Esta pergunta já tem uma resposta aqui :
Comentários
- Você tem alguma opinião sobre isso? $ \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y) $ estaria errado – considere quase certamente uma constante diferente de zero $ X $
- Não senhor. Eu sei que Var (XY) = E (X ^ 2 Y ^ 2) – (E (XY)) ^ 2 e E (XY) = E (X) E (Y) como X, Y são independentes, mas nenhuma ideia sobre X ^ 2 e Y ^ 2 são independentes ou não.
- Se $ X $ e $ Y $ são independentes, então $ X ^ 2 $ e $ Y ^ 2 $ também são independentes e $ E [X ^ 2Y ^ 2] = E [X ^ 2] E [Y ^ 2] $
- Caso geral do produto aqui: stats.stackexchange.com/questions/52646 / … (produto de 2 é dado na pergunta)
- Muito obrigado Glen_b
Resposta
Você pode seguir os comentários de Henry para chegar à resposta. No entanto, outra maneira de chegar à resposta é usar o fato de que se $ X $ e $ Y $ são independentes, então $ Y | X = Y $ e $ X | Y = X $ .
Por expectativas iteradas e expressões de variância
\ begin {align *} \ text {Var} (XY) & = \ texto {Var} [\, \ text {E} (XY | X) \,] + \ text {E} [\, \ text {Var} (XY | X) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y | X) \,] + E [\, X ^ 2 \, \ text {Var} (Y | X ) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y) \,] + E [\, X ^ 2 \ , \ text {Var} (Y) \,] \\ & = E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} ( Y) E (X ^ 2) \ ,. \ end {align *}
Comentários
- $ E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) $ pode estar correto, mas é estranhamente não simétrico como $ E (Y ^ 2) \, \ text {Var} (X) + \ text {Var } (Y) E (X) ^ 2 $ seria. Eu teria pensado que $ \ text {Var} (X) E (Y) ^ 2 + \ text {Var} (Y) E (X) ^ 2 + \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y ) $ seria mais natural enquanto $ \ text {Var} (X) E (Y ^ 2) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) – \ text {Var} (X) \ text {Var } (Y) $ também seria verdadeiro
- @Henry Bem, usando $ E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2 $, obtemos $ Var (XY) = E (Y) ^ 2Var (X) + Var (Y) Var (X) + Var (Y) E (X) ^ 2 $. Isso ' é simétrico.