como posso calcular a variância de p derivada de uma distribuição binomial? Digamos que eu lanço n moedas e obtenho k caras. Posso estimar p como k / n, mas como posso calcular a variância nessa estimativa?
Estou interessado nisso para poder controle para variância em minhas estimativas de razão quando estou comparando entre pontos com diferentes números de tentativas. Estou mais certo da estimativa de p quando n é maior, então gostaria de poder modelar o quão confiável é a estimativa.
Obrigado antecipadamente!
exemplo:
- 40/100. O MLE de p seria 0,4, mas qual é a variância em p?
- 4/10. O MLE ainda seria 0,4, mas a estimativa é menos confiável, então deve haver mais variância em p.
Resposta
Se $ X $ for $ \ text {Binomial} (n, p) $, então MLE de $ p $ é $ \ hat {p} = X / n $.
Uma variável binomial pode ser considerada a soma de $ n $ variáveis aleatórias de Bernoulli. $ X = \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i $ onde $ Y_i \ sim \ text {Bernoulli} (p) $.
para que possamos calcular a variância do MLE $ \ hat {p} $ as
$$ \ begin {align *} \ text {Var} [\ hat {p} ] & = \ text {Var} \ left [\ dfrac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i \ right] \\ & = \ dfrac {1} {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ n Var [Y_i] \\ & = \ dfrac {1 } {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ np (1-p) \\ & = \ dfrac {p (1-p)} {n} \ end {align *} $$
Então você pode ver que a variância do MLE fica menor para $ n $ grandes, e também é menor para $ p $ perto de 0 ou 1. Em termos de $ p $ é maximizado quando $ p = 0,5 $.
Para alguns intervalos de confiança, você pode verificar Intervalos de confiança binomiais
Comentários
- Acho que o link é semelhante ao que ' estou procurando, mas quero um valor que seja equivalente à variância de p. Como posso obter isso com o intervalo de confiança?
- Editei minha resposta original para responder com mais precisão à sua pergunta.
- Como você lida com o fato de que a fórmula da variância exige p, mas você só tem uma estimativa de p?
- Você pode considerar o uso de uma transformação estabilizadora de variância, como $ arcsin (\ sqrt {\ hat {p}}) $ e então você obtém que a variância da variável transformada é $ \ tfrac {1} {4n} $