo ar úmido . Nenhuma nuvem indica nenhuma atualização. Se não houver correntes ascendentes, não há vôo planado. No entanto, notamos que o ar muito seco é muito difícil de encontrar; ainda pode haver térmicas por aí, mas não é provável, e aquelas não muito fortes. A conclusão desta discussão é esta: se quisermos incluir aumentos no alcance máximo resultante do vôo planado, precisamos ser capazes de prever o tempo (o que ainda não aconteceu, e digo isso como alguém que passou anos como um estudante de graduação e pós-graduação ativo na pesquisa atmosférica.). Portanto, o vôo planado de longa distância não será abordado mais aqui.

Começamos nossa análise do vôo motorizado considerando um avião específico, digamos um jato de passageiros Boeing 787. Para encontrar seu alcance máximo, a aeronave seria completamente abastecida, decolaria e voaria em uma trajetória de vôo de velocidade constante e nivelada, já que qualquer aceleração (mudando a altitude ou indo mais rápido) diminuiria combustível. Quando o tanque de combustível seca, você atingiu a faixa máxima de vôo motorizado (assumindo que não há ventos de proa ou cauda, é claro).

Do ponto de vista analítico, o combustível transportado pelo 787 é a fonte de energia, $ E_s $ , que alimenta seu motores. Esses motores produzem a força de empuxo, $ \ mathbf {T} = T \ mathbf {\ hat {T}} $ dirigida horizontalmente, paralela ao eixo longitudinal de 787 “s e para a trajetória de vôo, que neutraliza o efeito da força de arrasto atmosférica, $ \ mathbf {D} = D \ mathbf {\ hat {D}} $ que se opõe o movimento do 787 ao longo de sua trajetória de vôo. Em condições de vôo constantes (velocidade e altitude constantes), as forças horizontais líquidas no 787 são zero, de modo que $ \ mathbf {T} + \ mathbf {D} = \ mathbf {0} $ ou $ \ mathbf {D} = – \ mathbf {T} $ . Tomando a magnitude de ambos os lados desta expressão, descobrimos que $ D = T $ de modo que $ \ mathbf {\ hat { D}} = – \ mathbf {\ hat {T}} $ . Descobrimos que o empuxo gerado pelos motores tem a mesma magnitude, mas dirigido de forma oposta ao arrasto atmosférico.

Sob as mesmas condições de vôo, encontramos uma relação semelhante para os componentes verticais da força agindo sobre o 787, seu peso, $ \ mathbf {F} _w = F_w \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ é equilibrado pela elevação $ \ mathbf {L} = L \ mathbf {\ hat {L}} $ gerado pelas asas de modo que $ F_w = m_p g = L $ e $ \ mathbf {\ hat {L}} = – \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ onde $ m_p $ é a massa instantânea (= massa de decolagem do avião, $ m_ {p_0} $ , menos a massa de combustível gasta impulso de geração distante) do 787 e $ g = 9.8 \, \ text {m / s} ^ 2 $ é a aceleração gravitacional padrão na superfície da Terra. Observamos aqui que, nessas condições de voo, tanto $ \ mathbf {L} $ e $ \ mathbf {F} _w $ são perpendiculares a $ \ mathbf {T} $ e $ \ mathbf {D} $ .

Se o empuxo for removido de forma que $ \ mathbf {T} = \ mathbf {0} $ , então a força de arrasto não mais se opor e diminuirá a velocidade do avião, reduzindo a velocidade do ar que flui sobre a asa, o que por sua vez fará com que a asa gere menos sustentação, iniciando assim a descida do avião (seu peso é maior que a sustentação produzida pela asas). Se o avião estiver “inclinado para baixo” por um ângulo $ \ alpha $ da horizontal, a projeção do vetor de peso do avião, $ \ mathbf {F} _w $ no eixo longitudinal do plano não será mais zero, mas será $ \ mathbf { F} _w \ sin \ alp ha $ direcionado para frente opondo-se à força de arrasto.Se $ \ alpha $ for escolhido de forma que a soma desta projeção e o vetor de arrasto seja zero, o avião descerá a uma taxa constante e a magnitude do arrasto é fornecido por $ D = F_w \ sin \ alpha $ . A projeção do vetor de peso no eixo perpendicular ao eixo longitudinal do plano, $ \ mathbf {F} _w \ cos \ alpha $ , é equilibrada pelo igual magnitude, mas vetor de elevação de direção oposta, cuja magnitude agora se torna $ L = F_w \ cos \ alpha $ . Se formarmos a proporção $ D / L $ encontramos \ begin {equation} \ frac {D} {L} = \ frac {F_w \ sin \ alpha} {F_w \ cos \ alpha } = \ tan {\ alpha} \ tag {1} \ label {1} \ end {equation} O inverso desta proporção, $ L_D = L / D = (\ tan \ alpha) ^ {- 1} $ , é conhecido na aerodinâmica como a razão de elevação para arrasto enquanto o ângulo $ \ alpha $ é chamado de ângulo de inclinação de planeio . Esses dois parâmetros são importantes na caracterização geral da aerodinâmica de uma estrutura aérea. Uma vez que essa proporção é conhecida, ela pode ser usada para estimar o arraste em vôo nivelado. Mas em vôo nivelado, a elevação é igual em magnitude ao peso do avião, $ L = F_w = m_p g $ . Substituindo esta expressão na Eq. ~ $ \ eqref {1} $ e resolvendo o arrasto \ begin {equation} D = L \ tan \ alpha = F_w \ tan \ alpha = m_p g \ tan \ alpha \ tag {2} \ label {2} \ end {equation}

Chegamos ao ponto em nossas análises que precisamos para abordar o orçamento de massa / energia para o vôo do avião. Será útil separar a massa do avião em sua massa vazia (sem combustível), $ m_ {p_e} $ , e a massa de combustível disponível, $ m_f $ , com a massa inicial de decolagem do combustível fornecida por $ m_ {f_0} $ . Com essas quantidades definidas, a massa inicial de decolagem do avião é dada por $ m_ {p_0} = m_ {p_e } + m_ {f_0} $ enquanto a massa instantânea é dada por $ m_p = m_ {p_e} + m_f $ . Durante o vôo, a massa do combustível disponível, $ m_f $ , varia de modo que $ m_ {f_0} \ ge m_f \ ge 0 $ enquanto a massa do avião, $ m_p $ , varia em $ m_ {p_0} \ ge m_p \ ge m_ {p_e} $ .

Existem duas constantes adicionais necessárias para determinar a energia efetiva líquida disponível para trabalhar contra a força de arrasto ao consumir a quantidade (diferencial) $ \ delta m_f $ de combustível durante o vôo (diferencial) distância $ \ delta \ mathbf {r} $ . O primeiro deles, $ \ kappa $ , determina a energia total (diferencial), $ \ delta E $ , disponível a partir da combustão da quantidade $ \ delta m_f $ de combustível \ begin {equation} \ delta E = \ kappa \ delta m_f \ tag {3} \ label {3} \ end {equation} Para um avião americano como o 787, $ \ kappa $ terá unidades algo como BTU por libra de combustível gasto. O segundo, $ \ eta $ , especifica a eficiência de converter a energia disponível em trabalho real, $ \ delta W $ , gerando empuxo que neutraliza o arrasto \ begin {equation} \ delta W = \ eta \ delta E = \ eta \ kappa \ delta m_f = – \ mathbf {T} \ cdot \ delta \ mathbf {r} = – m_p g \ tan \ alpha \ delta r \ tag {4} \ label {4} \ end {equation} onde $ \ delta \ mathbf {r} = \ delta r \ mathbf {\ hat {T}} $ é um vetor de deslocamento diferencial ao longo da trajetória de vôo durante velocidade constante, movimento horizontal e o menos sinal explica o fato de que os estoques de energia do avião são consumidos conforme essa energia é usada para neutralizar o arrasto (um processo fundamentalmente dissipativo).

Deixando o $ \ delta $ “s se tornam derivados, dividindo por $ m_p $ e usando $ m_p = m_ {p_e} + m_ f $ e substituindo as variáveis integradas por quantidades iniciadas,, Eq. ~ $ \ eqref {4} $ pode ser reescrito na forma integral \ begin {equation} \ eta \ kappa \ int_ {m_ {f_0}} ^ {m_f} \ frac {dm “} {m_ {p_0} + m”} = – g \ tan \ alpha \ int_0 ^ r dr “\ tag {5} \ label {5} \ end {equation} com os limites de integração avaliados na decolagem e a posição atual de downrange a uma distância $ r $ da decolagem.

Realizando as integrações indicadas na Eq. ~ $ \ eqref {5} $ e simplificando, temos o resultado \ begin {equation} m_p = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r} \ tag {6} \ label {6} \ end {equation} Descobrimos que a massa do avião, $ m_p $ , é uma função exponencialmente decrescente da distância voada, $ r $ . Deixando $ r = r_m $ ser o alcance máximo do avião onde todo o combustível foi gasto (quando $ m_f = 0 $ para que $ m_p = m_ {p_e} $ ), Eq. ~ $ \ eqref {6} $ torna-se \ begin {equation} m_ {p_e} = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r_m} \ tag {7} \ label {7} \ end {equation} Notamos a semelhança desta expressão com a Equação do foguete Tsiolkovsky .

Eq. ~ $ \ eqref {7} $ pode ser resolvido para o intervalo máximo $ r_m $ \ begin {equation} r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left (\ frac {m_ {p_0}} { m_ {p_e}} \ right) \ tag {8} \ label {8} \ end {equation} um resultado incrivelmente simples, considerando todas as coisas! Este resultado permanece válido para qualquer sistema aerodinâmico que obtém sua sustentação via movimento para a frente através do ar fornecido por um sistema de propulsão que consome massa para produzir empuxo. Poderia ser aplicado a um Cessna 172, ou mesmo a um modelo controlado por rádio movido a nitro (RC) de um 172. Não poderia não ser aplicado a um modelo movido a eletricidade (bateria) do 172 porque há sem perda de massa de uma bateria, ou para qualquer tipo de planador (sem empuxo ou perda de massa). E pode, no entanto, ser aplicado a qualquer ave voadora, inclusive nosso papagaio!

Para o papagaio, a fonte de energia é a gordura armazenada em seu corpo. Essa massa é consumida por meio de processos metabólicos que a convertem em $ \ text {CO} _2 $ e vapor dágua que é expelido durante a respiração, e como suor e urina como um papagaio voa (o papagaio “s” exaure “por assim dizer!). O conteúdo de energia da gordura corporal ( $ \ kappa $ conforme definido na Eq. ~ $ \ eqref {3} $ ) é 9 (comida) Calorias por grama. Uma caloria alimentar é igual a uma quilocaloria, que por sua vez é igual a 4184 Joules em unidades SI, veja a Wikipedia artigo Energia alimentar .

A eficiência da conversão da energia armazenada no corpo humano em trabalho mecânico foi estimada em $ 18 \% $ – $ 26 \% $ (consulte a página da Wikipedia Músculo ). Seria de se esperar números semelhantes para outros vertebrados de sangue quente, de modo que, para um número significativo, consideramos $ \ eta = 20 \% = 0.2 $ (uma quantidade adimensional).

Parece haver uma variação muito ampla para o percentual de massa corporal que é gordura. Algumas aves migratórias têm até $ 70 \% $ (consulte Superatletas obesos: migração alimentada por gordura em pássaros e morcegos , no entanto, o papagaio geralmente não é considerado uma ave migratória. A página da web Comparação da milhagem de voo para várias espécies de papagaios selvagens indica uma distância de migração de 320 km para papagaios de bico grosso, por exemplo. Portanto, o número $ 70 \% $ é provavelmente muito grande. No outro extremo, a carne moída é considerada magra se contiver $ 10 \% $ gordura, mas mais geralmente é mais perto de $ 20 \% $ . Selecionaremos um valor um pouco abaixo da mediana desses extremos, digamos $ 35 \% $ .

A massa típica de um papagaio é outro número difícil de determinar, pois lá é uma diferença muito grande na massa corporal dos vários membros da família dos papagaios. Por exemplo, a página da web Pesos médios das espécies de papagaios comuns fornece dados para 52 espécies de papagaios com links para quatro outras espécies, cada uma com várias entradas. Isso varia de 10 gramas para o tentilhão zebra a 1530 gramas para a arara-de-asa-verde cobrindo uma faixa de massa de mais de duas ordens de magnitude! Conclusão: não existe papagaio “típico”! Vamos escolher o papagaio de bico grosso, pois temos alguns dados de longa distância para comparar nosso resultado. A página da Wikipedia Papagaio de bico grosso dá sua faixa de massa como 315-370 gramas, devemos usar 370 gramas para que $ m_ {p_0} = 0,37 \, \ text {kg} $ , $ 35 \% $ dos quais devem ser considerados combustível para que $ m_ {f_0} = 0.16 \, \ text {kg} $ deixando o papagaio “s” massa vazia “em $ m_ {p_e} = 0,24 \, \ text {kg} $ .

Temos um parâmetro restante para estimar, que é o ângulo de inclinação, $ \ alpha $ , usado para encontrar a elevação para razão de arrasto acima. Considere as estimativas da ordem de magnitude de $ \ alpha = 10 ^ 0 = 1 \, \ text {radian} \ approx 60 ^ o $ , $ \ alpha = 10 ^ {- 1} = 0,1 \, \ text {radian} \ approx 6 ^ o $ ou $ \ alpha = 10 ^ {- 2} = 0,01 \, \ text {radian} \ approx 0.6 ^ o $ . Claramente $ 60 ^ o $ é muito íngreme e $ 0,6 ^ o $ é muito raso, deixando $ 6 ^ o $ como o único pedido aceitável de escolha de magnitude, portanto, definimos $ \ alpha = 10 ^ {- 1} $ radiano, um número válido para a maioria das aves voadoras.

Repetição Eq. ~ $ \ eqref {8} $ acima, $$ r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left (\ frac {m_ {p_0}} {m_ {p_e}} \ right) $$ e substituindo os valores do papagaio de cima (incluindo fatores de conversão de unidade)

$$ r_m = \ frac {\ left [\ left (\ frac {4184 \, \ text {J}} {\ text {gm}} \ right) \ left (\ frac {1000 \, \ text {gm}} {\ text {kg}} \ right) \ left (\ frac {\ text {kg m} ^ 2} {\ text {J s} ^ 2} \ right) \ right) ] \ left (0.2 \ right)} {\ left (\ frac {9.8 \, \ text {m}} {\ text {s} ^ 2} \ right) \ left (\ tan \ left (0.1 \ right) \ direita)} \ ln \ esquerda (\ frac {0,37 \, \ text {kg}} {0,24 \, \ text {kg}} \ direita) \ approx 370 \ text {km} $$

encontramos a resposta para a pergunta “Até onde um papagaio pode voar [sob potência] em um único dia?” ser

$$ \ boxed {r_m \ approx 370 \, \ text {km}} $$

a número que está de acordo com os dados (limitados) disponíveis que deram uma faixa de migração diária real (vs máxima ) de 320 km.

É “É interessante notar que este alcance máximo para vôo motorizado pode ser visto como o alcance mínimo quando o vôo planador está incluído. , o alcance máximo real poderia ser estendido consideravelmente se o papagaio capitalizasse quaisquer térmicas disponíveis que encontrou durante seu vôo.