Em uma página da Wikipedia alemã , o seguinte cálculo para a temperatura na superfície do Sol é feito:
$ \ sigma = 5,67 * 10 ^ {- 8} \ frac {W} {m ^ 2K ^ 4 } $ (Constante de Stefan-Boltzmann)
$ S = 1367 \ frac {W} {m ^ 2} $ (constante solar)
$ D = 1,496 * 10 ^ {11 } m $ (distância média Terra-Sol)
$ R = 6,963 * 10 ^ 8 m $ (raio do Sol)
$ T = (\ frac {P} { \ sigma A}) ^ \ frac {1} {4} = (\ frac {S4 \ pi D ^ 2} {\ sigma 4 \ pi R ^ 2}) ^ \ frac {1} {4} = (\ frac {SD ^ 2} {\ sigma R ^ 2}) ^ \ frac {1} {4} = 5775,8 \ K $
(Wikipedia dá 5777K porque o raio foi arredondado para $ 6,96 * 10 ^ 8m $ )
Este cálculo é perfeitamente claro.
Mas em Gerthsen Kneser Vogel há um exercício onde Sherlock Holmes estimou a temperatura do sol apenas sabendo a raiz da fração de D e R . Digamos, ele estimou essa fração em 225, então a raiz quadrada é cerca de 15, como fazer ele veio para 6000 K? O valor $ (\ frac {S} {\ sigma}) ^ \ frac {1} {4} $ tem aproximadamente o valor 400. Não pode ser a temperatura média aproximada da terra, que é cerca de 300K. O que eu perdi?
Resposta
A relação de temperatura entre um planeta e uma estrela com base em um balanço de energia radiativa é fornecida pela seguinte equação ( da Wikipedia ):
$ T_p = temperatura \ da \ estrela $
$ T_s = temperatura \ da \ estrela $
$ R_s = raio \ da \ estrela $
$ \ alpha = albedo \ do \ planeta $
$ \ epsilon = média \ emissividade \ do \ planeta $
$ D = distância \ entre \ estrela \ e \ planeta $
Portanto, se Sherlock conhece $ \ sqrt {\ frac {R_s} {D}} = 0,06818 $ e pode estimar a temperatura da Terra $ T_p $ assim como $ \ alpha $ e $ \ epsilon $ então ele pode calcular a temperatura na superfície de o sol, que é a variável desconhecida $ T_s $.
Ambos $ \ alpha $ e $ \ epsilon $ têm valores verdadeiros entre zero e um. Digamos que Sherlock assumiu $ \ alpha = 0,5 $ e $ \ epsilon = 1 $ (corpo negro perfeito). Estimando a temperatura da Terra h $ T_p $ sendo 270 K e inserindo todos os números que temos:
O que é muito perto da verdadeira temperatura média da superfície do sol, 5870 K . Caso encerrado!
Comentários
- $ 6653K $ é " muito próximo de " a $ 5870K $?
- @Peter, considerando a faixa de temperaturas que existe no universo (~ 0 K até dezenas de milhões K e ainda mais), 15 % de precisão está perto.
- @Joshua Desculpe, a aproximação pode ser boa o suficiente como uma estimativa aproximada, mas não é " close ".
- @Peter, quão perto é perto? É ' uma distinção arbitrária, eu entendo. Meu fechamento não é seu neste caso. Meu ponto é, para Sherlock saber apenas um número e, em seguida, adivinhar $ \ alpha $ e $ \ epsilon $ e obter uma resposta dentro de cerca de 15%, isso é muito bom. livro diz que a estimativa foi de 6000 K – apenas um algarismo significativo – então você pode facilmente imaginar que a estimativa é boa para + ou – 1000 K. Se Sherlock assumir $ \ alpha = 0.3 $ em vez disso ( mais perto do valor real ), então a temperatura estimada do sol é 6123 K, que é arredondada para 6.000 K.
Resposta
Uma estimativa aproximada da temperatura de um corpo no sistema solar é $$ T = \ frac {280K} {\ sqrt {D_ {AU}}} $$ se calcularmos a fração AU da “borda” do Sol até seu centro, R sobre D = $ 4,65×10 ^ -3 $, e substitua isso na fórmula, a temperatura do Sol seria de cerca de 4100 K. Não muito perto de seus 5776 K , mas utiliza a raiz quadrada da fração RD.
A fórmula reflete as temperaturas efetivas. No entanto, os picos, chamados de temperaturas sub-solares, são $ \ sqrt {2} $ vezes as temperaturas efetivas, o que renderia cerca de 5800K. Sherlock inteligente!
Comentários
- Se entendi bem o artigo, o 5777K é chamado de temperatura efetiva.
- Peter, temperatura efetiva é basicamente a temperatura média de um corpo orbitando o sol. As temperaturas sub-solares ocorrem no ' zênite de um corpo do Sol.
- Quero que você saiba que minha resposta foi uma tentativa de responder à questão de como Sherlock pode ter determinado a temperatura ' s do Sol usando seus fatores R e D. De jeito nenhum é um uso válido da fórmula que postei. Era simplesmente um truque usando uma fórmula válida. Mas respondeu à sua pergunta.
- Michael, as unidades da sua equação não ' não parecem conferir.
- pentano, muito verdadeiro . A fórmula é simplesmente uma aproximação útil para estimar as temperaturas corporais do sistema solar.Ele ignora fatores como albedo, energia interna e efeitos atmosféricos, o que explica sua simplicidade.